初中数学学习笔记（数学思想、学习方法归纳）八上02实数

初中数学学习笔记（数学思想、学习方法归纳）八上02实数
平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x =a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作根号a。特别地，0的算术平方根是0。
注意：正数和零的算术平方根都只有一个 。
2、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x =a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a有两个平方根，一个是算术平方根，另一个是-。
注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
3、立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x =a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根），记作 。
注意：正数立方根为正，且仅有一个；负数立方根为负，且仅有一个；零的立方根是零。
实数的概念及分类
1、实数的分类
无理数：无限不循环小数叫做无理数。常见无理数有三类：
开方开不尽的数，如，等；
圆周率π，或化简后含有π的数，如π/2 +7等；
有特定结构的数，如0.1010010001等；
三、算术平方根有关计算（二次根式）
1、一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数；
2、运算结果若含有“”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
四、实数大小的比较
实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
实数大小比较的几种常用方法
数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
求差比较：设a、b是实数， a－b≥0 则a≥b
a－b≦0 则a≦b
求商比较法：设a、b是两正实数，a÷b≥1 则a≥b a÷b≤1 则a≤b
绝对值比较法：设a、b是两负实数，则|a|≥|b| 则a≤b
平方法：设a、b是两负实数，。a ≥b 则a≤b
本章重要数学思想
5.1、数形结合思想
数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。使抽象思维和形象思维结合起来，通过“以形助数”，和“以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.
例1、实数、、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　）
A． B． C． D．
解：根据数轴上点的位置得：，
，，，
则原式
．
故选：．
5.2、函数思想（或函数与方程的思想）
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略。
例2、已知是的算术平方根，是的立方根．求的平方根．
解：由题意得：，
解得：，
，，
则，9的平方根是．
5.3、特殊与一般思想
由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一。数学研究也不例外，这种由特殊到一般，再由一般到特殊研究数学问题的基本认识过程就是特殊与一般的思想。
例3、阅读下面材料，并解答后面的问题：
；
；
．
（1）观察上面的等式，请直接写出的结果　　；
（2）计算　 　，此时称与互为有理化因式；
（3）请利用上面的规律与解法计算：
．
解：（1）观察上面的等式可知：；
故答案是：；
（2）；
故答案是：1；
（3）由（1）知，原式．