2021-2022学年 人教版数学八年级上册13.3 等腰三角形 第5课时 含30°角的直角三角形的性质课件(共21张PPT)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年 人教版数学八年级上册13.3 等腰三角形 第5课时 含30°角的直角三角形的性质课件(共21张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 402.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-28 16:15:20 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
人教版 数学 八年级上册
第3节 等腰三角形
第5课时 含30°角的直角三角形的性质
第十三章 轴对称
等边三角形的判定方法有哪些？
1.三边相等的三角形是等边三角形；
2.三个角都相等的三角形是等边三角形；
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
复习旧知
用直尺量一量含有30°角的直角三角板的最短直角边（即30°角所对的直角边）与斜边的长度,你有什么发现吗？
如图,将两个含30°角的三角尺摆放在一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与AB之间的数量吗？
A
B
C
D
导入新知
1.掌握含有30°角的直角三角形的性质和应用.
2.探索并证明含有30°角的直角三角形的性质，并用以解决实际问题.
学习目标
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴BC= AB.
A
C
B
新知 含30°角的直角三角形的性质
合作探究
证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴AB=AD.
∵∠BAC=∠DAC=30°，∴∠B=∠D=60°.
∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD.
∵∠BCA=∠DCA=90°，
∴AC⊥BD，
∴C为BD的中点，BC=DC= BD.
∴BC= AB，CD= AD.
A
B
D
C
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°.
求证：BC= AB.
证明：在斜边AB上截取BD=BC，连接CD.
A
C
B
D
∵在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴∠B=60°.
∵BD=BC,∠B=60° ,∴△BCD为等边三角形,
∴∠DCB=60°,CD=BC=BD.∴∠ACD=∠A=30°,
∴AD=CD.∴BC=CD=BD=AD. ∴BC= AB.
几何语言：在Rt△ABC中,
∵∠C=90°,BC= AB，∴∠A=30°.
A
C
B
D
拓展 直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的角等于30°.
这个性质反过来说还成立吗？请试着证明你的猜想.
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B，∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
解：∵∠C=90°，∠B=2∠A.
∴∠B+∠A=180°-∠C，即3∠A=90°.
∴ ∠A=30°，∠B=60°.
∵在Rt△ABC中，∠A=30°,
∴AB=2BC.
A
C
B
典例精析
如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A.4 B.6 C. D.8
A
B
C
M
N
MN//BC ， CM平分∠ACB
△CMN为等腰三角形
MN平分∠AMC
∠AMN=30°，NM=MC=2
BC=2AC=6
B
课堂练习
解：∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB,∴∠NCM=∠BCM.
∵MN//BC,∴∠AMN=∠B,∠NMC=∠BCM.
∴△MNC为等腰三角形. ∴NM=NC.
∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠CMN =∠BCM=30°.
在Rt△ANM中， ∠AMN=30°，AN=1，
∴ NM=NC=2. ∴AC=AN+NC=3.
在Rt△ABC中， ∵∠AMN=∠B=30°, ∴BC=2AC=6.
含30°角的直角三角形
性质
判定（拓展）
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.
归纳新知
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE＝8.求CE的长．
课后练习
2．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.求CD的长．
解：如图，延长AD，BC交于点E.
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠E＝60°，AE＝2BE.
又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°.
∴∠ECD＝60°.∴△DCE是等边三角形．
∴CD＝CE＝DE.
∵AD＝4，BC＝1，
∴2(1＋CD)＝4＋CD，解得CD＝2.
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠BAD，∠DAB＝30°.求证AD＝2BC.
证明：如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.
∵DC∥AB，∠DAB＝30°，
∴∠DCA＝∠BAC，∠CDE＝30°.
在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE.
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA.∴AD＝CD.∴AD＝2CE.
∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠BAD，
∴BC＝CE.∴AD＝2BC.
4．如图，点P是△ABC的边BC上一点，PC＝2PB，∠ABC＝45°，∠APC＝60°.求∠ACB的度数．
解：如图，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD.
∵∠APC＝60°，∴∠PCD＝30°.
∴PC＝2PD.
∵PC＝2PB，∴PB＝PD.
∴∠PBD＝∠PDB＝30°.∴∠PCD＝∠PBD.
∴BD＝CD.∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝15°.
又∵∠BAP＝∠APC－∠ABC＝15°，
∴∠ABD＝∠BAP.
∴AD＝BD.
∴AD＝CD.
∴∠DAC＝∠DCA＝45°.
