3.3.2 抛物线简单的几何性质 同步练习 2021-2022学年高二上学期数学 人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）

3.3.2抛物线简单的几何性质
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分）
1．若抛物线上的点到焦点的距离为则（ ）
A． B．2 C．6 D．
2．动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹是（ ）.
A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线
3．已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线上一点P作于点，则（ ）
A．5 B．4 C． D．
4．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．过点M(－2，0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝4交于P1，P2两点，设线段P1P2的中点为P.若直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2等于（ ）
A．－2 B．2
C． D．－
7．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有
A．1条 B．2条 C．3条 D．0条
8．如图所示，过抛物线的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若，且，则拋物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（多）对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，准线方程为y＝－ B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0) D．开口向右，准线方程为y＝－1
10．(多选)设抛物线的焦点为.点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为，则点的坐标为
A． B． C． D．
11．（多）过抛物线的焦点的直线与相交于，两点.若的最小值为，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．的中点到准线的距离的最小值为3
C．
D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
12（多）．已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为
B．若点，则的最小值为
C．无论过点的直线在什么位置，总有
D．若点在抛物线准线上的射影为，则、、三点共线
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题3分）
13．过抛物线的焦点且与对称轴垂直的弦长为___________.
14．已知点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B，若，则__________．
15．已知，，是抛物线：上一点，则的最小值是______．
16．在直角坐标系中，点为抛物线上一点，点为该抛物线的焦点，若，则的面积为___________.
四、解答题
17．已知抛物线，其焦点到其准线的距离为，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）求.
18．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交抛物线于不同的两点，，设为坐标原点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
19．已知抛物线上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
（1）求的值；
（2）如图，已知为抛物线上过焦点的任意一条弦，弦的中点为垂直与抛物线准线交于点，若，求直线的方程.
20．已知抛物线y2=2x，O为顶点，A B为抛物线上两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB，垂足为M，求M点的轨迹.
21．已知抛物线，（）的焦点与椭圆的右焦点重合.
（1）求抛物线的方程.
（2）直线与抛物线交于，两点，当为何值时，以为直径的圆，恒过原点.
22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（t，﹣2）在C上，且|PF|＝2|OF|（O为坐标原点）．
（1）求C的方程；
（2）若A，B是C上的两个动点，且A，B两点的横坐标之和为8，求当|AB|取最大值时，直线AB的方程．
参考答案
1．D
【分析】
用焦半径公式解方程算出即可获解.
【详解】
因为抛物线上的点到焦点的距离为4，所以，即，，所以
故选：D.
2．D
【分析】
根据抛物线的定义即可判断.
【详解】
解：∵动点到点的距离比它到直线的距离大1，
∴动点到点的距离等于它到直线的距离，
∴由抛物线的定义知：该动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线.
故选：D.
3．A
【分析】
根据点坐标可知抛物线的准线方程以及点，进一步可得抛物线方程，然后求得，最后可得结果.
【详解】
由点，知准线的方程为，焦点，
于是有抛物线的方程为，因为，所以，
代入抛物线方程解得，从而，
故选：A.
【点睛】
本题考查抛物线的简单应用，考查抛物线的定义以及对题意的理解，属基础题.
4．B
【分析】
利用抛物线定义，结合，得到，再由，利用抛物线定义得到，然后代入抛物线方程求解.
【详解】
由抛物线定义，等于到准线的距离，
因为，
所以，又，
从而，
又因为在抛物线上，
代入抛物线方程，
解得．
故抛物线方程为．
故选：B
5．D
【分析】
由条件得到，设的直线方程为，，，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，，然后结合解出的值即可.
【详解】
由题知，抛物线方程为，设的直线方程为，代入抛物线方程，得，
设，，则，.
因为所以或故，即的斜率为.
故选：D
6．D
【分析】
直线与椭圆方程联立运用韦达定理可求出点的横坐标，进而求出纵坐标，再表示出直线的斜率，即可建立等式，求得k1k2
【详解】
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．过点M的直线l的方程为y－0＝k1(x＋2)，与椭圆方程联立可得
据此可知x1＋x2＝，
则点P的横坐标为，
点P的纵坐标为k1(x1＋2)＝.
