2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册3.7二次函数与一元二次方程 达标测评 （word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学上册3.7二次函数与一元二次方程 达标测评 （word版含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 503.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-29 10:39:15 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《3.7二次函数与一元二次方程》达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．经过点A（m，n），点B（m﹣4，n）的抛物线y＝x2+2cx+c与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，则当m＞﹣时，n的取值范围是（ ）
A．＜n＜4 B．＜n＜2 C．＜n＜8 D．＜n＜2
2．若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3
3．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
4．如图，一次函数y＝的图象分别与x轴，y轴交于点A，B点M，N是射线AB上的两个动点，且MN＝2（点M在点N的右侧），点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB向上运动，运动时间为t，现在以MN为边向右作一个等边三角形△MNP，二次函数y＝ax2+bx+c的图象恰好经过点M，N，P，若二次函数的图象与x轴两个交点间的距离为4，那么t的值为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．4
5．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（ ）
A．c＝0 B．c＝1 C．c＝0或c＝1 D．c＝0或c＝﹣1
6．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣ C．2 D．﹣2
7．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（ ）
A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12
8．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．+
9．已知二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b），其中a＜b，m、n（m＜n）是方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，则实数a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．a＜m＜n＜b B．m＜a＜b＜n C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b
10．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
11．根据下列表格中的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为（ ）
x 1.43 1.44 1.45 1.46
y＝ax2+bx+c ﹣0.095 ﹣0.046 0.003 0.052
A．1.40＜x＜1.43 B．1.43＜x＜1.44
C．1.44＜x＜1.45 D．1.45＜x＜1.46
12．若y＝ax2+bx+c是关于x的二次函数且a为整数，并且不等式4x≤ax2+bx+c≤2（x2+1）在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为（ ）
A．y＝x2+2x+1 B．y＝x2+2x+2 C．y＝2x2+2x+1 D．y＝2x2+2x+2
二．填空题（共10小题，满分30分）
13．如图，抛物线y1的顶点在y轴上，y2由y1平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C，且2BC＝3AB＝4OD＝6，若过原点的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 ．
14．如图，直线l：y＝，经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）．，An+1（xn+1，0）（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是 ．
15．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
16．二次函数y＝x2﹣x+a（0＜a＜），若当x＝t时，y＜0，则当x＝t﹣1时，函数值y的取值范围为 ．
17．若抛物线y＝x2+5x+a2与直线y＝x﹣1相交，那么它们的交点必在第 象限．
18．对于满足|x|≤2的所有实数x，使不等式p2+px+1＞2p+x恒成立，则p的取值范围为 ．
19．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是 ．
20．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为 ．
21．当0≤x≤4时，关于x的不等式≥2x﹣2恒成立，则m的取值范围为 ．
22．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集是 ．
三．解答题（共12小题，满分54分）
23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．
24．已知函数y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m（m为常数）．
（1）试判断该函数的图象与x轴的公共点的个数；
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x2+4x+6的图象上；
（3）若直线y＝x与二次函数图象交于A、B两点，当﹣4≤m≤2时，求线段AB的最大值和最小值．
25．已知：关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣＝0．
（1）对于任意实数k，判断方程的根的情况，并说明理由；
（2）设k＜0，当二次函数y＝x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求k的值．
26．已知函数y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1．
（1）求出函数图象和x轴的交点坐标；（可以用含m的代数式表示）
（2）当m为何整数时，函数图象和x轴的交点横坐标都为正整数？
27．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（﹣2，1），关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个根是﹣4，求另一个根．
28．已知mn是两位数，二次函数y＝x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，这两点间的距离不超过2，
