4.5.1函数的零点与方程的解（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

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4.5.1函数的零点与方程的解
知识点　函数的零点与方程的解
1．函数的零点
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
3．函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数y＝f(x)在区
间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
【思考】(1)在零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点．则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？
(2)零点存在定理的逆命题是否成立？
【提示】(1)当f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0时，f(x)在(a，b)上有唯一零点．
(2)零点存在定理是不可逆的．因为由f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定能推出f(a)·f(b)<0.如图，虽然在区间(a，b)内函数有零点，但f(a)·f(b)>0.
【基础自测】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数的零点是一个点． (　　)
(2)任何函数都有零点． (　　)
(3)函数y＝x的零点是O(0,0)． (　　)
(4)若函数f(x)满足f(a)·f(b)＜0，则函数在区间[a，b]上至少有一个零点． (　　)
(5)函数的零点不是点，它是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)＝0的根(　　)．
【答案】（1）×（2）×（3）×（4）×（5）√
2．函数f(x)＝log2x的零点是 (　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
【答案】A
3．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是 (　　)
A．(1，＋∞) 　 　B． 　 　C. 　 　D．
【解析】由f(x)＝2x－，得f＝2－2＜0，f(1)＝2－1＝1＞0，
∴f·f(1)＜0.∴零点所在区间为.
4．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有______个．
【答案】5
【解析】∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，
∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
题型一　求函数的零点或判断零点个数
【学透用活】
【例1】判断下列函数零点的个数．
(1)f(x)＝x2－x＋；
(2)f(x)＝ln x＋x2－3.
【解析】(1)由f(x)＝0，即x2－x＋＝0，
得Δ＝2－4×＝－<0，
所以方程x2－x＋＝0没有实数根，
即f(x)零点的个数为0.
(2)法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．
法二：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是连续的，
所以f(x)在(1,2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，
所以零点只有一个．
【方法技巧】
(1)零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点的定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根，即函数y＝f(x)的零点 方程f(x)＝0的实根 函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
(3)求函数的零点就是求相应方程的解．
【变式训练】
1．[求函数的零点]已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为 (　　)
A.，0　　　 　B．－2,0 C. D．0
【答案】D　
【解析】当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0；当x＞1时，令1＋log2x＝0，
得x＝，此时无解．综上所述，函数f(x)的零点为0.故选D.
2．[判断零点的个数]函数f(x)＝ln x－的零点的个数是 (　　 )
A．0 B．1
C.2 D．3
【答案】C　
【解析】如图，画出y＝ln x与y＝的图象，由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)
的图象有两个交点．故函数f(x)＝ln x－的零点有2个．
3．[根据零点的个数求参数]若函数f(x)＝－2a有两个零点，则实数a的取值范围是 (　　 ) A. B．(0,1) C. D．(1，＋∞)
【答案】A
【解析】由题意可得f(x)＝－2a＝0，即＝2a，
函数f(x)＝－2a有两个零点，
即函数y＝与y＝2a的图象有两个交点，作出图象，如图所示：则0＜2a＜1，即0＜a＜.故选A.
题型二　判断零点所在的区间
【探究发现】
(1)什么是函数的零点？
(2)f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在区间(a，b)上存在零点的什么条件？f(a)f(b)＞0时函数在区间上一定没有零点吗？
【提示】(1)函数的零点是函数y＝f(x)与x轴交点的横坐标．
(2)f(a)f(b)＜0是连续函数f(x)在(a，b)上存在零点的充分不必要条件．f(a)f(b)＞0时函数在区间(a，b)上不一定没有零点．
【例2】(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是 (　　)
A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)
C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
【解析】(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2,4)内有根．故选A.
(2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【解析】(2)法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0,1)内有零点．
法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．
【方法技巧】
确定函数零点所在区间的常用方法
解方程法 当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上
零点存 在定理 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点
数形结合法 通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断
【变式训练】
1．[确定零点所在区间]函数f(x)＝2x＋log2x－3的零点所在区间为 (　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【答案】B
【解析】由题意，可得函数在定义域上为增函数，f(1)＝2＋log21－3＝－1＜0，
f(2)＝22＋log22－3＝5－3＝2＞0，所以f(1)f(2)＜0，根据零点存在定理，f(x)的零点所在区间为(1,2)．
故选B.
2．[已知零点所在区间求参数值]设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.
