4.4.3不同函数增长的差异（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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4.4.3不同函数增长的差异
知识点 不同函数增长的差异
函数 y＝kx(k＞0) y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1)
在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
随x的增大 函数图象 保持增长 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行
增长 共同点 在区间(0，＋∞)上，三种函数都是增函数
速度的 不同点 保持不变 增长速度越来越快 增长速度越来越慢
比较 存在一个正数x0，当x＞x0时，有ax0＞kx0＞logax0
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数． (　　 )
(2)对任意的x＞0，kx＞logax. (　　 )
(3)对任意的x＞0，ax＞logax. (　　 )
(4)函数y＝log2x增长的速度越来越慢． (　　 )
【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√
2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是 (　　)
A．y＝ex　　　　　　　 B．y＝ln x
C．y＝3x D．y＝e－x
【答案】A
3．某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，
若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用 (　　)
A．一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
【答案】D
4．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是
定价的一次函数，则这个函数解析式为________________________________．
【答案】y＝－x＋50(0＜x＜200)
题型一　三类模型增长差异的比较
【学透用活】
【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是 (　　)
A．y＝2 019x　　　　　　 B．y＝x2 019
C．y＝log2 019x D．y＝2 019x
【答案】A
【解析】(1)比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.
(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
【解析】(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
【方法技巧】
比较函数增长情况的方法
(1)解析法：直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数，其中当x较大时，指数型函数增长速度最快，一次函数增长速度其次，对数型函数增长速度最慢．
(2)表格法：通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异．
(3)图象法：在同一直角坐标系中画出各函数的图象，观察图象并借助计算器，便能直观地得出这几个函数增长速度的差异．　　
【变式训练】
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是 (　　)
A．y＝6x　　　　　　　 B．y＝log6x
C．y＝x2 D．y＝6x
【答案】B
【解析】 D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速
度越来越慢，符合题意．
2．“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合
拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是(　　)
A．指数函数y＝2t B．对数函数y＝log2t
C．幂函数y＝t3 D．二次函数y＝2t2
【答案】A
【解析】根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越
来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.
题型二　函数模型的选择
【学透用活】
【例2】某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
【解析】作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
【方法技巧】
几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．
(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．　　
【变式训练】
某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b
与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(米) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
【解析】在坐标轴上标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示．
由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．
不妨将(2,1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.
故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．
当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
题型三　不同增长的函数模型的图象特征
【学透用活】
【例3】函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
【解析】(1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．
g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，
f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．
【方法技巧】
由图象判断一次函数、指数函数和对数函数的方法
根据图象判断增长型的一次函数、指数函数和对数函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．
【变式训练】
1．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 …
y1 2 4 8 16 32 64 128 256 …
y2 1 4 9 16 25 36 49 64 …
y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 …
其中关于x呈指数函数变化的函数是________．
【答案】y1
【解析】从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速
度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变
量y1呈指数函数变化，故填y1.
2.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，
如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数
关系式为________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教
室，那么从药物释放开始，至少要经过________小时后，学生才能回到教室．
【解析】(1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t；当t>0.1时，由1＝0.1－a，得a＝0.1，则当t>0.1时，y＝.故y＝
(2)由题意可知， <0.25，得t>0.6.
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
一、应用性——强调学以致用
1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
解：设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；
方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N＋)．
作出三个函数的图像如图：
由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一、二一样多，方案三
最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到
第三十天，所得回报已超过2亿元，
∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．
通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.
∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一、二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．
二、创新性——强调创新意识和创新思维
2.已知甲、乙两物体在同一直线上向同一方向做匀速直线运动，其位移y(单位：km)和运动时间x(单位：h)(0≤x≤5)的关系如图所示，给出以下说法：
①甲、乙运动的速度相同，都是5 km/h；
②甲、乙运动的时间相同，开始运动后相等时间内甲的位移比乙大；
③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是4 km/h；
④当甲、乙运动了3 h后，甲的位移比乙大3 km，但乙在甲前方2 km处．
其中正确的说法是 (　　)
A．③　　　B．①②③ C．①③④ D．②③④
【解析】经图象分析③是对的，故①错；对于②，甲、乙运动的时间显
然都是5 h，因为甲的速度为5 km/h，乙的速度为4 km/h，所以开始
运动相等时间内甲的位移比乙大，故②正确；对于④，当甲、乙运动了3
h后，甲的位移为3×5＝15(km)，乙的位移为3×4＝12(km)．又因为乙
是从甲前方5 km处开始运动的，所以甲的位移比乙大3 km，但乙在甲
前方2 km处；所以④正确．
1．(多选)下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　)
A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快
B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢
C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢
D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快
【答案】ABD
【解析】结合指数函数y＝x和对数函数y＝logx的图象易得C正确，A、B、D错误．
2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)
【答案】D
【解析】设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
3．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(　　)
A．y1，y2，y3　　　　　　　 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
【答案】C
【解析】通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C.
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是(　　)
A．y＝2x－2 B．y＝x
C．y＝log2x D．y＝(x2－1)
【答案】D
【解析】法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.
法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.
5．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　)
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3
C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y3＞y1
【答案】B
【解析】在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.
6．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
【答案】甲
【解析】把x＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
7．函数y＝x2与函数y＝xln x在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________．
【答案】y＝x2
【解析】当x变大时，x比ln x增长要快，
∴x2要比xln x增长的要快．
8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应______；B对应_____；C对应______；D对应______．
【答案】 (4)　(1)　(3)　(2)
【解析】A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与(3)对应，D容器水高度变化慢，与(2)对应．
9．画出函数f(x)＝与函数g(x)＝x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．
【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图所示．
根据图象易得：
当0≤x＜4时，f(x)＞g(x)；
当x＝4时，f(x)＝g(x)；
当x＞4时，f(x)＜g(x)．
10.某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区.甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区.”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元.”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番.”
你觉得哪个公司在10天内捐款最多？
【解析】三个公司在10天内捐款情况如下表所示.
11．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
【答案】D
【解析】将x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；将x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.
12．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有(　　)
A．f(bx)≥f(cx) B．f(bx)≤f(cx)
C．f(bx)【答案】B
【解析】由f(1＋x)＝f(1－x)，知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以＝1，即b＝2.
由f(0)＝3，知c＝3.此时f(x)＝x2－2x＋3.
当x<0时，3x<2x<1，函数y＝f(x)在区间(－∞，1)上是减函数，所以f(bx)当x＝0时，f(bx)＝f(cx)；
当x>0时，3x>2x>1，函数y＝f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以f(bx)综上，f(bx)≤f(cx)．
13.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0且a≠1)的图象．
有以下说法：
①第4个月时，剩留量就会低于；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确说法的序号是________．
【答案】①③
【解析】由于函数的图象经过点，故函数的关系式为y＝t.
当t＝4时，y＝＜，故①正确；
当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝，，，解得t1＝log，t2＝log，t3＝log，t1＋t2＝t3，故③正确．
14．已知函数f(x)＝2x和g(x)＝x3，设两个函数的图象相交于点A(x1，y1)和B(x2，y2)，且x1【解析】依题意知，x1和x2是使两个函数的函数值相等的自变量x的值．当xx3，即f(x)>g(x)；
当x1当x>x2时，f(x)>g(x)．
因为f(1)＝2，g(1)＝1，f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，
所以x1∈[1,2]，即a＝1.
又因为f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，f(8)g(10)，
所以x2∈[9,10]，即b＝9.
15．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示：
x 1 2 3 4
f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44
若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a.
(1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式；
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量．
【解析】(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b，
若模型为f(x)＝2x＋a，
则由f(1)＝21＋a＝4，
得a＝2，
即f(x)＝2x＋2，
此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f(x)＝logx＋a，
则f(x)是减函数，与已知不符合．
由已知得
解得
所以f(x)＝x＋，x∈N.
(2)2021年预计年产量为f(7)＝×7＋＝13，
2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1.
2021年的年产量为9.1万件．
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