（1）求证：0＜m2﹣4n≤4； （2）求出所有这样的两位数mn．
29．已知关于x的一元二次方程4x2+2（m﹣1）x﹣m＝0（m＞0），
（1）求证该方程必有两个异号实数根；
（2）二次函数y＝4x2+2（m﹣1）x﹣m（m＞0）的图象与x轴的两个交点分别是A和B（A在B的左边），与y轴的交点为C，原点为O，若＝OC﹣1，求这个二次函数的解析式．
30．已知二次函数y＝mx2+2mx+m﹣4，m＜0且m为常数．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点．
（2）把该函数的图象沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
31．已知函数y＝x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．
（1）证明：无论m取何值，该函数与x轴总有两个交点；
（2）设函数的两交点的横坐标分别为x1和x2，且+＝﹣，求此函数的解析式．
32．已知二次函数y＝kx2﹣4kx+3k（k≠0）
（1）当k＝1时，求该抛物线与坐标轴的交点的坐标；
（2）当0≤x≤3时，求y的最大值；
（3）若直线y＝2k与二次函数的图象交于E、F两点，问线段EF的长度是否是定值？如果是，求出其长度；如果不是，请说明理由．
33．已知抛物线y＝x2+（k+1）x+1与x轴的两个交点是A、B，抛物线顶点为C．
（1）写出有关抛物线的两条正确结论；
（2）已知点A（﹣2，0），求△ABC的面积；
（3）若点A、B不全在原点的左侧，△ABC恰为等边三角形，那么k的值是多少？
34．已知：抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2a
（Ⅰ）当抛物线经过点（3，2）时，①求a的值；②求抛物线与x轴交点的坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴有两个不同交点，且分别位于点（2，0）的两旁，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若抛物线不经过第三象限，且当x＞2时，函数值x随x的增大而增大，求实数a的取值范围．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：∵A（m，n），B（m﹣4，n），
∴抛物线对称轴是直线x＝m﹣2，
∵抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣c，
∴c＝2﹣m，
∴抛物线y＝x2+2（2﹣m）x+2﹣m，
∵抛物线y＝x2+2（2﹣m）x+2﹣m与x轴有两个公共点，
∴Δ＞0，
（4﹣2m）2﹣4（2﹣m）＞0，
（m﹣1）（m﹣2）＞0，
或，
解得，m＜1或m＞2，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴2﹣m＞0，
∴m＜2，
∴m＜1，
把A（m，n）代入y＝x2+2（2﹣m）x+2﹣m得，
n＝﹣m2+3m+2，
∵﹣1＜0，对称轴是直线x＝，
∵﹣＜m＜1，
∴n随着m的增大而增大，
当m＝﹣时，n＝，
当m＝1时，n＝1，
∴＜n＜1，故选：A．
2．解：令y＝（x+1）（3﹣x）+p2，
当p＝0时，y＝（x+1）（3﹣x）＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3；
当p≠0时，p2＞0，
当x＝﹣1时，y＝p2；
当x＝3时，y＝p2；
如图所示：
y＝3x+3﹣x2﹣x+p2＝﹣x2+2x+3+p2，
∴x1≤﹣1＜3≤x2．
故选：B．
3．解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；
当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，
当22﹣4（k﹣3）≥0，
k≤4
即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．
综上k的取值范围是k≤4．
故选：D．
4．解：过点M、N、P作x轴的垂线交点分别是点H、G、Q，
由题意可知AM＝t，∠A＝60°，
在Rt△AMH中，
sin60°＝，cos60°＝，
∴MH＝t，AH＝t，
∴M（t﹣1，t），
同理可得N（t，t+），P（t+1，t），
把点M、N、P坐标代入y＝ax2+bx+c中，
得，
②﹣①得，b＝﹣at，
①﹣③得，a＝﹣，b＝t，
代入③得，c＝+t+，
∵二次函数的图象与x轴两个交点间的距离为4，
∴x1﹣x2＝4，x1+x2＝，x1 x2＝﹣，
∴＝﹣4x1 x2，
∴＝16，
∵，c＝+t+，
∴t＝6．
故选：C．
5．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，
∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，
（﹣2）2﹣4×1×c＝0，得c＝1；
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴有两个公共点，其中一个为原点时，
则c＝0，y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），与x轴两个交点，坐标分别为（0，0），（2，0）；
由上可得，c的值是1或0，
故选：C．
6．解：当y＝0时，x2﹣3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝3，
∴点A1的坐标为（3，0）．
由旋转的性质，可知：点A2的坐标为（6，0）．
∵2020＝336×6+4，
∴当x＝4时，y＝m．
由图象可知：当x＝2时的y值与当x＝4时的y值互为相反数，
∴m＝﹣（2×2﹣3×2）＝2．
故选：C．
7．解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新图象也有三个公共点，
令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
△＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣；
故选：A．
8．解：作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，
则△APC的周长的最小，
由抛物线的对称性可知，点C′在抛物线上，
当x＝0时，y＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴点C′的纵坐标为2，
2＝﹣x2+x+2，
解得，x1＝0，x2＝3，
则点C′的横坐标为3，
﹣x2+x+2＝0，
x1＝﹣1，x2＝4，
则点A的坐标为（﹣1，0），
∴AC′＝＝2，AC＝＝，
∴△APC的周长的最小值是3，
故选：B．
9．解：∵函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）与x轴的交点坐标的横坐标为a与b，
二次函数y＝1﹣（x﹣a）（x﹣b）相当于y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）向上平移一个单位，
又∵二次项系数为﹣1，开口向下，如图所示：
∴由图可得：m＜a＜b＜n．
故选：B．
10．解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
∴另一个交点坐标为：（1.4，0），
则方程的另一个近似根为1.4，
故选：D．