【答案】2
【解析】令f(x)＝ln x＋x－4，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∵f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，∴f(x)仅在(2,3)内有零点，∴k＝2.
3．[已知零点所在区间求参数范围]若函数f(x)＝x－x＋a的零点在区间(1，＋∞)上，则实数a的取值范
围是________．
【答案】
【解析】易知函数f(x)＝x－x＋a在定义域上单调递增，
又∵函数f(x)＝x－x＋a的零点在区间(1，＋∞)上，
∴f(1)＝＋a＜0，∴a＜－.
题型三　二次函数零点分布问题
二次函数零点的分布，一般有两种题型
(1)二次函数在某一个区间内有两个零点，一般情况下需要从以下三个方面考虑：
①对应一元二次方程根的判别式；
②区间端点函数值的正负；
③对应二次函数的图象——抛物线的对称轴x＝－在区间内．
(2)二次函数在某一个区间内仅有一个零点，只需考虑区间端点函数值的正负．
【例3】已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，分别求出下列条件成立的情况下，实数a的取值范围：
(1)两个零点均大于1；
(2)一个零点大于1，一个零点小于1；
(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．
【解析】(1)由已知并结合二次函数的图象，得
解得2≤a＜，故实数a的取值范围是.
(2)由已知并结合二次函数的图象得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞，因此实数a的取值范围是.
(3)由已知并结合二次函数的图象与零点存在定理，
得解得＜a＜，
因此实数a的取值范围是.
【方法技巧】
解决根的分布问题的注意事项及方法
(1)解决有关根的分布问题应注意以下几点：
①首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
②结合草图考虑四个方面：a.Δ与0的大小；b.对称轴与所给端点值的关系；c.端点的函数值与零的关系；d.开口方向．
③写出由题意得到的不等式(组)并检验条件的完备性．
(2)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解．当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论．
【变式训练】
1．方程x2＋2(m－1)x＋2m＋6＝0有两个实根x1，x2，且满足0＜x1＜1＜x2＜4，则m的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，－1)∪(5，＋∞)
C. D．
【答案】A【解析】设f(x)＝x2＋2(m－1)x＋2m＋6，由题意可得，即解得－＜m＜－，故选A.
2．求证：方程5x2－7x－1＝0的一个根在区间(－1,0)上，另一个根在区间(1,2)上．
【证明】由Δ＝69＞0，得方程共有两个不等实根，
设f(x)＝5x2－7x－1，则f(－1)＝5＋7－1＝11，f(0)＝－1，f(1)＝5－7－1＝－3，f(2)＝20－14－1＝5.
∵f(－1)·f(0)＝－11＜0，f(1)·f(2)＝－15＜0，且f(x)＝5x2－7x－1的图象在R上是连续不断的，
∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上分别有零点，
即方程5x2－7x－1＝0的一个根在区间(－1,0)上，另一个根在区间(1,2)上．
【课堂思维激活】
一、综合性——强调融会贯通
1．有一道题“若函数f(x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”．
某同学给出了如下解答：
解：由f(－1)f(1)＝(24a－5)(24a＋3)＜0，
解得－＜a＜.
所以实数a的取值范围是.
上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确答案.
【提示】上述解法不正确，因为该同学只考虑了在区间(-1,1)内存在零点，而没有考虑只有一个零点.
【正解】函数f(x)在区间(－1,1)内恰有一个零点，
则方程24ax2＋4x－1＝0在区间(－1,1)内恰有一个根，
当a＝0时，方程24ax2＋4x－1＝0可化为4x－1＝0，解为x＝，成立．
当a≠0时，方程24ax2＋4x－1＝0是一元二次方程，
对称轴为x＝－，Δ＝42－4×24a×(－1)＝16＋96a，
若a＞0，对称轴x＝－＜0且Δ＞0，由根与系数的关系可知，
方程有两个不等的异号实数根，
因为方程在区间(－1,1)内恰有一个根，所以f(－1)f(1)＜0，解得－＜a＜，
又因为a＞0，所以0＜a＜；
若a＜0，对称轴x＝－＞0，因为方程在区间(－1,1)内恰有一个根，
所以或
解得－＜a＜0或a＝－.
另外，当f(－1)＝0，即a＝时，f(x)＝5x2＋4x－1，
令f(x)＝0，可得x＝或x＝－1，因为－1 (－1,1)，
所以函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个零点，即a＝符合题意．
同理：当f(1)＝0，即a＝－时也符合题意．
综上，实数a的取值范围为∪.