∴∠ACB＝45°＋30°＝75°.
再 见
人教版 数学 八年级上册
第3节 等腰三角形
第5课时 含30°角的直角三角形的性质
第十三章 轴对称
等边三角形的判定方法有哪些？
1.三边相等的三角形是等边三角形；
2.三个角都相等的三角形是等边三角形；
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
复习旧知
用直尺量一量含有30°角的直角三角板的最短直角边（即30°角所对的直角边）与斜边的长度,你有什么发现吗？
如图,将两个含30°角的三角尺摆放在一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与AB之间的数量吗？
A
B
C
D
导入新知
1.掌握含有30°角的直角三角形的性质和应用.
2.探索并证明含有30°角的直角三角形的性质，并用以解决实际问题.
学习目标
含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴BC= AB.
A
C
B
新知 含30°角的直角三角形的性质
合作探究
证明：∵Rt△ABC≌Rt△ADC， ∴AB=AD.
∵∠BAC=∠DAC=30°，∴∠B=∠D=60°.
∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD.
∵∠BCA=∠DCA=90°，
∴AC⊥BD，
∴C为BD的中点，BC=DC= BD.
∴BC= AB，CD= AD.
A
B
D
C
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°.
求证：BC= AB.
证明：在斜边AB上截取BD=BC，连接CD.
A
C
B
D
∵在Rt△ABC中，∠A=30°， ∴∠B=60°.
∵BD=BC,∠B=60° ,∴△BCD为等边三角形,
∴∠DCB=60°,CD=BC=BD.∴∠ACD=∠A=30°,
∴AD=CD.∴BC=CD=BD=AD. ∴BC= AB.
几何语言：在Rt△ABC中,
∵∠C=90°,BC= AB，∴∠A=30°.
A
C
B
D
拓展 直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的角等于30°.
这个性质反过来说还成立吗？请试着证明你的猜想.
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B，∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
解：∵∠C=90°，∠B=2∠A.
∴∠B+∠A=180°-∠C，即3∠A=90°.
∴ ∠A=30°，∠B=60°.
∵在Rt△ABC中，∠A=30°,
∴AB=2BC.
A
C
B
典例精析
如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A.4 B.6 C. D.8
A
B
C
M
N
MN//BC ， CM平分∠ACB
△CMN为等腰三角形
MN平分∠AMC
∠AMN=30°，NM=MC=2
BC=2AC=6
B
课堂练习
解：∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB,∴∠NCM=∠BCM.
∵MN//BC,∴∠AMN=∠B,∠NMC=∠BCM.
∴△MNC为等腰三角形. ∴NM=NC.
∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠CMN =∠BCM=30°.
在Rt△ANM中， ∠AMN=30°，AN=1，
∴ NM=NC=2. ∴AC=AN+NC=3.
在Rt△ABC中， ∵∠AMN=∠B=30°, ∴BC=2AC=6.
含30°角的直角三角形
性质
判定（拓展）
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°.
归纳新知
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE＝8.求CE的长．
课后练习
2．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.求CD的长．
解：如图，延长AD，BC交于点E.
∵∠A＝30°，∠B＝90°，
∴∠E＝60°，AE＝2BE.
又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°.
∴∠ECD＝60°.∴△DCE是等边三角形．
∴CD＝CE＝DE.
∵AD＝4，BC＝1，
∴2(1＋CD)＝4＋CD，解得CD＝2.
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠BAD，∠DAB＝30°.求证AD＝2BC.
证明：如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E.
∵DC∥AB，∠DAB＝30°，
∴∠DCA＝∠BAC，∠CDE＝30°.
在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE.
又∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA.∴AD＝CD.∴AD＝2CE.
∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠BAD，
∴BC＝CE.∴AD＝2BC.
4．如图，点P是△ABC的边BC上一点，PC＝2PB，∠ABC＝45°，∠APC＝60°.求∠ACB的度数．
解：如图，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD.
∵∠APC＝60°，∴∠PCD＝30°.
∴PC＝2PD.
∵PC＝2PB，∴PB＝PD.
∴∠PBD＝∠PDB＝30°.∴∠PCD＝∠PBD.
∴BD＝CD.∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝15°.
又∵∠BAP＝∠APC－∠ABC＝15°，
∴∠ABD＝∠BAP.
∴AD＝BD.
∴AD＝CD.
∴∠DAC＝∠DCA＝45°.
∴∠ACB＝45°＋30°＝75°.
再 见