11．解：由表可以看出，当x取1.44与1.45之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.44＜x＜1.45．
故选：C．
12．解：由4x≤ax2+bx+c得：ax2+（b﹣4）x+c≥0，
∵不等式在实数范围内恒成立，
∴a＞0，且（b﹣4）2﹣4ac≤0．
∵ax2+bx+c≤2（x2+1），
∴（2﹣a）x2﹣bx﹣c+2≥0．
∵不等式在实数范围内恒成立，
∴2﹣a＞0，且b2﹣4（2﹣a）（c﹣2）≤0．
又∵a为整数，
∴a＝1．
故可排除C、D．
∴（b﹣4）2﹣4c≤0且b2﹣4（c﹣2）≤0．
将b＝2，c＝1代入不等式成立，故A正确．
将b＝2，c＝2代入不等式时b2﹣4（c﹣2）≤0不成立，故D错误．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
13．解：解法一：∵2BC＝3AB＝4OD＝6，
∴BC＝3，AB＝2，OD＝，
则：A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，）、C（4，0），
把A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，）三点坐标代入：y＝ax2+bx+c，
解得：y1＝﹣x2+，顶点D（0，），
同理可得：y2＝﹣x2+x﹣6＝﹣（x﹣）2+，顶点E（，），
由平移可知：y1向右平移了个单位，再向上平移了个单位，得到y2，
所以过原点的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线一定经过点（，），
设过原点的直线方程为：y＝kx，（k＞0），
则k＝，
∴k＝，
故：直线的解析式为y＝x．
解法二：∵2BC＝3AB＝4OD＝6，
∴BC＝3，AB＝2，OD＝，
则：A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，）、C（4，0），
把A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，）三点坐标代入：y＝ax2+bx+c，
解得：y1＝﹣x2+…①，
同理可得：y2＝﹣x2+x﹣6…②；
设：过原点的直线方程为：y＝kx，（k＞0）…③，
联立①、③得：3x2+2kx﹣3＝0，
则：x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣1，
则：G、F两点横坐标差＝x2﹣x1＝＝＝，
同理：K、H两点横坐标差＝，
∵AG＝KH，
∴＝，
解得：k＝，
故：直线的解析式为y＝x．
14．解：将（0，）代入直线l：y＝得：
b＝
∴y＝
∵当x＝1时，y＝＜1
∴B1（1，）
∵当x＝2时，y＝＜1
∴B2（2，）
当x＝3时，y＝＞1
∴美丽抛物线的顶点只有B1，B2
若B1为顶点，则d＝1﹣＝；
若B2为顶点，则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝
故答案为：或．
15．解：从图象可以看出当y＝0时，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根，
即m＝0时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根；
从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个，
当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根．
|x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，
综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根．
故答案为m＝0或m＞4．
16．解：∵0＜a＜
∴△＝1﹣4a＞0，
设y＝x2﹣x+a（0＜a＜）与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（其中x1＜x2），
∵当x＝t时，y＜0，
∴x1＜t＜x2，
∵抛物线的对称轴为x＝，x＝0或1时，y＝a＞0，
∴0＜x1，x2＜1，
∴x1﹣1＜t﹣1＜x2﹣1，
易证当x1﹣1＜x＜x2﹣1时，y随着x的增加而减少，
∴当x＝t﹣1时，y＜（x1﹣1）2﹣（x1﹣1）+a＝2﹣2x1，y＞（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+a＝2﹣2x2，
∵0＜x1，
∴当x＝t﹣1时，y＜2，
∵x2＜1，
∴当x＝t﹣1时，y＞0，
∴函数值y的取值范围为 0＜y＜2．
17．解：∵抛物线y＝x2+5x+a2的图象经过一，二，三象限，直线y＝x﹣1经过一，三，四象限，但抛物线与y轴交于（0，a2），直线与y轴交于（0，﹣1），一个在y轴正半轴，一个在y轴负半轴，不可能在第一象限相交，必在第三象限相交．
18．解：∵p2+px+1＞2p+x
∴p2﹣2p+1＞﹣px+x
∴p2﹣2p+1＞﹣（p﹣1）x
∴当p≥1时，不等式两边同时除以（p﹣1）得：p﹣1＞﹣x
∵若满足|x|≤2的所有实数x，使不等式p2+px+1＞2p+x恒成立，
则p﹣1＞2
∴p＞3；
当p＜1时，不等式两边同时除以（p﹣1）得：p﹣1＜﹣x
若满足|x|≤2的所有实数x，使不等式p2+px+1＞2p+x恒成立，
则p﹣1＜﹣2
∴p＜﹣1
综上所述，p＞3或p＜﹣1．
故答案为：p＞3或p＜﹣1．
19．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣3＜x＜1时，
直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+mx+c＜n的解集是﹣3＜x＜1．
故答案为﹣3＜x＜1．
20．解：由图象可知：
抛物线的对称轴为：x＝1，
抛物线与x轴的一个交点为：（3，0），
则抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为：1×2﹣3＝﹣1，
由图象可知：函数值大于0的x的取值范围为：﹣1＜x＜3，
即关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
21．解：∵0≤x≤4
∴1≤x+1≤5
∴≥2x﹣2可变形为：
3x2﹣6x﹣m≥2x2﹣2
∴x2﹣6x﹣m+2≥0
∵关于x的不等式≥2x﹣2恒成立
∴x2﹣6x﹣m+2≥0恒成立
∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4（﹣m+2）≤0
∴m≤﹣7
故答案为：m≤﹣7．
22．解：观察函数图象可知：当﹣1＜x＜4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，
∴不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集为﹣1＜x＜4．
故答案为：﹣1＜x＜4．
三．解答题（共12小题，满分54分）
23．解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，
∴﹣+b+2＝0，
解得，b＝﹣，
抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，
则顶点D的坐标为（﹣，）；
（2）△ABC是直角三角形，
证明：点C的坐标为（0，2），即OC＝2，
﹣x2﹣x+2＝0，
解得，x1＝﹣4，x2＝1，
则点B的坐标为（﹣4，0），即OB＝4，
OA＝1，OB＝4，
∴AB＝5，
由勾股定理得，AC＝，BC＝2，