据此得k2＝－.综上可得k1k2＝－.
故选：D
7．C
【分析】
根据题意，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，由直线与抛物线位置关系，联立直线与抛物线方程求解，即可得出结果.
【详解】
易知过点，且斜率不存在的直线为，满足与抛物线只有一个公共点.
当斜率存在时，设直线方程为与联立得，
即，
当时，方程有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点；
当时，令，解得，即直线与抛物线有一个公共点.
所以满足题意的直线有3条.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查由直线与抛物线交点个数确定直线的条数，考查直线与抛物线位置关系，属于基础题型.
8．B
【分析】
分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，，设，根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.
【详解】
如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得
所以抛物线的方程为．
故选：B
【点睛】
关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键在于根据抛物线定义得出，进而推断出的值，考查学生的分析审题能力，属于一般题.
9．AB
【分析】
根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.
【详解】
由题设，抛物线可化为，
∴开口向上，焦点为，准线方程为.
故选：AB
10．BC
【分析】
设，可得，结合抛物线的性质可得，可求出，由在抛物线上，可求出，即可求出答案.
【详解】
设，易知，则，如图所示.
则，解得.
∴抛物线方程为，且，
又在抛物线上，，因此，解得.
所以点的坐标为或.
故选：BC.
【点睛】
本题考查抛物线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
11．ABD
【分析】
分别求出过焦点斜率不存在时弦长，和斜率存在时的弦长，可得，求出的值可判断A，B，C，将的方程与抛物线方程联立求出两根，由抛物线的定义可得、的长，即可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
当直线的斜率不存在时，
因为直线过抛物线的焦点，所以的方程为：，
由 可得，此时，
当直线的斜率存在时，
设的方程为：，，，
由可得：，
所以，，
所以，
对于A：由以上证明可知：当直线的斜率不存在时，，可得，
所以抛物线的方程为，故选项A正确；
对于B：的中点到准线的距离的最小值为，故选项B正确；
对于C：当直线的斜率不存在时，，，此时 ，
故选项C不正确；
对于D：当直线的倾斜角为时，直线的方程为：，
由可得：，即，
解得：或，
所以，，
所以，所以为的一个四等分点，故选项D正确；
故选：ABD
12．ABCD
【分析】
对选项A，设直线，与抛物线联立，得到当且仅当与抛物线相切时，取得最大值，从而得到A正确；对选项B，利用抛物线的几何性质即可得到答案；对选项C，设方程为，，，与抛物线联立得到，利用根系关系得到，即可得到；对选项D，由题意知，再计算即可判断D正确.
【详解】
对选项A，设直线，
联立得，
当且仅当与抛物线相切时，取得最大值.
由，得.
直线的斜率为，此时取得最大值.故A正确.
对选项B，，则在准线上的射影为，
设到准线的距离为，
则，
当且仅当，，三点共线时等号成立，故B正确；
对选项C，由题意知，，且的斜率不为，
则设方程为，，，
联立直线与抛物线的方程，整理得，
则，，
所以，.
则
.
故直线，的倾斜角互补，
所以，故C正确.
对选项D，由题意知，
由③知，，，则，，
由，知，
即 三点在同一条直线上，故D正确.
故选ABCD
【点睛】
关键点点睛：求解抛物线有关距离的最值，要结合抛物线的定义来解决.
13．2
【分析】
求出过抛物线的焦点且与x轴垂直的直线，再求出它与抛物线交点坐标即可得解.
【详解】
抛物线的焦点，对称轴是x轴，
经过点F垂直于x轴的直线l：，
由得或，于是得直线l：与抛物线二交点，，
所以所求弦长为2.
故答案为：2
14．7
【分析】
根据题意，设，，可得，联立即可得解.
【详解】
设，，
可得，
，
由，带入可得：，
所以，
故答案为：7.
