2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册3.5确定二次函数的表达式 同步测评（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册3.5确定二次函数的表达式 同步测评（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 230.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-29 09:30:42 | ||
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文档简介
2021-2022年鲁教版九年级数学上册《3.5确定二次函数的表达式》同步测评（附答案）
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．对形如y＝ax2+bx+c的函数解析式说法错误的是（ ）
A．当a＞0时，此函数是二次函数，开口向上
B．当a＝0，b≠0时，此函数是一次函数
C．当a＜0，x≥﹣时，y随x的增大而增大
D．当a＝0，b＝0时，y＝c仍是函数
2．已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A．y＝2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+1）2 C．y＝2（x﹣1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2
3．对称轴是直线x＝3的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+3 B．y＝x2+3 C．y＝﹣（x﹣3）2 D．y＝（x+3）2
4．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
5．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
6．已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式只可能是（ ）
A．y＝﹣x2+x+3 B．y＝﹣x2﹣3x﹣3 C．y＝﹣x2﹣x+3 D．y＝x2+x+3
7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（其中x是自变量），当2≤x≤3时，5≤y≤8，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
二．填空题（共6小题，满分30分）
8．请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向下；（2）函数图象经过点（﹣2，1），该二次函数的表达式是 ．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，则此二次函数的解析式是 ．
10．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为 ．
11．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为 ．
12．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式： ．
13．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 ﹣1 0 m 8 …
（1）可求得m的值为 ；
（2）求出这个二次函数的解析式 ；
（3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．已知当x＝1时，二次函数有最大值5，且图象过点（0，﹣3），求：
（1）抛物线的解析式；
（2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
15．如图，抛物线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），点P是线段AB上方的抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当线段PQ的长取得最大值时，连接OQ，BP．请判断四边形OBPQ的形状并说明理由．
16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，连结AP，AC，求∠PAC的正切值．
17．如图，直线y＝x+3分别交x轴，y轴于点A，B，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A，B．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点P是二次函数图象上第二象限内的一点，过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C，求线段PC长度的最大值．
18．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值．
20．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？
参考答案
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．解：a决定抛物线的开口方向，a＞0时，开口向上，故A不符合题意；
当a＝0，b≠0时，此函数是一次函数，正确，故B不符合题意；
当a＜0，抛物线开口向下，当x≥﹣时，y随x的增大而减小，故C符合题意；
当a＝0，b＝0时，y＝c仍是函数，正确，故D不符合题意．
故选：C．
2．解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝2（x﹣1）2满足条件．
故选：C．
3．解：函数y＝﹣x2+3的对称轴是直线x＝0，故选项A不符合题意；
函数y＝x2+3的对称轴是直线x＝0，故选项B不符合题意；
函数y＝﹣（x﹣3）2的对称轴是直线x＝3，故选项C符合题意；
函数y＝（x+3）2的对称轴是直线x＝﹣3，故选项D不符合题意；
故选：C．
4．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
5．解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝．
故选：D．
6．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0．
故选：C．
7．解：当x＝2时，y＝5；x＝3时，y＝8，则，解得；
当x＝2时，y＝8；x＝3时，y＝5，则，解得，
∴a的值为±1，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
8．解：设y＝﹣x2+c，
将（﹣2，1）代入y＝﹣x2+c，
∴c＝5，
∴y＝﹣x2+5，
故答案为：y＝﹣x2+5（本题答案不唯一）．
9．解：将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2．
