苏科版九年级数学上册第2章对称图形-圆小结与思考20课件(共41张PPT)

(共41张PPT)
小结与思考
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
·
C
O
A
B
连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，
与圆有关的概念
弦
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
·
C
O
B
弧
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
·
C
O
A
B
劣弧与优弧
⌒
小于半圆的弧叫做劣弧.
大于半圆的弧叫做优弧.
⌒
（如图中的AC）
(用三个字母表示,如图中的ABC)
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫弓形。
等圆：能够重合的两个圆叫做等圆，易知同圆或等圆的半径相等。
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
等弧应同时满足两个条件：1）两弧的长度相等，
2）两弧的度数相等。
1、直径是弦，而弦不一定是直径；
2、半圆是弧，而弧不一定是半圆；
3、两条等弧的度数相等，长度也相等，
反之，度数相等或长度相等的两条弧不一定是等弧。
注意：
想一想
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)等弧就是拉直以后长度相等的弧
随堂练习
一、垂径定理
●O
A
B
C
D
M└
重视：模型“垂径定理直角三角形”
③AM=BM,
若 ① CD是直径
② CD⊥AB
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
　　1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦；
(3) 平分弦 ；　　　　(4)平分劣弧；
(5)平分优弧.
知二得三
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗
( )
错
●O
A
B
C
D
M└
垂径定理及其推论
●O
A
B
C
D
1.两条弦在圆心的同侧
●O
A
B
C
D
2.两条弦在圆心的两侧
例⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
距离是___ .
2cm
或14cm
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.
·
O
B
A
●O
B
A
C
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
●O
A
B
┓
D
A′
B′
D′
┏
如由条件:
②AB=A′B′
⌒　⌒
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
可推出
①∠AOB=∠A′O′B′
二、圆心角、弧、弦、弦心距的关系
综上,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的
一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
三、圆周角定理及推论
90°的圆周角所对的弦是 .
●O
B
A
C
D
E
●O
A
B
C
定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,
都等于这弧所对的圆心角的一半.
推论:直径所对的圆周角是 .
直角
直径
判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等.
(2)相等的圆周角所对的弧相等.
(3) 等弧所对的圆周角相等.
(×)
(×)
(√)
随堂练习
　　1、如图1，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，弧AC度数为60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AB=_____，BC=_____；
　　2、已知弧AB 、弧AC是同圆的两段弧，且弧AB等于2倍弧AC，则弦AB与CD之间的关系为（ ）；
　A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能确定　　　　　　　　　　　　
图1
　　3、 如图2，⊙O中弧AB的度数为60°，AC是⊙O的直径，那么∠BOC等于 ( )；
　A．150° B．130° C．120° D．60°
　　4、在△ABC中，∠A＝70°，若O为△ABC的外心，∠BOC= 　；若O为△ABC的内心，∠BOC= 　．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　 图2
5、两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_____ cm；
　 6、如图1,已知⊙O，AB为直径，AB⊥CD，垂足为E，由图你还能知道哪些正确的结论 请把它们一一写出来 ；
　　7、为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面如图2，若管内污水的面宽AB=60 cm，则污水的最大深度为 cm；
　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　图2
.P
.O
r
四、点和圆的位置关系
Op＜r 点p在⊙O内
Op=r 点p在⊙O上
Op＞r 点p在⊙O外
.P
.O
r
.P
.O
r
练习：有两个同心圆，半径分别为Ｒ和r，
Ｐ是圆环内一点，
则OP的取值范围是＿＿＿＿＿.
r经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．
一个三角形的外接圆有几个？
一个圆的内接三角形有几个？
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。
想一想
●O
A
B
C
不在同一直线上的三个点确定一个圆　　　　　
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；
（2）任意一个外角都等于它的内对角
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
做一做
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
　　1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
　　2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM=_____ cm.
　　
随堂练习
　　　　3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（ ）
　　A、1∶2∶3∶4 　　　　
B、1∶3∶2∶4
　　C、4∶2∶3∶1 　　　　
D、4∶2∶1∶3
1、直线和圆相交
五.直线与圆的位置关系
d r;
d r;
2、直线和圆相切
3、直线和圆相离
d r.
●O
●O
相交
●O
相切
相离
r
r
r
┐d
d
┐
d
┐
<
=
>
切线的判定定理
定理 经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
C
D
●O
A
　如图
　∵OA是⊙O的半径, 且CD⊥OA,
∴ CD是⊙O的切线.
（１）定义
（２）圆心到直线的距离d＝圆的半径r
（３）切线的判定定理：经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的判定方法
切线的判定定理的两种应用
　　1、如果已知直线与圆有交点，往往要作出过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径即可；
　　2、如果不明确直线与圆的交点，往往要作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线段等于半径即可．
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
　　∵CD切⊙O于Ａ, OA是⊙O的半径
C
D
●O
A
∴CD⊥OA.
　　做一做：1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的弦BC与小圆相切，则BC=_____ cm；
　　2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆
中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，
设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____；
　　3、下列四个命题中正确的是（ ）．
①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线．
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离相等； （ ）
2、直角三角形的外心是斜边的中点． （ ）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则
它的外接圆
半径　　　　，内切圆半径　　　　；
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之
比　　　　．
×
√
6.5cm
2cm
2:1
随堂练习
三、选择题：
下列命题正确的是（ ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
C
四、一个三角形,它的周长为30cm,它的内切圆半径为2cm,则这个三角形的面积为______．
30cm
随堂练习
A
B
C
O
六.三角形的外接圆和内切圆：
A
B
C
I
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心。
三角形外接圆的圆心叫三角形的外心
实质 性质
三角形的外心
三角形的内心
三角形三边垂直平分线的交点
三角形三内角角平分线的交点
到三角形各边的距离相等
到三角形各顶点的距离相等
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
从圆外一点向圆所引的两条切线长相等;并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
A
B
P
●O
┗
┏
1
2
A
B
C
●
┗
┏
┓
O
D
E
F
┗
●
A
B
C
●
O
●
┗
┓
O
D
E
F
┗
切线长定理及其推论:
直角三角形的内切圆半径与三边关系.
三角形的内切圆半径与圆面积.
∵PA,PB切⊙O于A,B
∴PA=PB ∠1=∠2
1.如图：圆O中弦AB等于半径R，则这条弦所对的圆心角是＿＿＿,圆周角是＿＿＿＿＿＿.
60度
30或150度
随堂练习
　2：已知ABC三点在圆O上，连接ABCO，如果∠ AOC=140 °，求∠ B的度数．
　3.平面上一点P到圆O上一点的距离最长为6cm,最短为2cm,则圆O的半径为_______.
D
　　解：在优弧AC上定一点D，连结AD、
CD.
∵ ∠ AOC=140 °
∴ ∠ D=70 °
∴ ∠ B=180 ° －70 ° =110 °
2或4cm
　　4.怎样要将一个如图所示的破镜重圆？
A
B
C
P
　　5、 如图，AB是⊙O的任意一条弦，OC⊥AB，垂足为P，若 CP=7cm，AB=28cm ，你能帮老师求出这面镜子的半径吗？
O
7
14
综合应用垂径定理和勾股定理可求得半径
　　6.如图：AB是圆O的直径，BD是圆O的弦，
BD到C，AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？
为什么？
　　补充：
　　若∠B=70 °,则∠DOE=＿＿＿．
E
40 °
　　7、如图,AB是圆O的直径,圆O过AC的中点D,DE⊥BC于E．
　　证明:DE是圆O的切线.
A
B
C
D
E
O
.
谢 谢