15．5
【分析】
设，用向量的数量积的坐标表示得到，根据消去，得到关于的一元二次函数，即可求出．
【详解】
设，则，，
从而．
因为点在抛物线上，所以，
所以，当且仅当时取等号．
故答案为：5
【点睛】
本题主要考查向量的数量积的坐标表示，以及抛物线的简单几何性质的应用，属于较易题．
16．
【分析】
根据给定条件求出直线AF方程，再求出点A的纵坐标即可计算作答.
【详解】
抛物线的焦点，
因点为抛物线上一点，且，由抛物线对称性，不妨令点A在第一象限，则直线AF倾斜角为，如图，
直线AF方程为：，
由消去x得：，解得，，于是得点A的纵坐标为，
从而有，
所以的面积为.
故答案为：
17．（1），焦点坐标为；（2）8.
【分析】
（1）由抛物线的焦点到其准线的距离为，可得即可求解；
（2）将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及过焦点的弦长公式即可求解.
【详解】
解：（1）抛物线的焦点到其准线的距离为，得，
所以抛物线的方程为，焦点坐标为.
（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，设，
联立方程组消去可得，则，
所以.
18．（1）；（2）证明见解析．
【分析】
（1）由结合焦半径公式可解得，进而可得抛物线方程；
（2）设直线，将其与抛物线方程联立，结合韦达定理可证得结果.
【详解】
（1）∵点在抛物线上，且，
∴，解得，
∴抛物线的方程为．
（2）证明：依题意，设直线，，，
联立消去可得，
由韦达定理得，
∴，
即为定值．
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）由抛物线的定义可得，由此即可求解；
（2）先设出直线：，与联立，再由根与系数的关系，结合垂直平分线的性质与点到直线的距离公式即可求解
【详解】
（1）抛物线（）的焦点为，准线方程为，由抛物线定义得：
，所以.
（2）由（1）得抛物线方程为
设直线：，与联立，消去x，整理得：，
设，，，有，
则弦长，弦中点
故弦的垂直平分线方程为
令得，即
故点P到直线的距离.
所以
所以，直线方程为
20．以(1，0)为圆心，1为半径的圆(去掉原点).
【分析】
设出直线OA的斜率，即可得直线OA，OB的方程，再求出点A，B的坐标，并求出动点M满足的关系即可作答.
【详解】
显然直线OA，OB的斜率都存在，且不为0，设直线OA的方程为y=kx，
则直线OB的方程为，
由，得k2x2=2x，则x=0或x=，
A点坐标为(，)，将A点坐标中的k换为-，可得B点坐标(2k2，-2k)，
当时，点；
当时，则直线AB的斜率为，
其方程为y+2k=(x-2k2)，即y=(x-2)，
而OM⊥AB，则直线OM的方程为y=x，
联立两个方程，消去k并整理得(x-1)2+y2=1(x≠0)；
综上，所求轨迹为以(1，0)为圆心，1为半径的圆(去掉原点).
21．（1）；（2），.
【分析】
（1）分别求得椭圆和抛物线的焦点坐标，得到，即可求解；
（2）设，联列方程组得到所以，，根据为直径的圆，恒过原点，利用，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意，椭圆的右焦点为，抛物线的焦点为，
所以，解得，所以抛物线的方程为.
（2）因为直线与抛物线交于，两点，设，
联列方程组，可得，
所以，，
由，解得，
以为直径的圆，恒过原点，则，可得，
又由，，
可得
，解得或，
所以当或时，为直径的圆，恒过原点.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用已知条件，列出方程组，求解，即可求出的标准方程．
（2）设，，，，且．设中点为，当时，，；当时，求出直线的斜率，直线方程，然后直线方程与联立方程消去，整理得，利用韦达定理，弦长公式求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得，解得，
所以的标准方程为．
（2）设，，，，且．
设中点为，则，，
当时，，；
当时，，
则，即，
与联立方程消去，整理得，
由，得，
，，
，
当且仅当，即，即时，取“”，
所以的最大值为10，
此时的方程为．