三、创新性——强调创新意识和创新思维
2．[好题共享——选自苏教版新教材]已知定义在R上的函数y＝f(x)的图
象是一条不间断的曲线，f(a)≠f(b)，其中a＜b，设F(x)＝f(x)－，
求证：函数F(x)在区间(a，b)上有零点．
【证明】∵f(x)在(a，b)上不间断，∴F(x)＝f(x)－在(a，b)上连续．
又∵f(a)≠f(b)，∴f(a)－f(b)≠0. F(a)＝f(a)－＝，F(b)＝f(b)－＝，
∴F(a)F(b)＝·＝－＜0，即F(a)F(b)＜0.∴函数F(x)在区间(a，b)上有零点．
1．函数f(x)＝x3－4x的零点为(　　)
A．(0,0)，(2,0)　　　　　 B．(－2,0)，(0,0)，(2,0)
C．－2,0,2 D．0,2
【答案】C
【解析】令f(x)＝0，得x(x－2)(x＋2)＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
2．(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有(　　)
【答案】CD
【解析】有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故选C、D.
3．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C. D.
【答案】C
【解析】因为f(0)＝e0－3<0，f＝e＋2－3>0，所以函数的零点所在的区间为，故选C.
4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点(　　)
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
【答案】C
【解析】若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1,2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故选C.
5．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．a>1 B．a<1
C．a<－1或a>1 D．－1【答案】C
【解析】函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则f(－1)·f(1)<0，即(1－a)·(1＋a)<0，解得a<－1或a>1，故选C.
6．若f (x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．
【答案】1,1＋
【解析】由f(x)＝x，得或
解得 x＝1＋或x＝1.
7．函数f(x)＝|x－2|－ln x的零点的个数为________．
【答案】2
【解析】由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，函数f(x)在(0，＋∞)内的零点就是方程|x－2|－ln x＝0的根．令y1＝|x－2|，y2＝ln x(x>0)，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，由图知，两个函数图象有两个交点，故方程|x－2|－ln x＝0有2个根，即对应函数有2个零点．
8．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝________，
b＝________.
【答案】1　2
【解析】∵函数f(x)＝3x＋x－5，∴f(1)＝31＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0，∴f(1)f(2)<0，且函数f(x)在R上单调递增，∴f(x)的零点x0在区间(1,2)内．∴a＝1，b＝2.
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；
(2)f(x)＝x4－x2；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝log3(x＋1)．
【解析】(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，
所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)因为f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
所以x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5＜0，
∵4x＞0恒成立，∴方程4x＋5＝0无实数解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
10．已知函数f(x)＝2x－x2，问方程f(x)＝0在区间[－1,0]内是否有解，为什么？
【解析】有解．因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－＜0，
f(0)＝20－02＝1＞0，且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有解．
11．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是(　　)
A．a＞0 B．a≤0
C．a≥0 D．a＜0
【答案】B
【解析】函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0.
12．(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的有(　　)
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
【答案】ABD
【解析】由题知f(0)·f(1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点，又f(1)·f(2)>0，因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点．
13．(一题两空)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
【答案】3　0
【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.
14．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.
(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；
(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．
【解析】(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.
所以f(x)的零点是1和3.
(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．
需f(1)＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4.
故b的取值范围为(4，＋∞)．
15．已知函数f(x)＝logx＋－.
(1)用单调性的定义证明：f(x)在定义域上是单调函数；
(2)证明：f(x)有零点；
(3)设f(x)的零点x0落在区间内，求正整数n的值．
【解析】 (1)证明：显然，f(x)的定义域为(0，＋∞)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x10，x1x2>0，则－＝>0，logx1>logx2，即logx1－logx2>0，所以f(x1)－f(x2)＝(logx1－logx2)＋>0，所以f(x1)>f(x2)．故f(x)在定义域(0，＋∞)上是减函数．
(2)证明：因为f(1)＝0＋－＝－8<0，f＝4＋8－＝>0，所以f(1)·f<0，又因为f(x)在区间上是连续的，所以f(x)有零点．
(3)f＝log＋－＝log211－3>log28－3＝0，
f＝log＋5－＝log210－＝log25－＝log2－log2<0，
所以ff<0，所以f(x)的零点x0落在区间内．故n＝10.
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