故答案为：y＝x2﹣x﹣2．
10．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反，
∴a＝，
把a＝，顶点（3，1）代入得：
y＝（x﹣3）2+1＝x2+2x﹣2，
故答案为：y＝x2+2x﹣2．
11．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
12．解：设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，
则其对称轴为直线x＝﹣＝4，
∵顶点到x轴的距离为2，
额顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），
把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，
∵﹣＝4，
即：2b+c＝±2，
故满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，当2b+c＝2时，
则，
设a＝2，当2b+c＝﹣2时，
则，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x+34．
故答案为：y＝﹣2x2﹣16x+34．答案不唯一．
13．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝2，
∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3），
∴m＝3，
故答案为3；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵过点（0，3），
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
当x＝4时，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
故答案为y＝x2﹣4x+3；
（3）由图表可知抛物线y＝ax2+bx+c过点（0，3），（3，0），
因此当0＜x＜3时，则y的取值范围为是﹣1≤y＜3．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．解：（1）∵当x＝1时，二次函数有最大值5，
∴二次函数的顶点坐标为（1，5），
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+5，
把点（0，﹣3）代入得：a（0﹣1）2+5＝﹣3，
解得：a＝﹣8，
即此函数的解析式为y＝﹣8（x﹣1）2+5，即y＝﹣8x2+16x﹣3．
（2）令y＝0，则﹣8x2+16x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝，
∴该函数图象与x轴的交点坐标为（，0）和（，0），
∵图象过点（0，﹣3），
∴与y轴的交点为（0，﹣3）．
15．解：（1）根据题意，得，
解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3．
（2）四边形OBPQ是平行四边形．
理由如下：设点P的横坐标为m，线段AB的解析式为y＝kx+t，
根据题意，得，
解得，
∴线段AB的解析式为y＝﹣x+3，
∴PQ＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣2）2+3．
∴线段PQ长的最大值为3，
∵OB＝3，
∴OB＝PQ，
∵OB∥PQ，
∴四边形OBPQ为平行四边形．
16．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴P（﹣1，﹣4），C（0，﹣3），
∴PA2＝（﹣1+3）2+（﹣4）2＝20，
同理PC2＝2，AC2＝18，
∴PA2＝PC2+AC2，
∴∠PCA＝90°，
∴tan∠PAC＝＝．
17．解：（1）∵直线y＝x+3分别交x轴，y轴于点A，B，
∴A（﹣2，0），B（0，3），
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A，B．
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+3；
（2）设点P的坐标为（a，﹣a2﹣a+3），则点C的坐标为（﹣a2﹣a，﹣a2﹣a+3），
则PC＝﹣a2﹣a﹣a＝﹣（a+1）2+，
∵点P是这个二次函数图象在第二象限内的一点，
∴﹣2＜a＜0，
∴当a＝﹣1时，线段PC取得最大值，此时PC＝，
即线段PC长度的最大值是．
18．解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴S△AOC＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当﹣x+2＞ax2时，x的取值范围﹣2＜x＜1．
19．解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，故点C的坐标为（0，4），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得．
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，
解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4；
（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，
由函数的对称性知，AF＝BF，
则AF+FC＝BF+FC＝BC为最小，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，故点F（1，3），
由点B、C的坐标知，OB＝OC＝4，
则BC＝BO＝4，
即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为4；
20．解：（1）A（﹣1，0），B（4，0）分别代入y＝ax2+bx+4（a≠0）得，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）把x＝0代入y＝﹣x2+3x+4得y＝4，
∴C（0，4），
设BC所在直线解析式为y＝kx+b，
把B（4，0），C（0，4）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝﹣x+4，
设M（m，0），则D（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，
∵OB＝OC＝4，OC⊥OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵DM⊥x轴，
∴∠DEF＝∠BEM＝45°，
∵DM⊥x轴，
∴∠DEF＝∠BEM＝45°，
又∵DF⊥BC，
∴DF＝DE＝（﹣m2+4m）＝（m﹣2）2+2，
∵＜0，
∴当m＝2时，DF有最大值为2．
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．对形如y＝ax2+bx+c的函数解析式说法错误的是（ ）