AC2+BC2＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，
连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
由题意得，，
解得，，
则直线BC的解析式为：y＝x+2，
当x＝﹣时，y＝，
∴当M的坐标为（﹣，）．
24．（1）解：∵△＝（m﹣3）2+8m＝（m+1）2+8＞0，
则该函数图象与x轴的公共点的个数2个，………………………（2分）
（2）证明：y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m
＝﹣（x﹣）2+ ………………………（4分）
把x＝代入y＝x2+4x+6＝（x+2）2+2
y＝（+2）2+2＝+2 ………………………（6分）
＝ ………………………（8分）
则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x2+4x+6的图象上．
（3）过A作AC∥x轴，过B作BC∥y轴，则△ACB是等腰直角三角形，
设直线y＝x与y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），
联立方程有：得：x2﹣（m﹣4）x﹣2m＝0，……………（9分）
∴x1+x2＝m﹣4，x1x2＝﹣2m，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，
＝（m﹣4）2﹣4（﹣2m），………………………（10分）
＝m2+16，………………………（11分）
（也可用求根公式求得该式）
∴|AB|＝，………………………（12分）
∵﹣4≤m≤2，
∴当m＝0时，|AB|有最小值为4，………………………（13分）
当m＝﹣4时，|AB|有最大值为8………………………（14分）
25．解：（1）方程总有两个实数根，理由是：
∵△＝k2﹣4××（k﹣）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣2＝0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）令y＝0，则x2+2kx+2k﹣1＝0．
设A（xA，0），B（xB，0），
∵xA+xB＝﹣2k，xA xB＝2k﹣1，
∴|xA﹣xB|＝＝＝＝2|k﹣1|＝4，即|k﹣1|＝2，
解得k＝3（不合题意，舍去），或k＝﹣1．
∴k＝﹣1．
26．解：（1）①当m﹣1＝0，m＝1时，函数y＝﹣2x+2和x轴的交点为（1，0）；
②当m﹣1≠0，m≠1时．
当y＝0时，（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，则b2﹣4ac＝4，
∴x1＝＝＝1+，x2＝＝1；
∴该函数图象和x轴的交点坐标是（1+，0）、（1，0）；
（2）当m﹣1＝0，m＝1时，函数y＝﹣2x+2和x轴的交点为（1，0），符合题意；
当m﹣1≠0时，∵方程的两个根都是正整数，
∴是正整数，
∴m﹣1＝1或2，
∴m＝2或3．
综上所述，m的值是1或2或3．
27．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（﹣2，1），关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个根是﹣4，
∴，
解得，
∴两根之和互为﹣＝﹣＝﹣4，
∴方程的另一个根为0．
解法二：根据对称性可知：点（﹣4，3）和（0，3）在抛物线上，
所以另一个根是x＝0．
28．解：（1）∵二次函数y＝x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，
∴判别式大于0，
即m2﹣4n＞0，
设这两点是（a，0）（b，0），
∵a和b是方程x2+mx+n＝0的根，
∴a+b＝﹣m，ab＝n，
这两点距离＝|a﹣b|≤2，
∴（a﹣b）2≤4，
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2﹣4n≤4，
∴0＜m2﹣4n≤4，
0＜m2﹣4n≤4，
（2）由（1）可知，4n＜m2≤4+4n＝4（n+1），
∵mn是两位数，
∴0≤n≤9，
∴0≤4n≤36，
4≤4（n+1）≤40，
∴m2≤40，
m＝1，2，3，4，5，6，
m＝1，4n＜1≤4（n+1），n＝0，
m＝2，4n＜4≤4（n+1），n＝0，
m＝3，4n＜9≤4（n+1），n＝2，
m＝4，4n＜16≤4（n+1），n＝3，
m＝5，4n＜25≤4（n+1），n＝6，
m＝6，4n＜36≤4（n+1），n＝8，
∴mn＝10，20，32，43，56，68．
29．解：（1）证明：△＝[2（m﹣1）]2﹣4×4×（﹣m）＝4（m+1）2，
∵m＞0，
∴4（m+1）2，＞0，即Δ＞0，
∴该方程必有两个不等实数根，
又∵＜0，
∴该方程必有两个异号实数根；
（2）∵＝OC﹣1，
∴，
∵抛物线与x轴的两个交点分别是A和B（A在B的左边），与y轴的交点为C，原点为O，
∴OA OB＝﹣＝，OB﹣OA＝﹣，OC＝m，
∴，
解得m1＝1，m2＝﹣2（舍去），
∴当m＝1时，二次函数的解析式为y＝4x2﹣1．
30．（1）证明：∵m＜0，
∴△＝（2m）2﹣4×m×（m﹣4）＝16m＜0，
∴m＜0，不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点．
（2）解：∵y＝mx2+2mx+m﹣4＝m（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴把该函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
31．解：（1）∵令y＝0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）＝0，
∴△＝（﹣2m）2﹣4×1×[﹣2（m+3）]＝4m2+8m+24＝4（m+1）2+20＞0．
∴无论m取何值，方程x2﹣2mx﹣2（m+3）＝0总有两个不相等的实数根．
即无论m取何值，该函数与x轴总有两个交点．
（2）∵函数的两交点的横坐标分别为x1和x2，y＝x2﹣2mx﹣2（m+3），
∴x2﹣2mx﹣2（m+3）＝0时，x1+x2＝2m，x1x2＝﹣2（m+3）．
∵+＝﹣，
∴．
∴．
解得m＝1．
∴此函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣8．
32．解：（1）当k＝1时，该抛物线为：y＝x2﹣4x+3，
x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
抛物线与x轴的交点的坐标为（1，0），（3，0），
当x＝0时，y＝3，
抛物线与y轴的交点的坐标为（0，3）；
（2）对称轴为：x＝﹣＝﹣＝2，
当k＞0时，x＝0时，y有最大值3k，
当k＜0时，y的最大值即顶点的纵坐标，
为＝﹣k，
（3），
解得：，，
E（2+，2k），F（2﹣，2k），
EF＝2，
∴EF为定值．
33．解：（1）①抛物线开口向上；②抛物线与y轴交于点（0，1）．
（2）把x＝﹣2，y＝0代入y＝x2+（k+1）x+1中，得0＝（﹣2）2﹣2（k+1）+1，
∴k＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+1＝（x+）2﹣．
∴C（﹣，﹣）
又当y＝0时，即x2+x+1＝0，解得x1＝﹣2，x2＝﹣，即B（﹣，0）．
因此，AB＝|﹣﹣（﹣2）|＝
∴S△ABC＝××|﹣|＝．
（3）据题知，抛物线的顶点必在y右侧，且在第四象限，即k+1＜0，即k＜﹣1．
由y＝x2+（k+1）x+1可求得点C的纵坐标为＝＜0．
