4.1指数（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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4.1 指数
知识点一　根式的概念及性质
1.n次方根的概念
定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*
个数 n是奇数 a＞0 X＞0 x仅有一个值，记为
a＜0 x＜0
n是偶数 a＞0 x有两个值，且互为相反数，记为
a＜0 x不存在
【思考】
为什么负数没有偶次方根
【提示】
因为正数和负数的偶次方都是正数，故逆运算求偶次方根时，负数没有偶次方根．
2．根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)性质：①()n＝ (n＞1，且n∈N*)．
②当n为奇数时，＝___；当n为偶数时，＝|a|＝
【思考】
与()n有什么区别？
【提示】是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝()n＝a(n＞1，且n∈N*)．
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意实数的奇次方根只有1个． (　　)
(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数． (　　)
(3) ＝1－π. (　　)
【答案】（1）√（2）√（3）×
2．若a是实数，则下列式子中可能没有意义的是 (　　) 　　　　
A B． C. D．
【答案】D
【解析】当a＜0时，a的偶次方根无意义．
3．化简 －得________．
【答案】6或-2x
【解析】原式＝|x＋3|－(x－3)，当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x.
知识点二　分数指数幂的意义
分数指数幂 正分数 指数幂 规定：a＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)
负分数 指数幂 规定：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)
性质 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
【基础自测】
1．填表，用分数指数幂的形式表示下列各式(a＞0).
a2
【答案】
2．3可化为 (　　)
A. B． C. D．
【答案】C
知识点三　有理数指数幂与无理数指数幂
1．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝ (a＞0，b＞0，r∈Q)．
2．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
3．实数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ (a＞0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝ (a＞0，b＞0，r∈R)．
【基础自测】
1.(1)(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8. (　　)
(2)(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3. (　　)
(3)(－a3)2·(－b2)3＝a6b6. (　　)
(4)[(a3)2·(－b2)3]3＝－a18b18. (　　)
(5)2π＞2. (　　)
【答案】（1）√（2）√（3）×（4）√（5）√
2．化简[(－)2]的结果是 (　　)
A．－ B． C. D．－
【答案】C
3．化简(＋)·(－)＝________.
【答案】1
【解析】原式＝＝1＝1.
题型一　根式的化简与求值
【学透用活】
根式的性质与应用的关键是在理解根式的基础上熟记根式的意义与性质，特别要注意在(n＞1，n∈N*)中，当n为偶数，且a＜0时的情况．对于根式的运算还要注意变形、整体代换以及平方差、立方差、完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时要进行讨论．
【例1】化简：
(1) ；
(2)()2＋＋；
(3) ＋.
【解析】(1)原式＝|3－π|＝π－3.
(2)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
(3)原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2.
【方法技巧】
根式化简应遵循的3个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式．
(2)被开方数是带分数的要化成假分数．
(3)被开方数中不能含有分母；使用＝·(a≥0，b≥0)化简时，被开方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．　　
【变式训练】
1．[根式的概念]在①，②，③，④(n∈N，a∈R)各式中，一定有意义的是 （ ）
A．①②　　　　　　　 B．①③
C．①②③④ D．①③④
【答案】B　
【解析】(－4)2n＞0，故①有意义；(－4)2n＋1＜0，故②无意义；③显然有意义；当a＜0时，a5＜0，此时
无意义，故④不一定有意义．
2．[根式的性质]化简＋＝________.
【答案】
【解析】原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x.
当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；
当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．
3．[带条件的根式的化简]设－3【解析】原式＝ － ＝|x－1|－|x＋3|.
∵－3当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
∴原式＝
题型二　根式与分数指数幂的互化
【学透用活】
【例2】将下列根式化成分数指数幂形式．
(1)·；　(2) ；
(3)·； (4)()2·.
【解析】(1)·＝a·a＝a.
(2)原式＝a·a·a＝a.
(3)原式＝a·a＝a.
(4)原式＝(a)2·a·b＝ab.
【方法技巧】
在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a＝和a＝＝，其中字母a要使式子有意义．
【提醒】分数指数幂与根式相互转化的过程中，一定要注意偶次算术根非负的特点，否则很容易出现差错．如(－x)中隐含－x≥0；化简(1－a)[(a－1)－2·(－a)]时，已知的式子(－a)中隐含－a≥0，因而a－1＜0，所以 ＝(1－a)－1，而不是＝(a－1)－1.　
【变式训练】
1．用根式的形式表示下列各式(x>0，y>0)：
(1)x；(2)x；(3)xy.
【解析】 (1)x＝.
(2)x＝ .
(3)xy＝.
2．用分数指数幂表示下列各式：
(1)·(a＜0)；
(2) (b＜0)；
(3)(x≠0)．
【解析】(1)原式＝a·(－a)＝－(－a)·(－a)
＝－(－a)(a＜0)．
(2)原式＝b＝(－b)(b＜0)．
(3)原式＝＝＝x.
