初中数学：实数（原理、规律方法总结）的比较

一、实数的大小比较原理：
1）正负数：正数>0>负数，正数大于一切负数；
2）数轴：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；
3）绝对值：两个正数，绝对值大的就大；两个负数，绝对值大的反而小。
二、实数大小比较常见方法
实数大小比较常见方法有：数轴法、倒数法、作差法、作商法、放缩法、平方法、估算法、分母有理化等.
实数大小的比较常见方法举例及其规律方法
1、数轴法
例1、a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，且|a|＝|b|.
(1)比较a，－a，－c的大小；
(2)化简：|a＋b|＋|a－b|＋|a＋c|＋|b－c|.
解：(1)可以依次标出a，－a，－c在数轴上的位置
易得－a＜a＜－c；
(2)原式＝0＋2a＋[－(a＋c)]＋(b－c)
＝2a－a－c＋b－c
＝2a－a－a－c－c
＝－2c.
2、倒数法
规律方法：两个无理数的差，被开方数的差相同，因此可取这两个数的倒数，再进行分母有理化，先比较它们倒数的大小，然后再比较它们本身的大小。
例2、已知a，b，c＝3，则a、b、c三个数的大小关系是（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b
解：∵a，b，c＝3，
∴，
，
，
∵，∴，
∵3，∴，∴，
∴b＞a＞c．故选：B．
例3、比较a=与b=的大小
∵>
∴∴a3、做差法
规律方法：把两数的差与“0”做比较即可，做差法是最常用的比较方法。
例4、已知a，那么a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．.b＜a＜c D．.c＜a＜b
解：∵a﹣c1﹣（2）
（1）
≈2.449﹣2.414＞0，
∴a＞c；
∵a﹣b1﹣（2）1
≈2.414﹣2.449＜0，
∴a＜b，
∴c＜a＜b．
故选：D．
4、作商法
规律方法：当两个含二次根式的数或式（均为正数）都是分式形式时，常用作商比较它们的大小，将它们的商与1做比较
例5、比较与的大小
解：∵÷==
且>0,>0
<
5、放缩法
原理：不等式的传递性，若a规律方法：即把要比较的两个数适当的放大或缩小，使复杂的问题简单化，进而达到比较两个实数的大小的目的。
例6、比较实数：2、、的大小，正确的是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
解：∵2，
∴2，
∵2，
∴2，
∴2．
故选：A．
6、平方法
原理：当a>0,b>0时，若a >b ，则a>b；若a =b ，则a=b；若a 规律方法:此种方法一般适用于四个无理数两两之和(或差)之间比较大小,且其中两个被开方数的和等于另两个被开方数的和.
例7、比较与的大小
解：=8+2，
=8+2
∵<
∴<
7、估算法
规律方法：当要比较的实数含有平方根容易算出时，可考虑使用估算法，使用这种方法需要大家熟记、、、这四个数的近似值。
=1.414；=1.732；=2.236；=2.449
例8、比较与的大小
由于>0.865，故<0.746，而0.746<0.865
∴>
8、根号内比较法
规律方法：对于一些简单的含根号的数字，有时可以直接把数化入到根号里面，然后比较根号内数字的大小即可。
例9、比较和大小
解：∵=>4 4>=
∴>
分母有理化
规律方法：分母有理化可以看做是倒数法的逆过程。分母被开方数的差相同，利用平方差公式后，所得新的分式分母相同，比较分子大小即可。
例10、试比较与的大小
解：= =
==
∵
∴>
∴>