又设A（x1，0）、B（x2，0），则x1、x2为方程x2+（k+1）x+1＝0的两根，即x1+x2＝﹣（k+1），x1 x2＝1，
∴AB2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3．
由于△ABC为正三角形，有：＝tan60°＝，
∴（）2：（）2＝3．
即∴（）2：＝3．
∴k2+2k﹣15＝0，
解得k＝﹣5或k＝3（舍去），
∴k＝﹣5．
34．解：（Ⅰ）①把点（3，2）代入y＝x2﹣（2a+1）x+2a得：2＝32﹣（2a+1）×3+2a，
∴a＝1，
答：a的值是1．
解：②把a＝1代入y＝x2﹣3x+2得：x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
∴抛物线与x交点的坐标是（1，0），（2，0），
答：抛物线与x交点的坐标是（1，0），（2，0）．
解：（Ⅱ）∵抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2a与x轴的两个不同交点，
∴Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4×1×2a＝（2a﹣1）2＞0．
∴a≠，
∵抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2a与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，
且抛物线开口向上，
∴22﹣（2a+1）×2+2a＜0，
解得：a＞1，
答：实数a的取值范围是a＞1．
（Ⅲ）解：∵当x＞2时，抛物线满足y随x的增大而增大，
∴≤2，
解得a≤．
∵抛物线开口向上，且不经过第三象限，
∴≥0，且2a≥0，
解得a≥0，
∴0≤a≤，
答：实数a的取值范围是0≤a≤
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．经过点A（m，n），点B（m﹣4，n）的抛物线y＝x2+2cx+c与x轴有两个公共点，与y轴的交点在x轴的上方，则当m＞﹣时，n的取值范围是（ ）
A．＜n＜4 B．＜n＜2 C．＜n＜8 D．＜n＜2
2．若x1，x2（x1＜x2）是关于x的方程（x+1）（3﹣x）+p2＝0（p为常数）的两根，下列结论中正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜3＜x2 B．x1≤﹣1＜3≤x2 C．﹣1＜x1＜3＜x2 D．﹣1≤x1＜x2≤3
3．已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k≤4且k≠3 B．k＜4且k≠3 C．k＜4 D．k≤4
4．如图，一次函数y＝的图象分别与x轴，y轴交于点A，B点M，N是射线AB上的两个动点，且MN＝2（点M在点N的右侧），点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB向上运动，运动时间为t，现在以MN为边向右作一个等边三角形△MNP，二次函数y＝ax2+bx+c的图象恰好经过点M，N，P，若二次函数的图象与x轴两个交点间的距离为4，那么t的值为（ ）
A．3 B．3 C．6 D．4
5．若二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，则c应满足的条件是（ ）
A．c＝0 B．c＝1 C．c＝0或c＝1 D．c＝0或c＝﹣1
6．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（ ）
A．0 B．﹣ C．2 D．﹣2
7．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（ ）
A．﹣或﹣12 B．﹣或2 C．﹣12或2 D．﹣或﹣12
8．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．+
9．已知二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b），其中a＜b，m、n（m＜n）是方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两个根，则实数a、b、m、n的大小关系是（ ）
A．a＜m＜n＜b B．m＜a＜b＜n C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b
10．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
11．根据下列表格中的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为（ ）
x 1.43 1.44 1.45 1.46
y＝ax2+bx+c ﹣0.095 ﹣0.046 0.003 0.052
A．1.40＜x＜1.43 B．1.43＜x＜1.44
C．1.44＜x＜1.45 D．1.45＜x＜1.46
12．若y＝ax2+bx+c是关于x的二次函数且a为整数，并且不等式4x≤ax2+bx+c≤2（x2+1）在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为（ ）
A．y＝x2+2x+1 B．y＝x2+2x+2 C．y＝2x2+2x+1 D．y＝2x2+2x+2
二．填空题（共10小题，满分30分）
13．如图，抛物线y1的顶点在y轴上，y2由y1平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C，且2BC＝3AB＝4OD＝6，若过原点的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 ．
14．如图，直线l：y＝，经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0）．，An+1（xn+1，0）（n为正整数），设x1＝d（0＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d（0＜d＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d的值是 ．
15．已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
16．二次函数y＝x2﹣x+a（0＜a＜），若当x＝t时，y＜0，则当x＝t﹣1时，函数值y的取值范围为 ．
17．若抛物线y＝x2+5x+a2与直线y＝x﹣1相交，那么它们的交点必在第 象限．
18．对于满足|x|≤2的所有实数x，使不等式p2+px+1＞2p+x恒成立，则p的取值范围为 ．
19．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＜n的解集是 ．
20．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为 ．
21．当0≤x≤4时，关于x的不等式≥2x﹣2恒成立，则m的取值范围为 ．
22．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集是 ．
三．解答题（共12小题，满分54分）
23．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．
24．已知函数y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m（m为常数）．
（1）试判断该函数的图象与x轴的公共点的个数；
（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x2+4x+6的图象上；