题型三　指数幂的化简与求值
【学透用活】
【例3】计算下列各式：
(1)0＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；
(3)－＋＋－π0；
(4)(2abc2)÷ (a＞0，b＞0，c＞0)．
【解析】(1)原式＝1＋×－＝.
(2)原式＝＋100＋－3＋＝100＋－3＝100.
(3)原式＝－＋＋－1＝－＋＋－1－1＝3.
(4)原式＝－6abc2－＝－6abc.
【方法技巧】
指数幂的一般运算步骤
(1)有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号．
(4)底数是小数，先要化成分数．
(5)底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．　　
【变式训练】
1．计算：
(1) ＋(0.002) －10(－2)－1＋(－)0；
(2)216＋－2－343－；
(3)3π×π＋＋1.
【解析】
(1)原式＝(－1)·＋－＋1
＝＋500－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(2)原式＝(63)＋32－(73)－(5－3)＝36＋9－7－5＝33.
(3)3π×π＋＋1＝π＋22×＋1＝1π＋24＋1＝18.
2．化简下列各式：
(1)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)；
(2) ÷(a＞0，b＞0)．
【解析】(1)(2ab)(－6ab)÷(－3ab)
＝[2×(－6)÷(－3)]·a·b＝4ab.
(2)原式＝÷＝[a·b]÷(a·b)
＝(ab)÷(ab)＝(a·b)÷(ab)＝ab＝ab.
题型四　含条件的求值问题
【探究发现】
(1)平方差公式、差与和的完全平方公式是什么？立方差、立方和公式呢？
(2)能根据上述公式，发现a＋a－1，a2＋a－2和a3＋a－3之间的关系吗？
【提示】(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.
立方差、和公式：a3±b3＝(a±b)(a2 ab＋b2)．
(2)(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2；a3＋a－3＝(a＋a－1)·(a2＋a－2－1)．　　　
【例4】已知a＋a＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
【解析】 (1)将a＋a＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.
【方法技巧】
解决条件求值问题的一般方法——整体代入法
对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值，但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式恰当地变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值时常用的变形公式如下：
(1)a±2ab＋b＝(a±b)2(a＞0，b＞0)．
(2)(a＋b)(a－b)＝a－b(a＞0，b＞0)．
(3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)．
(4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)．　　
【变式训练】
1．[变结论]在本例条件下，则a2－a－2＝________.
【答案】
【解析】【解析】令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±3，即
a2－a－2＝±3.
2．[变条件]已知a－a＝m，求本例中(1)(2)中的值．
【解析】(1)将a－a＝m平方，
得a＋a－1－2＝m2，∴a＋a－1＝m2＋2.
(2)将a＋a－1＝m2＋2平方，
得a2＋a－2＋2＝(m2＋2)2，
∴a2＋a－2＝m4＋4m2＋2.
3．已知x＝，y＝，求－的值．
【解析】－＝－＝.∵x＝，y＝，
∴原式＝＝＝－24＝－8.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．下面是对“已知＝1，＝－1，求的值”的解题过程：
解：根据算术平方根的定义，
由 ＝1，得(2x－y)2＝1，
所以2x－y＝1　①…第一步
根据立方根的定义，
由 ＝－1，得1－2y＝－1　②…第二步
由①②，解得x＝1，y＝1…第三步
把x＝1，y＝1代入中，得＝0…第四步
试分析：
(1)以上解题过程存在错误，请指出错在哪些步骤，并说明错误的原因；
(2)把正确解答过程写出来．
【解析】(1)错在第一步中，
由(2x－y)2＝1应得到2x－y＝±1，
忽略了2x－y＝－1；
在第四步中，当时，
分式无意义，忽略了分式有意义的条件的检验．
(2)正确的解答是：
根据算术平方根的定义，由 ＝1，得(2x－y)2＝1，
所以2x－y＝±1 ①
根据立方根的定义，
由 ＝－1，得1－2y＝－1 ②
由①②，得或
解得或把x＝1，y＝1代入中，分式无意义，
把x＝0，y＝1时，＝＝－1.
二、应用性——强调学以致用
2．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子．写出第n代得到的种子数与n的函数关系式，并求第5代得到的种子数．(结果写成a×10n(0＜a＜10，n为正整数)的形式，a精确到0.01)
【解析】设n代种子数为y，则y＝120n－1，
当n＝5时，y＝1204＝(1.2×102)4＝1.24×108≈2.07×108(粒)．
三、创新性——强调创新意识和创新思维
3．利用科学计算器计算函数值的近似值
有的科学计算器(如计算位数较少的科学计算器)无法直接计算很大的数，
这时，需要我们设计一些计算方法，以便利用这些科学计算器进行近似计算．例如，当x＝500时，函数y
＝2x的函数值的近似值，一般的科学计算器无法直接计算．我们可以采取下面的步骤进行计算：
第一步，利用科学计算器算出210＝1 024＝1.024×103.