A．当a＞0时，此函数是二次函数，开口向上
B．当a＝0，b≠0时，此函数是一次函数
C．当a＜0，x≥﹣时，y随x的增大而增大
D．当a＝0，b＝0时，y＝c仍是函数
2．已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（ ）
A．y＝2（x+1）2 B．y＝﹣2（x+1）2 C．y＝2（x﹣1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）2
3．对称轴是直线x＝3的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝﹣x2+3 B．y＝x2+3 C．y＝﹣（x﹣3）2 D．y＝（x+3）2
4．二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
5．已知抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝﹣x2+2x C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x
6．已知二次函数的图象如图所示，那么此函数的解析式只可能是（ ）
A．y＝﹣x2+x+3 B．y＝﹣x2﹣3x﹣3 C．y＝﹣x2﹣x+3 D．y＝x2+x+3
7．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（其中x是自变量），当2≤x≤3时，5≤y≤8，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
二．填空题（共6小题，满分30分）
8．请写一个二次函数，满足以下两个条件：（1）函数图象的开口向下；（2）函数图象经过点（﹣2，1），该二次函数的表达式是 ．
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，则此二次函数的解析式是 ．
10．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为 ．
11．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为 ．
12．有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：
甲：对称轴是直线x＝4；
乙：顶点到x轴的距离为2．
请你写出一个符合条件的解析式： ．
13．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 3 0 ﹣1 0 m 8 …
（1）可求得m的值为 ；
（2）求出这个二次函数的解析式 ；
（3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为 ．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．已知当x＝1时，二次函数有最大值5，且图象过点（0，﹣3），求：
（1）抛物线的解析式；
（2）求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标．
15．如图，抛物线与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3），点P是线段AB上方的抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交AB于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当线段PQ的长取得最大值时，连接OQ，BP．请判断四边形OBPQ的形状并说明理由．
16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为P，连结AP，AC，求∠PAC的正切值．
17．如图，直线y＝x+3分别交x轴，y轴于点A，B，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A，B．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点P是二次函数图象上第二象限内的一点，过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C，求线段PC长度的最大值．
18．如图，直线y＝﹣x+2过x轴上的点A（2，0），且与抛物线y＝ax2交于B，C两点，点B坐标为（1，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连结OC，求出△AOC的面积．
（3）当﹣x+2＞ax2时，请观察图象直接写出x的取值范围．
19．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E，直线y＝mx+n经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC的最小值．
20．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x轴，交抛物线于点D，交BC于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？
参考答案
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．解：a决定抛物线的开口方向，a＞0时，开口向上，故A不符合题意；
当a＝0，b≠0时，此函数是一次函数，正确，故B不符合题意；
当a＜0，抛物线开口向下，当x≥﹣时，y随x的增大而减小，故C符合题意；
当a＝0，b＝0时，y＝c仍是函数，正确，故D不符合题意．
故选：C．
2．解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝2（x﹣1）2满足条件．
故选：C．
3．解：函数y＝﹣x2+3的对称轴是直线x＝0，故选项A不符合题意；
函数y＝x2+3的对称轴是直线x＝0，故选项B不符合题意；
函数y＝﹣（x﹣3）2的对称轴是直线x＝3，故选项C符合题意；
函数y＝（x+3）2的对称轴是直线x＝﹣3，故选项D不符合题意；
故选：C．
4．解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
5．解：∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3），且抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是（﹣3，﹣3），
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝．
故选：D．
6．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0．
故选：C．
7．解：当x＝2时，y＝5；x＝3时，y＝8，则，解得；
当x＝2时，y＝8；x＝3时，y＝5，则，解得，