（3）若直线y＝x与二次函数图象交于A、B两点，当﹣4≤m≤2时，求线段AB的最大值和最小值．
25．已知：关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣＝0．
（1）对于任意实数k，判断方程的根的情况，并说明理由；
（2）设k＜0，当二次函数y＝x2+kx+k﹣的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时，求k的值．
26．已知函数y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1．
（1）求出函数图象和x轴的交点坐标；（可以用含m的代数式表示）
（2）当m为何整数时，函数图象和x轴的交点横坐标都为正整数？
27．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（﹣2，1），关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个根是﹣4，求另一个根．
28．已知mn是两位数，二次函数y＝x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，这两点间的距离不超过2，
（1）求证：0＜m2﹣4n≤4； （2）求出所有这样的两位数mn．
29．已知关于x的一元二次方程4x2+2（m﹣1）x﹣m＝0（m＞0），
（1）求证该方程必有两个异号实数根；
（2）二次函数y＝4x2+2（m﹣1）x﹣m（m＞0）的图象与x轴的两个交点分别是A和B（A在B的左边），与y轴的交点为C，原点为O，若＝OC﹣1，求这个二次函数的解析式．
30．已知二次函数y＝mx2+2mx+m﹣4，m＜0且m为常数．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点．
（2）把该函数的图象沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
31．已知函数y＝x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）．
（1）证明：无论m取何值，该函数与x轴总有两个交点；
（2）设函数的两交点的横坐标分别为x1和x2，且+＝﹣，求此函数的解析式．
32．已知二次函数y＝kx2﹣4kx+3k（k≠0）
（1）当k＝1时，求该抛物线与坐标轴的交点的坐标；
（2）当0≤x≤3时，求y的最大值；
（3）若直线y＝2k与二次函数的图象交于E、F两点，问线段EF的长度是否是定值？如果是，求出其长度；如果不是，请说明理由．
33．已知抛物线y＝x2+（k+1）x+1与x轴的两个交点是A、B，抛物线顶点为C．
（1）写出有关抛物线的两条正确结论；
（2）已知点A（﹣2，0），求△ABC的面积；
（3）若点A、B不全在原点的左侧，△ABC恰为等边三角形，那么k的值是多少？
34．已知：抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2a
（Ⅰ）当抛物线经过点（3，2）时，①求a的值；②求抛物线与x轴交点的坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴有两个不同交点，且分别位于点（2，0）的两旁，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若抛物线不经过第三象限，且当x＞2时，函数值x随x的增大而增大，求实数a的取值范围．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：∵A（m，n），B（m﹣4，n），
∴抛物线对称轴是直线x＝m﹣2，
∵抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣c，
∴c＝2﹣m，
∴抛物线y＝x2+2（2﹣m）x+2﹣m，
∵抛物线y＝x2+2（2﹣m）x+2﹣m与x轴有两个公共点，
∴Δ＞0，
（4﹣2m）2﹣4（2﹣m）＞0，
（m﹣1）（m﹣2）＞0，
或，
解得，m＜1或m＞2，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴2﹣m＞0，
∴m＜2，
∴m＜1，
把A（m，n）代入y＝x2+2（2﹣m）x+2﹣m得，
n＝﹣m2+3m+2，
∵﹣1＜0，对称轴是直线x＝，
∵﹣＜m＜1，
∴n随着m的增大而增大，
当m＝﹣时，n＝，
当m＝1时，n＝1，
∴＜n＜1，故选：A．
2．解：令y＝（x+1）（3﹣x）+p2，
当p＝0时，y＝（x+1）（3﹣x）＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3；
当p≠0时，p2＞0，
当x＝﹣1时，y＝p2；
当x＝3时，y＝p2；
如图所示：
y＝3x+3﹣x2﹣x+p2＝﹣x2+2x+3+p2，
∴x1≤﹣1＜3≤x2．
故选：B．
3．解：当k＝3时，函数y＝2x+1是一次函数，它的图象与x轴有一个交点；
当k≠3，函数y＝（k﹣3）x2+2x+1是二次函数，
当22﹣4（k﹣3）≥0，
k≤4
即k≤4时，函数的图象与x轴有交点．
综上k的取值范围是k≤4．
故选：D．
4．解：过点M、N、P作x轴的垂线交点分别是点H、G、Q，
由题意可知AM＝t，∠A＝60°，
在Rt△AMH中，
sin60°＝，cos60°＝，
∴MH＝t，AH＝t，
∴M（t﹣1，t），
同理可得N（t，t+），P（t+1，t），
把点M、N、P坐标代入y＝ax2+bx+c中，
得，
②﹣①得，b＝﹣at，
①﹣③得，a＝﹣，b＝t，
代入③得，c＝+t+，
∵二次函数的图象与x轴两个交点间的距离为4，
∴x1﹣x2＝4，x1+x2＝，x1 x2＝﹣，
∴＝﹣4x1 x2，
∴＝16，
∵，c＝+t+，
∴t＝6．
故选：C．
5．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与坐标轴只有两个公共点，
∴二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点或者与x轴有两个公共点，其中一个为原点，
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴只有一个公共点时，
（﹣2）2﹣4×1×c＝0，得c＝1；
当二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与x轴有两个公共点，其中一个为原点时，
则c＝0，y＝x2﹣2x＝x（x﹣2），与x轴两个交点，坐标分别为（0，0），（2，0）；
由上可得，c的值是1或0，
故选：C．
6．解：当y＝0时，x2﹣3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝3，
∴点A1的坐标为（3，0）．
由旋转的性质，可知：点A2的坐标为（6，0）．
∵2020＝336×6+4，
∴当x＝4时，y＝m．
由图象可知：当x＝2时的y值与当x＝4时的y值互为相反数，
∴m＝﹣（2×2﹣3×2）＝2．
故选：C．
7．解：如图所示，过点B的直线y＝2x+b与新图象有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新图象也有三个公共点，
令y＝x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，即点B坐标（6，0），
将一次函数与二次函数表达式联立得：x2﹣5x﹣6＝2x+b，整理得：x2﹣7x﹣6﹣b＝0，
△＝49﹣4（﹣6﹣b）＝0，解得：b＝﹣，