第二步，再计算2500.因为2500＝(210)50＝(1.024×103)50＝1.02450×10150，
所以我们只需要用科学计算器算出
1．02450≈3.273 4，
从而算出2500≈3.273 4×10150.
在设计计算方法时，要考虑科学计算器能计算的位数．如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，
并且根据需要保证一定的精确度．
1．下列各式计算正确的是(　　)
A．(－1)0＝1　　　　　 B．a·a2＝a
C．4＝8 D．a6÷a2＝a3
【答案】A
【解析】A：(－1)0＝1；B：a·a2＝a≠a；C：4＝2≠8；D：a6÷a2＝a4≠a3.故选A.
2．化简 (其中a>0，b>0)的结果是(　　)
A. B．－
C. D．－
【答案】C
【解析】＝ ＝＝，故选C.
3．(多选)下列各式中一定成立的有(　　)
A.＝n7m B．＝
C.＝(x＋y) D．＝
【答案】BD
【解析】A中应为＝n7m－7；＝＝，B正确；C中当x＝y＝1时，等式不成立；D正确．故选B、D.
4.－(1－0.5－2)÷的值为(　　)
A．－ B．
C. D．
【答案】D
【解析】原式＝1－(1－22)÷＝1－(－3)×＝.故选D.
5．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于(　　)
A．4 B．2或－2
C．－2 D．2
【答案】D
【解析】设ab－a－b＝t.∵a>1，b>0，∴ab>1，a－b<1.∴t＝ab－a－b>0.
则t2＝(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4.∴t＝2.
6．已知a＞0，将 表示成分数指数幂，其结果是________．
【答案】a
【解析】＝＝＝＝a2·a－＝a2－＝a.
7．若 ＋＝0，则(x2 020)y＝__________________________.
【答案】1
【解析】因为 ＋ ＝0，
所以 ＋ ＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，
所以x＝－1，y＝－3.
所以(x2 020)y＝[(－1)2 020]－3＝1－3＝1.
8．如果a＝3，b＝384，那么a＝________．
【答案】3×2n－3
【解析】a＝3＝3[(128)]n－3＝3×2n－3.
9．化简与计算：
(1)8－(0.5)－3＋×；
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(3)a·a－＋(2)2(a>0)．
【解析】(1)8－(0.5)－3＋×
＝(23)－(2－1)－3＋(3－)－6×＝22－23＋33×＝4－8＋27×＝4.
(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)＝(－4÷12)·a－2－1＋4·b－3＋1＋2c－1＝－.
(3)a·a－＋(2)2 ＝a－＋2×2 ＝a0＋24＝1＋16＝17.
10．已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．
【证明】∵2a·3b＝6，∴2a－1·3b－1＝1.
∴(2a－1·3b－1)d－1＝1，即2(a－1)(d－1)·3(b－1)(d－1)＝1.①
又∵2c·3d＝6，∴2c－1·3d－1＝1.
∴(2c－1·3d－1)b－1＝1，即2(c－1)(b－1)·3(d－1)(b－1)＝1.②
由①②知2(a－1)(d－1)＝2(c－1)(b－1)，
∴(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．
11．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　　)
A. B．
C．1 D．
【答案】B
【解析】∵xy＝yx，y＝9x，∴x9x＝(9x)x，∴(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝＝.
12．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x·2x＋a－1，若f(－1)＝，则a等于(　　)
A．－3 B．－2
C．－1 D．0
【答案】A
【解析】∵f(－1)＝，∴f(1)＝－f(－1)＝－，即21＋a－1＝－，即1＋a＝－2，得a＝－3.
13．(一题两空)设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________．
【答案】　2
【解析】由根与系数的关系得α＋β＝－2，αβ＝.
则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2αβ＝2.
14．化简与求值：
(1)＋0.1－2＋－3π0＋；
(2)÷(a>0，b>0)．
【解析】(1)原式＝＋100＋－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝÷
＝[a－(－)·b－]÷(a－1－·b－－1)－
＝(ab)÷(a－b－)－
＝(a·b)÷(ab)＝a－b－＝ab－.
15．已知函数f(x)＝.
(1)求f＋f，f(3)＋f(－2)的值；
(2)求f(x)＋f(1－x)的值；
(3)利用(2)的结论求f＋f＋f＋…＋f＋f的值．
【解析】(1)f＋f＝＋＝＋＝1.
f(3)＋f(－2)＝＋＝＋＝＋＝1.
(2)f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝＋＝＝1.
(3)由(2)知f＋f＋…＋f＋f＝.
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