4.5.2用二分法求方程的近似解（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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4.5.2用二分法求方程的近似解
知识点　用二分法求方程的近似解
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，
使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
2．用二分法求函数零点近似值的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：
(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令__＝c；
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令__＝c.
(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<__，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．
【思考】用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？
【提示】(1)f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断．(2)在区间[a，b]端点的函数值f(a)·f(b)<0.
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)所有函数的零点都可以用二分法来求． (　　)
(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点． (　　)
(3)精确度ε就是近似值． (　　)
【答案】（1）×（2）×（3）×
2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是 (　　)
【答案】A
题型一　二分法的概念
【学透用活】
二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的办法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
【例1】（1）下列函数中不能用二分法求零点的是 (　　)
【答案】B
【解析】观察图象与x轴的交点，若交点附近的函数图象连续，且在交点两侧的函数值符号相异，则可用二分法求零点，而B不能用二分法求零点．
【方法技巧】
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．　　
【变式训练】
1.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)
A．4,4　　　　　　　B．3,4
C．5,4 D．4,3
【答案】D
【解析】图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解
的个数为3，故选D.
2．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是 (　　)
A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点
C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点
D．“二分法”求方程的近似解也可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解
【答案】D
【解析】如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一
个，∴A错误；二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，∴B错误；C只要限定了近似
解的范围就可以得到方程的近似解，∴C错误；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零
点，∴D正确．
题型二　用二分法求方程的近似解
【学透用活】
用二分法求方程的近似解时要注意以下几个问题
(1)明确题目要求的精确度；
(2)确定初始区间，一般在两个整数间，初始区间的长度越小，计算次数越少；
(3)按步骤依次进行计算，直至达到指定的精确度为止．
【例2】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．
【解析】令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
(a，b) 中点c f(a) f(b) f
(0,1) 0.5 f(0)<0 f(1)>0 f(0.5)<0
(0.5,1) 0.75 f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)>0
(0.5,0.75) 0.625 f(0.5)<0 f(0.75)>0 f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
【方法技巧】
用二分法求方程的近似解应明确两点
(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．　　
【变式训练】
1．[变条件]若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？
【解析】在本例的基础上，取区间(0.687 5,0.75)的中点x＝0.718 75，因为f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718
75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解．
2．[变条件]若本例中的方程“2x3＋3x－3＝0”换为“x2－2x＝1”其结论又如何呢？
【解析】设f(x)＝x2－2x－1.
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.
∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.
取2与3的平均数2.5，
∵f(2.5)＝0.25>0，∴2再取2与2.5的平均数2.25，
∵f(2.25)＝－0.437 5<0，
∴2.25如此继续下去，有
f(2.375)<0，f(2.5)>0 x0∈(2.375,2.5)；
f(2.375)<0，f(2.437 5)>0 x0∈(2.375,2.437 5)．
∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，
∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．[好题共享——选自人教B版新教材]证明函数f(x)＝x3－x2＋5，x∈[－2，－1]有零点，并指出用二分法
求零点的近似值(精确度小于0.1)时，至少需要进行多少次函数值的计算．
【解析】∵f(－2)f(－1)＝－7×3＝－21＜0且f(x)的图象是连续不断的，
∴由函数零点存在定理可知f(x)在(－2，－1)上有零点．
又(－2，－1)的区间长度为1，经过n次平分区间，区间长度为，令＜0.1，解得n的最小值为4，
经检验可知至少需要进行4次函数值的计算．
二、应用性——强调学以致用
2．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大
约有200根电线杆的线路，请设计一个能迅速查出故障所在的方案，并回答维修线路的工人师傅最多检测
几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)
【析题建模】利用二分法原理进行查找，不妨设闸门与指挥所所处点为A，B，首先从AB的中点C处开始，
判断AC是否正常，若AC正常，则故障在BC段，再取BC的中点，依次类推．
【解析】如图，
工人师傅首先从AB段的中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；
再从BC段的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；……；由此类
推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为 m，
则有≤100，即2n≥100，又26＝64,27＝128，故最多只要检测7次就能找到故障地点所在区域．
1．(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　　)
A．f(x)＝3x－1　　　　　 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝log4x D．f(x)＝ex－2
【答案】ACD
【解析】f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．故选A、C、D.
2．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)
A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0.5,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)
【答案】D
【解析】因为f(1)＝1＋8－1＝8>0，且f(0)<0，f(0.5)>0，所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值为f(0.25)．故选D.
