2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册第二章 一元二次函数、方程与不等式 综合测评卷（A卷）

第二章 一元二次函数、方程与不等式 综合测评A卷
一、单选题
1．若，，则的大小关系是
A． B．
C． D．的大小由的取值确定
2．不等式的解集为，那么（ ）
A． B． C． D．
3．设，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在R上定义运算：x*y＝x(1－y).若不等式(x－a)*(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则（ ）
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2
C．－＜a＜ D．－＜a＜
5．若实数a，b满足ab＞0，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
6．不等式的解集是，则a－b的值为（ ）
A．14 B．－14 C．10 D．－10
7．已知不等式的解集是，则的值为（ ）．
A．1 B． C．0 D．
8．关于x的一元二次方程（a，b，c为实数，）有两个相等的实数根，若实数满足，则此一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设a＞b，c＜0，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是（　　）
A．ab有最大值 B．+有最小值
C．+有最小值4 D．a2+b2有最小值
12．设正实数满足，则下列说法正确的是
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为2 D．的最小值为2
三、填空题
13．不等式组的解集为______．
14．古希腊数学家希波克拉底曾研究过下面的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，.若以，为直径的两个半圆的弧长总长度为，则以斜边为直径的半圆面积的最小值为___________.
15．已知，，，则的最小值为___________.
16．设，，则当______时，取得最小值.
四、解答题
17．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，一些城市陆续发出“春节期间非必要不返乡，就地过年”的倡议.为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，某地政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在春节期间留住员工在本市过年并加班追产.为此，该地政府决定为当地某A企业春节期间加班追产提供(万元)的专项补贴.A企业在收到政府x(万元)补贴后，产量将增加到(万件).同时A企业生产t(万件)产品需要投入成本为(万元)，并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本
（1）求企业春节期间加班追产所获收益(万元)关于政府补贴(万元)的函数关系式；
（2）当政府的专项补贴为多少万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大？
18．已知函数.
（1）若单调递增，求a的取值范围；
（2）解关于x的不等式.
19．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
20．已知关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0.
（1）若不等式的解集为，求实数k的值；
（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围.
21．已知二次函数.
（1）若关于的不等式的解集是.求实数的值；
（2）若，解关于的不等式.
22．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为米，一堵砖墙长为米.
求：（1）写出与的关系式；
（2）求出仓库面积的最大允许值是多少？为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
参考答案
1．A
【解析】因为，>0，所以，
故选：A.
2．A
【解析】由于一元二次不等式的解集为，所以.
故选：A
3．B
【解析】因为，，
所以，当且仅当且，即时取等号，故A正确．
因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误．
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，所以，即，故C正确．
因为，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：B.
4．C
【解析】不等式(x－a)*(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，
即对任意实数恒成立，
也即对任意实数恒成立，
故可得，
整理得，即，
解得.
故选：.
5．C
【解析】实数a，b满足ab＞0， 则， 当且仅当且，即或时等号成立．
故选：C．
6．D
【解析】不等式的解集是，
可得是一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两个实数根，
，
解得a＝－12，b＝－2，
∴a－b＝－12－(－2)＝－10.
故选：D.
7．C
【解析】由已知得，解得，故，
故选：C．
8．A
【解析】，
，
，
，
，
设，是方程（a，b，c为实数，）的两个根，
∴，
，
，
故选：A.
9．BD
【解析】解：对于A：令a＝1，b＝ 1，c＝ 1，显然错误；
对于B：∵a＞b，c＜0，∴ac＜bc，故B正确；
对于C：令a＝1，b＝ 1，c＝ 1，显然错误；
对于D：a＞b，c＜0，则，故，故D正确；
故选：BD．
10．ABC
【解析】对于，单调递减，当时，，正确；
对于，当时，；当时，，则时，；
综上所述：若，则，正确；
对于，若，则，，，正确；
对于，若，则，，不满足，错误.
故选：.
11．AC
【解析】∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴；∴；
∴ab有最大值，当且仅当时取得∴选项A正确；
当时，，故错误；
，当且仅当时取得等号.
∴有最小值4，∴C正确；
当时，，故D错误.
故选：AC.
12．ABD
【解析】选项，正实数满足
，
当且仅当时，等号成立，故正确；
选项，由且得，
当且仅当时，等号成立，则，故正确；
选项，由且得，
则，故错误；
选项，，故正确.
故选：.
13．或
【分析】
根据一元二次不等式的因式分解法分别求解集，然后求解集的交集即可.
【解析】由，可得，解得或，
14．
【解析】解：设，则，
故根据以，为直径的两个半圆的弧长总长度为得，
故，
以斜边为直径的半圆面积，
由于，
所以，当且仅当时等号成立，
故答案为：
15．
【解析】因为，，，
所以，由得，，
则，
所以，
，
当且仅当，即，时取等号，
则的最小值为，
故答案为：.
16．
【解析】，当且仅当且时等号成立，即.
故答案为
17．（1）；（2）即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；
【解析】解：（1）依题意可知，销售金额万元，政府补贴万元，成本为万元；
所以收益，
（2）由（1）可知
其中，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；
即当政府的专项补贴为万元时，A企业春节期间加班追产所获收益最大，最大值为万元；
18．（1）；（2）答案见解析.
【解析】（1）的对称轴为，
因为在上单调递增，所以，解得.
（2）因为，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为.
19．（1）；（2）或．
【解析】解：（1）∵．
∴由方程可得，
∴，∴，
∴方程的解集为；
（2）∵，
∴函数
，
令，则，
所以，，
①当时，在上的最小值为，即，解答或（舍）；
②当时，在上的最小值为，即，解答或（舍）；
③当时，在上的最小值为，
综上，的值为或．
20．（1）；（2）﹣8＜k≤0.
【解析】（1）关于x的不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为，
∴和1是方程2kx2+kx﹣1＝0的两个实数根，代入x＝1得2k+k﹣1＝0，解得；
（2）若不等式2kx2+kx﹣1＜0的解集为R，
∴当k＝0时，不等式为﹣1＜0，满足题意；
当k≠0时，应满足，解得﹣8＜k＜0；
综上知，实数k的取值范围是﹣8＜k≤0.
21．（1），；（2）答案见解析.
【解析】（1）因为关于的不等式的解集是
所以和是方程的两根，
所以 解得：，
（2）当时，即
可化为，
因为，所以
所以方程的两根为和，
当即时，不等式的解集为或，
当即时，不等式的解集为，
当即时，不等式的解集为或，
综上所述：当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或.
22．（1）；（2）面积的最大允许值是平方米，此时正面铁棚应设计为米.
【解析】（1）由于铁栅长为米，一堵砖墙长为米，由题意可得，
即，解得，
由于且，可得，
所以，与的关系式为；
（2），
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，仓库面积的最大允许值是平方米，此时正面铁棚应设计为米.