4.2.1指数函数的概念（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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4.2.1指数函数的概念
知识点 指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
【思考】
为什么指数函数的底数规定大于0且不等于1？
【提示】
(1)如果a＝0，
(2)如果a＜0，如y＝(－4)x，当x＝，时，在实数范围内函数值不存在．
(3)如果a＝1，y＝1x＝1，是一个常量，对它就没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.
【基础自测】
(1)y＝x2是指数函数． (　　)
(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数． (　　)
(3)y＝2x－1是指数函数． (　　)
【答案】（1）×（2）×（3）×
2．已知函数f(x)＝若f[f(－1)]＝4，则a＝ (　　)
A.　　　　　　　　 B．
C．1 D．2
【答案】D
【解析】由题得f[f(－1)]＝f[2－(－1)]＝f(2)＝a2＝4，又a＞0，且a≠1，所以a＝2，故选D.
3．我国2010年底的人口总数为M，人口的年平均自然增长率为p，到2020年底我国人口总数是(　　)
A．M(1＋p)8 B．M(1＋p)9 C．M(1＋p)10 D．M(1＋p)11
【答案】C
【解析】从2010到2020年一共增长了10次
4．若指数函数f(x)的图象经过点(2,16)，则f＝________.
【答案】
【解析】设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，由于其图象经过点(2,16)，
所以a2＝16，解得a＝4或a＝－4(舍去)，
因此f(x)＝4x，故f＝4＝.
题型一　指数函数的概念
【学透用活】
指数函数有四个特点
(1)定义域必须是实数集R；
(2)自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项；
(3)指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如y＝5·ax(a>0，且a≠1)不是指数函数；
(4)底数a的范围必须是a>0，且a≠1.
【例1】(1)给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是 (　　 )
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．4
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1)∪(1，＋∞) B．[0,1)∪(1，＋∞)
C.∪(1，＋∞) D．
【答案】B C
【解析】(1) ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数．
(2)依题意得2a－1＞0，且2a－1≠1，
解得a＞，且a≠1，故选C.
【方法技巧】
判断一个函数是指数函数的方法
(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)看是否具备指数函数解析式所具有的所有特征．只要有一个特征不具备，则该函数就不是指数函数．　　
【变式训练】
1．下列函数是指数函数的是 (　　 )
A．y＝x B．y＝(－8)x
C．y＝2x－1 D．y＝x2
【答案】A
2．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为________．
【答案】2
【解析】由指数函数的定义知
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
题型二　指数函数的解析式及应用
【学透用活】
【例2】 (1)指数函数y＝f(x)的图象经过点，那么f(4)f(2)＝ (　　)
A．8 B．16
C．32 D．64
(2)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f(－1)的值．
【解析】(1)选D　指数函数y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点，可得a－2＝，解得a＝2，函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64，故选D.
(2)设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，将点(2,9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)．
所以f(x)＝3x.所以f(－1)＝3－1＝.
【方法技巧】
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式．　　
【变式训练】
1．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为(　　)
A．2 B．2
C．－2 D．－2
【答案】B
【解析】∵函数f(x)＝·ax是指数函数，∴a－3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f(x)＝8x，∴f＝
＝2，故选B.
2．已知函数f(x)是指数函数，且f＝，则f(x)＝________.
【答案】5
【解析】设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，
由f＝，得a＝5＝5，∴a＝5，∴f(x)＝5x.
题型三　指数函数的实际应用
【探究发现】
(1)什么是增长率，与增加量有什么区别？
(2)若每次的增长率为p，经过n次后是原来的多少倍？
【提示】(1)增长率＝，增加量＝变后量－变前量，增加量是数量，而增长率是一个比值，是倍数关系．
(2)n次增长后是原来的(1＋p)n倍．　　　
【学透用活】
【例3】某林区2018年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.
(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
【解析】(1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为：
200＋200×5%＝200(1＋5%)．
经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2.
∴经过x年后木材蓄积量为：200(1＋5%)x.
∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N*.
(2)作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象见下图.
x 0 1 2 3 …
y 200 210 220.5 231.5 …
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年的值．∵8＜x0＜9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．
【方法技巧】
实际应用问题中指数函数模型的类型
(1)指数增长模型
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)．
(2)指数减少模型
设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)．
(3)指数型函数
把形如y＝kax(k≠0，a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型．　　
【变式训练】
1．[指数增长类型]某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后，若人均一年占有y千克粮食，则y关于x的解析式为 (　　 )
A．y＝360x－1 B．y＝360×1.04x
C．y＝ D．y＝360x
【答案】A
【解析】设该乡镇现在人口数为M，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克，
1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)千克，人口数为M(1＋1.2%)，
则人均占有粮食产量为千克，
2年后，人均占有粮食产量为千克，……
经过x年后，人均占有粮食产量为千克，
即所求解析式为y＝360x.故选D.
2．[指数减少类型]若镭经过100年后剩留量为原来的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是 (　　)
A．y＝(0.957 6) B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝x D．y＝1－(0.042 4)
【答案】A
【解析】由100年后剩留量为原来的95.76%，故x年后的剩留量y＝(0.957 6).