3．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0，则(　　)
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
【答案】B
【解析】由f(a)·f(b)<0，f(a)·f>0可知f·f(b)<0，根据零点存在性定理可知f(x)在上有零点．
4．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)·f(2)·f(4)＜0，则下列命题正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
【答案】D
【解析】f(1)·f(2)·f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)中有一个小于0，另两个大于0或三个都小于0，则有零点可能区间(0,1)，(1,2)，(0,2)，(2,4)，但它们都包含于(0,4)，因此选项D正确．
5．已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间(0,4)，(0,2)，(1,2)，内，则与f(0)符号相同的是(　　)
A．f(1) B．f(2)
C．f D．f(4)
【答案】A
【解析】零点在(0,4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2；
零点在(0,2)内，则有f(0)·f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；零点在(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0，取中点；零点在内，则有f(1)·f<0，则f(1)>0，f<0.
所以与f(0)符号相同的是f(1)．
6．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)＜0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．
【答案】 (2,3)
【解析】因为f(2)·f(3)＜0，所以零点在区间(2,3)内．
7．求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度ε＝0.1)，用“二分法”逐次计算列表如下：
端(中)点的值 中点函数值符号 零点所在区间 |an－bn|
(1,1.5) 0.5
1.25 f(1.25)<0 (1.25,1.5) 0.25
1.375 f(1.375)>0 (1.25,1.375) 0.125
1.312 5 f(1.312 5)<0 (1.312 5,1.375) 0.062 5
则函数零点的近似值为________．
【答案】1.312 5
【解析】∵精确度ε＝0.1，由表可知|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1，
∴函数零点的近似值为1.312 5.
8．用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1,2]上零点的近似值，先取区间中点c＝，则下一个含根的区间是________．
【答案】
【解析】令f(x)＝ln x－2＋x，
∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，
f＝ln －＜0，
∴下一个含根的区间是.
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋1.
(1)证明方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解；
(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内．
【解析】(1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，所以f(0)·f(2)<0，由函数零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0,2)内有实数解．
(2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝>0，
由此可得f(1)·f(2)<0，下一个有解区间为(1,2)．
再取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－<0，
所以f(1)·f<0，下一个有解区间为.
再取x3＝×＝，得f＝>0，
所以f·f<0，下一个有解区间为.
综上所述，所求的实数解x0在区间内．
10．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0，证明a＞0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．
【证明】∵f(1)＞0，∴f(1)＝3a＋2b＋c＞0，
即3(a＋b＋c)－b－2c＞0.
∵a＋b＋c＝0，
∴a＝－b－c，－b－2c＞0，
∴－b－c>c，即a>c.
∵f(0)＞0，∴f(0)＝c>0，∴a>0.
取区间[0,1]的中点，
则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0.
∵f(0)＞0，f(1)＞0，
∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．
又f(x)为二次函数，最多有两个零点，
∴f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．
11．(多选)某同学求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084
f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精确度0.1)可取为(　　)
A．2.52 B．2.56
C．2.66 D．2.75
【答案】AB
【解析】由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2.5,2.562 5)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选A、B.
12．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B
【解析】函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为＜0.01.
13．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．
【答案】1.5,1.75,1.875,1.812 5
【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．
14．在一个风雨交加的夜里，某水库闸房(设为A)到防洪指挥部(设为B)的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段查找，困难很多，每查一个点需要很长时间．
(1)维修线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？
(2)要把故障可能发生的范围缩小到50 m～100 m左右，最多要查多少次？
【解析】(1)如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E来查，依次类推…
(2)每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多只要7次就够了．
15．某电脑公司生产A型手提电脑，2015年平均每台A型手提电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.2016年开始，公司加强管理，降低生产成本.2019年平均每台A型手提电脑尽管出厂价仅是2015年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高收益．
(1)求2019年每台A型手提电脑的生产成本；
(2)以2015年的生产成本为基数，用二分法求2016～2019年生产成本平均每年降低的百分数(精确到0.01)．
【解析】(1)设2019年每台A型手提电脑的生产成本为P元，依题意得P(1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得P＝3 200，所以2019年每台A型手提电脑的生产成本为3 200元．
(2)设2016～2019年生产成本平均每年降低的百分数为x，根据题意，得5 000(1－x)4＝3 200(0即5(1－x)2＝4(0令f(x)＝5(1－x)2－4，
则f(0.10)＝0.05>0，
f(0.11)＝－0.039 5<0，
所以f(x)在(0.10,0.11)内有一个零点x0.
取区间[0.10,0.11]的中点0.105，
则f(0.105)≈0.005>0，
所以f(0.11)·f(0.105)<0，
所以x0∈(0.105,0.11)．
0．105和0.11精确到0.01的近似值都是0.11.
所以f(x)＝0的近似解可以是0.11.
所以2016～2019年生产成本平均每年降低11%.
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