∴a的值为±1，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分）
8．解：设y＝﹣x2+c，
将（﹣2，1）代入y＝﹣x2+c，
∴c＝5，
∴y＝﹣x2+5，
故答案为：y＝﹣x2+5（本题答案不唯一）．
9．解：将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣x﹣2．
故答案为：y＝x2﹣x﹣2．
10．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反，
∴a＝，
把a＝，顶点（3，1）代入得：
y＝（x﹣3）2+1＝x2+2x﹣2，
故答案为：y＝x2+2x﹣2．
11．解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
12．解：设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，
则其对称轴为直线x＝﹣＝4，
∵顶点到x轴的距离为2，
额顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），
把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，
∵﹣＝4，
即：2b+c＝±2，
故满足这样条件的抛物线不唯一．
设a＝2，当2b+c＝2时，
则，
设a＝2，当2b+c＝﹣2时，
则，
故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x+34．
故答案为：y＝﹣2x2﹣16x+34．答案不唯一．
13．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝＝2，
∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3），
∴m＝3，
故答案为3；
（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵过点（0，3），
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
当x＝4时，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
故答案为y＝x2﹣4x+3；
（3）由图表可知抛物线y＝ax2+bx+c过点（0，3），（3，0），
因此当0＜x＜3时，则y的取值范围为是﹣1≤y＜3．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．解：（1）∵当x＝1时，二次函数有最大值5，
∴二次函数的顶点坐标为（1，5），
设二次函数的解析式为y＝a（x﹣1）2+5，
把点（0，﹣3）代入得：a（0﹣1）2+5＝﹣3，
解得：a＝﹣8，
即此函数的解析式为y＝﹣8（x﹣1）2+5，即y＝﹣8x2+16x﹣3．
（2）令y＝0，则﹣8x2+16x﹣3＝0，
解得：x1＝，x2＝，
∴该函数图象与x轴的交点坐标为（，0）和（，0），
∵图象过点（0，﹣3），
∴与y轴的交点为（0，﹣3）．
15．解：（1）根据题意，得，
解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3．
（2）四边形OBPQ是平行四边形．
理由如下：设点P的横坐标为m，线段AB的解析式为y＝kx+t，
根据题意，得，
解得，
∴线段AB的解析式为y＝﹣x+3，
∴PQ＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣2）2+3．
∴线段PQ长的最大值为3，
∵OB＝3，
∴OB＝PQ，
∵OB∥PQ，
∴四边形OBPQ为平行四边形．
16．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴P（﹣1，﹣4），C（0，﹣3），
∴PA2＝（﹣1+3）2+（﹣4）2＝20，
同理PC2＝2，AC2＝18，
∴PA2＝PC2+AC2，
∴∠PCA＝90°，
∴tan∠PAC＝＝．
17．解：（1）∵直线y＝x+3分别交x轴，y轴于点A，B，
∴A（﹣2，0），B（0，3），
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A，B．
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+3；
（2）设点P的坐标为（a，﹣a2﹣a+3），则点C的坐标为（﹣a2﹣a，﹣a2﹣a+3），
则PC＝﹣a2﹣a﹣a＝﹣（a+1）2+，
∵点P是这个二次函数图象在第二象限内的一点，
∴﹣2＜a＜0，
∴当a＝﹣1时，线段PC取得最大值，此时PC＝，
即线段PC长度的最大值是．
18．解：（1）∵点B（1，1）在抛物线y＝ax2上，
∴1＝a，
∴抛物线的解析式为y＝x2；
（2）由题可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2．
联立两函数解析式成方程组，，
解得：或，
∴点C的坐标为（﹣2，4）．
∴S△AOC＝×2×4＝4；
（3）由图象可知，当﹣x+2＞ax2时，x的取值范围﹣2＜x＜1．
19．解：（1）由点A的坐标知，OA＝2，
∵OC＝2OA＝4，故点C的坐标为（0，4），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得．
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
将点B、C的坐标代入一次函数表达式得：，
解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4；
（2）∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
设抛物线的对称轴交BC于点F，则点F为所求点，此时，当FA+FC的值最小，
由函数的对称性知，AF＝BF，
则AF+FC＝BF+FC＝BC为最小，
当x＝1时，y＝﹣x+4＝3，故点F（1，3），
由点B、C的坐标知，OB＝OC＝4，
则BC＝BO＝4，
即点F的坐标为（1，3）、FA+FC的最小值为4；
20．解：（1）A（﹣1，0），B（4，0）分别代入y＝ax2+bx+4（a≠0）得，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）把x＝0代入y＝﹣x2+3x+4得y＝4，
∴C（0，4），
设BC所在直线解析式为y＝kx+b，
把B（4，0），C（0，4）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝﹣x+4，
设M（m，0），则D（m，﹣m2+3m+4），E（m，﹣m+4），
∴DE＝﹣m2+3m+4+m﹣4＝﹣m2+4m，
∵OB＝OC＝4，OC⊥OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵DM⊥x轴，
∴∠DEF＝∠BEM＝45°，
∵DM⊥x轴，
∴∠DEF＝∠BEM＝45°，
又∵DF⊥BC，
∴DF＝DE＝（﹣m2+4m）＝（m﹣2）2+2，
∵＜0，
∴当m＝2时，DF有最大值为2．