3．[指数型函数应用]某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，
经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位，1 ppm表示百万分
之一)，再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知，该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之
间存在函数关系y＝cmt(c，m为常数)．求c，m的值．
【解析】由题意可得解得
故c，m的值分别为128，.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．[好题共享——选自苏教版新教材]2000～2002年，我国国内生产总值年平均增长7.8%.按照这个增长速
度，画出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象，并通过图象观察到2016年我国年国内生
产总值约为2000年的多少倍(结果取整数)．
请根据题设条件把下面的解析补充完整．
【解析】设2000年我国年国内生产总值是1，x年后我国年国内生产总值为y.
因为国内生产总值年平均增长7.8%，所以从2001年开始，每年的国内生产总值是上一年的1.078倍，则
经过1年，?___________________；
经过2年，?_____________________；
经过3年，?_______________________；
……
一般地，经过x年，我国年国内生产总值?________________.
画出指数函数y＝1.078x的图象，如图所示．从图象上可以看出，当x＝16时，y≈3.
【答案】 ;;;
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自苏教版新教材]用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢的百分比y与
漂洗次数x的函数关系式，并求出若要使存留的污垢不超过原有的1%所要漂洗的最少次数．
【解析】设原来衣服上残留污垢总体为1，则存留污垢的百分比y与洗涤
次数x的函数关系为y＝x，即y＝x，x∈N*，
若存留污垢不超过原有的1%，所要漂洗的最少次数是4.
1．函数y＝的定义域是(　　)
A．(－∞，0)　　　　　　　 B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
【答案】C
【解析】由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
2．函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　)
【答案】B
【解析】该函数是偶函数．可先画出x≥0时，y＝ax的图象，然后沿y轴翻折过去，便得到x<0时的函数图象．
3．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　)
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝
C．f＝f(x)－f(y)
D．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
【答案】ABD
【解析】f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，故A中的等式正确；f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝＝，故B中的等式正确；f＝a＝(ax)，f(x)－f(y)＝ax－ay≠(ax)，故C中的等式错误；f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，故D中的等式正确．
4．函数y＝|x|－1的值域是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－1,0]
【答案】D
【解析】将函数转化为分段函数，则y＝图象如图所示，
所以函数的值域为(－1,0]．
5．函数f(x)＝·2x的图象大致形状是(　　)
【答案】B
【解析】由函数f(x)＝·2x＝可得函数在(0，＋∞)上单调递增，且此时函数值大于1；在(－∞，0)上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零．结合所给的选项，只有B满足条件，故选B.
6．函数y＝ax－3＋3(a＞0，且a≠1)的图象过定点________．
【答案】 (3,4)
【解析】因为指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．
7．若函数f(x)＝则函数f(x)的值域是________．
【答案】 (－1,0)∪(0,1)
【解析】由x＜0，得0＜2x＜1；∵x＞0，∴－x＜0,0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．
8．若函数y＝ax＋b－1(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限，那么a，b的取值范围分别为________．
【答案】(1，＋∞)，(－∞，0]
【解析】当0当a>1时，根据题意得，函数y＝ax的图象需要向下平移，且平移量不小于1个单位长度，即b－1≤－1，解得b≤0.
综上所述，a>1，b≤0.
9．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2－1；(2)y＝2x2－2.
【解析】(1)要使y＝2－1有意义，需x≠0，则2＞0且2≠1，故2－1＞－1且2－1≠0，故函数y＝2－1的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．
(2)函数y＝2x2－2的定义域为实数集R，由于2x2≥0，则2x2－2≥－2，故0＜2x2－2≤9，所以函数y＝2x2－2的值域为(0,9]．
10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a＞0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
【解析】(1)函数图象经过点，所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知函数为f(x)＝x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1.于是0＜x－1≤－1＝2，所以函数的值域为(0,2]．
11．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
【答案】B
【解析】函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在(0,2)内的值域是(1，a2)，则由指数函数是单调函数，有a>1.由底数大于1的指数函数是增函数，且在x轴上方，可知B正确．故选B.
12．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为(　　)
【答案】C
【解析】由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.
13．已知a>0，且a≠1，若函数f(x)＝2ax－4在区间[－1，2]上的最大值为10，则a＝________.
【答案】或
【解析】若a>1，则函数y＝ax在区间[－1,2]上是递增的，
当x＝2时，f(x)取得最大值f(2)＝2a2－4＝10，
即a2＝7，又a>1，所以a＝.
若0当x＝－1时，f(x)取得最大值f(－1)＝2a－1－4＝10，所以a＝.综上所述，a的值为或.
14．画出函数y＝|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间及值域．
【解析】原函数变形为y＝
显然函数y＝|x|是偶函数，
先画出y＝x(x≥0)的图象，再作出其关于y轴对称的图象，即得y＝|x|的图象，再向右平移1个单位，如图所示．
由图象可知，函数y＝|x－1|在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，其值域是(0,1]．
15．设f(x)＝3x，g(x)＝x.
(1)在同一平面直角坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
【解析】(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝－1＝3；
f(π)＝3π，g(－π)＝－π＝3π；
f(m)＝3m，g(－m)＝－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于y轴对称．
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