4.5.3函数模型的应用（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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4.5.3函数模型的应用
知识点　函数模型的应用
名称 解析式 条件
一次函 数模型
反比例函 数模型
二次函 数模型 一般式： 顶点式：y＝a2＋
名称 解析式 条件
指数函 数模型 y＝b·ax＋c a＞0且a≠1， b≠0
对数函 数模型 y＝mlogax＋n a＞0且a≠1， m≠0
幂函数 模型 y＝axn＋b a≠0，n≠1
分段函数 模型 y＝
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质． (　　)
(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性． (　　)
(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了． (　　)
【答案】（1）√（2）√（3）×
2．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间 1 2 3 4
利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的 (　　 )
A．y＝log2x　　　　　　 B．y＝2x
C．y＝x2 D．y＝2x
【答案】B
【解析】逐个检验可得到答案为B
3．某工厂2018年生产某产品2万件，计划从2019年开始每年比上一年增产20%，则这家工厂生产这种产
品的年产量超过6万件的起始年份是(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) (　　)
A．2022年 B．2023年
C．2024年 D．2025年
【答案】D
【解析】设从2018年起，再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件，根据题意，得2(1＋20%)n>6，
即1.2n>3，两边取对数，得nlg 1.2>lg 3，∴n>＝≈6.03，又n为整数，∴n的最小值为7，
又2 018＋7＝2 025，∴从2025年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件．故选D.
题型一　根式的化简与求值
【学透用活】
【典例1】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
【解析】(1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝，解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积为a，则a(1－p%)m＝a，即＝，得＝，
解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，n年后森林面积为a·(1－p%)n，令a(1－p%)n≥a，即(1－p%)n≥，
≥，得≤，解得n≤15，故今后最多还能砍伐15年．
【方法技巧】
在实际问题的应用中，常见的增长率问题的解析式可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．　　
【变式训练】
1．据报道，青海湖的湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2000年的湖水量为m，从2000
年起，过x年后湖水量y与x的函数关系式为________．
【答案】0.9·m.
【解析】设每年湖水量为上一年的q%，则(q%)50＝0.9，解得q%＝0.9，即x年后的湖水量为0.9·m.
2．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单
位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物
的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了.
(1)求函数关系式p(t)；
(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg 2≈0.3)
【解析】(1)根据题意，得p0＝p0e－k，∴e－k＝，∴p(t)＝p0t.
(2)由p(t)＝p0t≤p0，得t≤10－3，两边取对数并整理得t(1－3lg 2)≥3，∴t≥30.
因此，至少还需过滤30个小时．
题型二　对数函数模型
【学透用活】
【例2】2018年12月8日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞质量M是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质量x(吨)之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为y＝k[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln 2(其中k≠0)．当燃料质量为(－1)m吨时，该火箭的最大速度为4 km/s.
(1)求“长征”四号系列火箭的最大速度y与燃料质量x之间的函数关系式；
(2)已知“长征”四号火箭的起飞质量M是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s？(结果精确到0.1吨，e取2.718)
【解析】(1)由题意得4＝k{ln[m＋(－1)m]－ln(m)}＋4ln 2，
解得k＝8，所以y＝8[ln(m＋x)－ln(m)]＋4ln 2＝8ln .
(2)由已知得M＝m＋x＝479.8，
则m＝479.8－x，又y＝8，
则8＝8ln，解得x≈303.3.
故应装载大约303.3吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到8 km/s.
【方法技巧】
对数函数应用题的基本类型和求解策略
基本 类型 有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解
求解 策略 首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义
【变式训练】
1.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为
函数v＝log3－lg x0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中该类
候鸟每分钟的耗氧量偏差(参考数据：lg 2≈0.30,31.2≈3.74,31.4＝4.66)．
(1)当x0＝2，候鸟每分钟的耗氧量为8 100个单位时，候鸟的飞行速度是多少？
(2)当x0＝5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少单位？
(3)若雄鸟的飞行速度为2.5 km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5 km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是
雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
【解析】(1)由题意，x0＝2，x＝8 100，
得v＝log3－lg 2≈1.7，
故此时候鸟的飞行速度为1.7 km/min.
(2)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0，
可得0＝log3－lg 5，
即log3＝2lg 5＝2(1－lg 2)，解得x≈466，
故候鸟停下休息时每分钟的耗氧量约为466个单位．
(3)设雄鸟的耗氧量为x1，雌鸟的耗氧量为x2，由题意得，
两式相减可得1＝log3，解得＝9，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．
题型三　建立拟合函数模型解决实际问题
【例3】某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.
(1)若某企业年产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lg x＋kx＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg 2≈0.3，lg 5≈0.7)．
(2)若采用函数f(x)＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．
【解析】 (1)对于函数模型y＝lg x＋kx＋5(k为常数)，
x＝100时，y＝9，代入解得k＝，所以y＝lg x＋＋5.
当x∈[50,500]时，y＝lg x＋＋5是增函数，但x＝50时，y＝lg 50＋6>7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求．
(2)对于函数模型f(x)＝＝15－，
a为正整数，函数在[50,500]上递增．
由f(x)min＝f(50)≥7，解得a≤344；
要使f(x)≤0.15x对x∈[50,500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x对x∈[50,500]恒成立，
所以a≥315.综上所述，315≤a≤344，
所以满足条件的最小的正整数a的值为315.
【方法技巧】
函数拟合与预测的一般步骤
(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．
(2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．
(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．
(4)根据拟合误差要求判断、选择最佳拟合函数．
(5)利用选取的拟合函数进行预测．
(6)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．
【变式训练】
1.某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015
年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图．
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式．
(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，
确定2019年的年产量为多少？
【解析】(1)画出散点图，如图所示．
(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f(x)＝ax＋b(a≠0)．
由已知得解得所以f(x)＝1.5x＋2.5.
检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1.
f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.
所以一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．
(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即
10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．[好题共享——选自苏教版新教材]在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某
公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其
成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差．
(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；
(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？
请根据题设条件把下面的解析补充完整
解：由题意知，x∈[1,100]，且x∈N*.
(1)P(x)＝R(x)－C(x)
＝?_____________________________
＝?______________________，
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)
＝?_______________________________________________________
＝?_____________.
(2)P(x)＝－202＋74 125，
当?_______________时，
P(x)的最大值为?______(元)．
因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，
所以，当x＝1时，MP(x)的最大值为?______(元)．
因此，利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)?______相同的最大值．
【解析】3 000x－20x2－(500x＋4 000)
－20x2＋2 500x－4 000
－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000－(－20x2＋2 500x－4 000)
2 480－40x
x＝62或x＝63
74120
2440
不具有
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2．王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的
城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升．某城市从2016年到2019
年产生的包装垃圾量如表：
年份x 2016 2017 2018 2019
包装垃圾y(万吨) 4 6 9 13.5
(1)有下列函数模型：
①y＝a·bx－2016；②y＝a(x－2016)＋b；③y＝alg(x＋b)(a＞0，b＞1)．试从以上函数模型中，选择模型________(填
模型序号)，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系，并直接写出所选函数模型
的解析式；
(2)若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
【解析】 (1)选择模型①，所选函数模型的解析式为y＝4×x－2016.
(2)∵y＝4×x－2016，∴令y＞40，得4×x－2016＞40，
∴x－2016＞10，∴x－2016＞log10＝≈5.678 6，
∴x＞2 021.678 6，∴从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨．
1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　)
A．y＝a(1＋5%x)　　　　　 B．y＝a＋5%
C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x
【答案】D
【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.
2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝alog3(x＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2024年冬越冬白鹤有(　　)
A．4 000只　　　　　　　　 B．5 000只
C．6 000只 D．7 000只
【答案】C
【解析】当x＝1时，由3 000＝alog3(1＋2)得a＝3 000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000.故选C.
3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为(　　)
A．60安 B．240安
C．75安 D．135安
【答案】D
【解析】由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.
由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝＝5，所以I＝5r3.
故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.
4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at.关于下列说法正确的是(　　)
A．浮萍每月的增长率为1
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2,3m2,6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
【答案】ABD
【解析】图象过(1,2)点，∴2＝a1，即a＝2，∴y＝2t.
∵＝＝1，∴每月的增长率为1，A正确．
当t＝5时，y＝25＝32＞30，∴B正确．
∵第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－2＝2(m2)，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4(m2)≠y2－y1，∴C不正确．
∵2＝2，3＝2，6＝2，
∴t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，
∴t1＋t2＝log22＋log23＝log26＝t3，D正确．故选A、B、D.
5．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10·lg(其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的(　　)
A.倍 B．10倍
C．10倍 D．ln倍
【答案】B
【解析】依题意可知，η1＝10·lg，η2＝10·lg，所以η1－η2＝10·lg－10·lg，则1＝lg I1－lg I2，所以＝10.故选B.
6．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m2增加到了4 800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是________．
【答案】3－1
【解析】设6年间平均年增长率为x，则有1 200(1＋x)6＝4 800，解得 x＝3－1.
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg，火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.
【答案】e6－1
【解析】当v＝12 000 m/s时，2 000·ln＝12 000，所以ln＝6，所以＝e6－1.
8．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y＝ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示繁殖后细菌总个数，则k＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________．
【答案】2ln 2　1 024
【解析】由题意知，当t＝时，y＝2，即2＝ek，
∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e2×5×ln 2＝210＝1 024.
即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.
9．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A万元，则超过部分按log5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出奖金y关于销售利润x的关系式；
(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
【解析】(1)由题意知
当0≤x≤8时，y＝0.15x；当x>8时，
y＝8×0.15＋log5(2x－15)＝1.2＋log5(2x－15)，所以
y＝
(2)当0≤x≤8时，ymax＝0.15×8＝1.2＜3.2，故小江销售利润x＞8.
由题意知1.2＋log5(2x－15)＝3.2，解得x＝20.
所以小江的销售利润是20万元．
10．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%，10年后森林面积变为.已知到今年为止，森林面积为a.
(1)求p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
【解析】(1)由题意得a(1－p%)10＝，即(1－p%)10＝，
解得p%＝1－.
(2)设经过m年森林面积变为a，
则a(1－p%)m＝a，即＝，＝，
解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．
15．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋(k为正常数)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如下表所示：
x/天 10 20 25 30
Q(x)/件 110 120 125 120
已知第10天的日销售收入为121元．
(1)求k的值；
(2)给出以下四种函数模型：
①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－25|＋b；③Q(x)＝a·bx；④Q(x)＝a·logbx.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
(3)求该小物品的日销售收入(单位：元)f(x)的最小值．
【解析】(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝×110＝121，解得k＝1.
(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N＋)．
(3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25|＝
所以f(x)＝P(x)·Q(x)＝
当1≤x＜25时，y＝x＋在[1,10]上单调递减，在[10,25)上单调递增，所以当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121；
当25≤x≤30时，y＝－x为减函数，所以当x＝30时，f(x)取得最小值，f(x)min＝124.
综上所述，当x＝10时，f(x)取得最小值，f(x)min＝121.
所以该小物品的日销售收入的最小值为121元．
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