当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y＝2x+b得：0＝12+b，解得：b＝﹣12，
综上，直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为﹣12或﹣；
故选：A．
8．解：作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，
则△APC的周长的最小，
由抛物线的对称性可知，点C′在抛物线上，
当x＝0时，y＝2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴点C′的纵坐标为2，
2＝﹣x2+x+2，
解得，x1＝0，x2＝3，
则点C′的横坐标为3，
﹣x2+x+2＝0，
x1＝﹣1，x2＝4，
则点A的坐标为（﹣1，0），
∴AC′＝＝2，AC＝＝，
∴△APC的周长的最小值是3，
故选：B．
9．解：∵函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）与x轴的交点坐标的横坐标为a与b，
二次函数y＝1﹣（x﹣a）（x﹣b）相当于y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）向上平移一个单位，
又∵二次项系数为﹣1，开口向下，如图所示：
∴由图可得：m＜a＜b＜n．
故选：B．
10．解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
∴另一个交点坐标为：（1.4，0），
则方程的另一个近似根为1.4，
故选：D．
11．解：由表可以看出，当x取1.44与1.45之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.44＜x＜1.45．
故选：C．
12．解：由4x≤ax2+bx+c得：ax2+（b﹣4）x+c≥0，
∵不等式在实数范围内恒成立，
∴a＞0，且（b﹣4）2﹣4ac≤0．
∵ax2+bx+c≤2（x2+1），
∴（2﹣a）x2﹣bx﹣c+2≥0．
∵不等式在实数范围内恒成立，
∴2﹣a＞0，且b2﹣4（2﹣a）（c﹣2）≤0．
又∵a为整数，
∴a＝1．
故可排除C、D．
∴（b﹣4）2﹣4c≤0且b2﹣4（c﹣2）≤0．
将b＝2，c＝1代入不等式成立，故A正确．
将b＝2，c＝2代入不等式时b2﹣4（c﹣2）≤0不成立，故D错误．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分30分）
13．解：解法一：∵2BC＝3AB＝4OD＝6，
∴BC＝3，AB＝2，OD＝，
则：A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，）、C（4，0），
把A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，）三点坐标代入：y＝ax2+bx+c，
解得：y1＝﹣x2+，顶点D（0，），
同理可得：y2＝﹣x2+x﹣6＝﹣（x﹣）2+，顶点E（，），
由平移可知：y1向右平移了个单位，再向上平移了个单位，得到y2，
所以过原点的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线一定经过点（，），
设过原点的直线方程为：y＝kx，（k＞0），
则k＝，
∴k＝，
故：直线的解析式为y＝x．
解法二：∵2BC＝3AB＝4OD＝6，
∴BC＝3，AB＝2，OD＝，
则：A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，）、C（4，0），
把A（﹣1，0）、B（1，0）、D（0，）三点坐标代入：y＝ax2+bx+c，
解得：y1＝﹣x2+…①，
同理可得：y2＝﹣x2+x﹣6…②；
设：过原点的直线方程为：y＝kx，（k＞0）…③，
联立①、③得：3x2+2kx﹣3＝0，
则：x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣1，
则：G、F两点横坐标差＝x2﹣x1＝＝＝，
同理：K、H两点横坐标差＝，
∵AG＝KH，
∴＝，
解得：k＝，
故：直线的解析式为y＝x．
14．解：将（0，）代入直线l：y＝得：
b＝
∴y＝
∵当x＝1时，y＝＜1
∴B1（1，）
∵当x＝2时，y＝＜1
∴B2（2，）
当x＝3时，y＝＞1
∴美丽抛物线的顶点只有B1，B2
若B1为顶点，则d＝1﹣＝；
若B2为顶点，则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝
故答案为：或．
15．解：从图象可以看出当y＝0时，y＝|x2﹣2x﹣3|的x值对应两个不等实数根，
即m＝0时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根；
从图象可出y的值取其抛物线部分的顶点处纵坐标值时，在整个函数图象上对应的x的值有三个，
当y的值比抛物线顶点处纵坐标的值大时，对于整个函数图象上对应的x值有两个不相等的实数根．
|x2﹣2x﹣3|＝|（x﹣1）2﹣4|，其最大值为4，所以当m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根，
综上所述当m＝0或m＞4时，方程|x2﹣2x﹣3|＝m（m为实数）有2个不相等的实数根．
故答案为m＝0或m＞4．
16．解：∵0＜a＜
∴△＝1﹣4a＞0，
设y＝x2﹣x+a（0＜a＜）与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（其中x1＜x2），
∵当x＝t时，y＜0，
∴x1＜t＜x2，
∵抛物线的对称轴为x＝，x＝0或1时，y＝a＞0，
∴0＜x1，x2＜1，
∴x1﹣1＜t﹣1＜x2﹣1，
易证当x1﹣1＜x＜x2﹣1时，y随着x的增加而减少，
∴当x＝t﹣1时，y＜（x1﹣1）2﹣（x1﹣1）+a＝2﹣2x1，y＞（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+a＝2﹣2x2，
∵0＜x1，
∴当x＝t﹣1时，y＜2，
∵x2＜1，
∴当x＝t﹣1时，y＞0，
∴函数值y的取值范围为 0＜y＜2．
17．解：∵抛物线y＝x2+5x+a2的图象经过一，二，三象限，直线y＝x﹣1经过一，三，四象限，但抛物线与y轴交于（0，a2），直线与y轴交于（0，﹣1），一个在y轴正半轴，一个在y轴负半轴，不可能在第一象限相交，必在第三象限相交．
18．解：∵p2+px+1＞2p+x
∴p2﹣2p+1＞﹣px+x
∴p2﹣2p+1＞﹣（p﹣1）x
∴当p≥1时，不等式两边同时除以（p﹣1）得：p﹣1＞﹣x
∵若满足|x|≤2的所有实数x，使不等式p2+px+1＞2p+x恒成立，
则p﹣1＞2
∴p＞3；
当p＜1时，不等式两边同时除以（p﹣1）得：p﹣1＜﹣x
若满足|x|≤2的所有实数x，使不等式p2+px+1＞2p+x恒成立，
则p﹣1＜﹣2
∴p＜﹣1
综上所述，p＞3或p＜﹣1．
故答案为：p＞3或p＜﹣1．
19．解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴﹣m+n＝p，3m+n＝q，
∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于P（1，p），Q（﹣3，q）两点，
观察函数图象可知：当﹣3＜x＜1时，
直线y＝﹣mx+n在抛物线y＝ax2+c的上方，
∴不等式ax2+mx+c＜n的解集是﹣3＜x＜1．
故答案为﹣3＜x＜1．
20．解：由图象可知：
抛物线的对称轴为：x＝1，
抛物线与x轴的一个交点为：（3，0），
则抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为：1×2﹣3＝﹣1，
由图象可知：函数值大于0的x的取值范围为：﹣1＜x＜3，
即关于x的一元二次不等式﹣x2+2x+m＞0的解集为：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
21．解：∵0≤x≤4
∴1≤x+1≤5
∴≥2x﹣2可变形为：
3x2﹣6x﹣m≥2x2﹣2
∴x2﹣6x﹣m+2≥0
∵关于x的不等式≥2x﹣2恒成立
∴x2﹣6x﹣m+2≥0恒成立
∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4（﹣m+2）≤0
∴m≤﹣7
故答案为：m≤﹣7．
22．解：观察函数图象可知：当﹣1＜x＜4时，直线y＝mx+n在抛物线y＝ax2+bx+c的下方，
∴不等式mx+n＜ax2+bx+c的解集为﹣1＜x＜4．
故答案为：﹣1＜x＜4．
三．解答题（共12小题，满分54分）
23．解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+2上，
∴﹣+b+2＝0，
解得，b＝﹣，
抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+，
则顶点D的坐标为（﹣，）；
（2）△ABC是直角三角形，
证明：点C的坐标为（0，2），即OC＝2，
﹣x2﹣x+2＝0，
解得，x1＝﹣4，x2＝1，
则点B的坐标为（﹣4，0），即OB＝4，
OA＝1，OB＝4，
∴AB＝5，
由勾股定理得，AC＝，BC＝2，
AC2+BC2＝25＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）由抛物线的性质可知，点A与点B关于对称轴对称，
连接BC交对称轴于M，此时△ACM的周长最小，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
由题意得，，
解得，，
则直线BC的解析式为：y＝x+2，
当x＝﹣时，y＝，
∴当M的坐标为（﹣，）．
24．（1）解：∵△＝（m﹣3）2+8m＝（m+1）2+8＞0，
则该函数图象与x轴的公共点的个数2个，………………………（2分）
（2）证明：y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m
＝﹣（x﹣）2+ ………………………（4分）
把x＝代入y＝x2+4x+6＝（x+2）2+2
y＝（+2）2+2＝+2 ………………………（6分）
＝ ………………………（8分）
则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y＝x2+4x+6的图象上．
（3）过A作AC∥x轴，过B作BC∥y轴，则△ACB是等腰直角三角形，
设直线y＝x与y＝﹣x2+（m﹣3）x+2m的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），
联立方程有：得：x2﹣（m﹣4）x﹣2m＝0，……………（9分）
∴x1+x2＝m﹣4，x1x2＝﹣2m，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，
＝（m﹣4）2﹣4（﹣2m），………………………（10分）
＝m2+16，………………………（11分）
（也可用求根公式求得该式）
∴|AB|＝，………………………（12分）
∵﹣4≤m≤2，
∴当m＝0时，|AB|有最小值为4，………………………（13分）
当m＝﹣4时，|AB|有最大值为8………………………（14分）
25．解：（1）方程总有两个实数根，理由是：
∵△＝k2﹣4××（k﹣）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣2＝0，不论k为何实数时，此方程总有两个实数根；
（2）令y＝0，则x2+2kx+2k﹣1＝0．
设A（xA，0），B（xB，0），
∵xA+xB＝﹣2k，xA xB＝2k﹣1，
∴|xA﹣xB|＝＝＝＝2|k﹣1|＝4，即|k﹣1|＝2，
解得k＝3（不合题意，舍去），或k＝﹣1．
∴k＝﹣1．
26．解：（1）①当m﹣1＝0，m＝1时，函数y＝﹣2x+2和x轴的交点为（1，0）；
②当m﹣1≠0，m≠1时．
当y＝0时，（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，则b2﹣4ac＝4，
∴x1＝＝＝1+，x2＝＝1；
∴该函数图象和x轴的交点坐标是（1+，0）、（1，0）；
（2）当m﹣1＝0，m＝1时，函数y＝﹣2x+2和x轴的交点为（1，0），符合题意；
当m﹣1≠0时，∵方程的两个根都是正整数，
∴是正整数，
∴m﹣1＝1或2，
∴m＝2或3．
综上所述，m的值是1或2或3．
27．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（﹣2，1），关于x的方程ax2+bx+c＝3的一个根是﹣4，
∴，
解得，
∴两根之和互为﹣＝﹣＝﹣4，
∴方程的另一个根为0．
解法二：根据对称性可知：点（﹣4，3）和（0，3）在抛物线上，
所以另一个根是x＝0．
28．解：（1）∵二次函数y＝x2+mx+n的图象与x轴交于不同的两点，
∴判别式大于0，
即m2﹣4n＞0，
设这两点是（a，0）（b，0），
∵a和b是方程x2+mx+n＝0的根，
∴a+b＝﹣m，ab＝n，
这两点距离＝|a﹣b|≤2，
∴（a﹣b）2≤4，
（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2﹣4n≤4，
∴0＜m2﹣4n≤4，
0＜m2﹣4n≤4，
（2）由（1）可知，4n＜m2≤4+4n＝4（n+1），
∵mn是两位数，
∴0≤n≤9，
∴0≤4n≤36，
4≤4（n+1）≤40，
∴m2≤40，
m＝1，2，3，4，5，6，
m＝1，4n＜1≤4（n+1），n＝0，
m＝2，4n＜4≤4（n+1），n＝0，
m＝3，4n＜9≤4（n+1），n＝2，
m＝4，4n＜16≤4（n+1），n＝3，
m＝5，4n＜25≤4（n+1），n＝6，
m＝6，4n＜36≤4（n+1），n＝8，
∴mn＝10，20，32，43，56，68．
29．解：（1）证明：△＝[2（m﹣1）]2﹣4×4×（﹣m）＝4（m+1）2，
∵m＞0，
∴4（m+1）2，＞0，即Δ＞0，
∴该方程必有两个不等实数根，
又∵＜0，
∴该方程必有两个异号实数根；
（2）∵＝OC﹣1，
∴，
∵抛物线与x轴的两个交点分别是A和B（A在B的左边），与y轴的交点为C，原点为O，
∴OA OB＝﹣＝，OB﹣OA＝﹣，OC＝m，
∴，
解得m1＝1，m2＝﹣2（舍去），
∴当m＝1时，二次函数的解析式为y＝4x2﹣1．
30．（1）证明：∵m＜0，
∴△＝（2m）2﹣4×m×（m﹣4）＝16m＜0，
∴m＜0，不论m为何值，该函数的图象与x轴都没有交点．
（2）解：∵y＝mx2+2mx+m﹣4＝m（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴把该函数的图象沿y轴向上平移4个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
31．解：（1）∵令y＝0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）＝0，
∴△＝（﹣2m）2﹣4×1×[﹣2（m+3）]＝4m2+8m+24＝4（m+1）2+20＞0．
∴无论m取何值，方程x2﹣2mx﹣2（m+3）＝0总有两个不相等的实数根．
即无论m取何值，该函数与x轴总有两个交点．
（2）∵函数的两交点的横坐标分别为x1和x2，y＝x2﹣2mx﹣2（m+3），
∴x2﹣2mx﹣2（m+3）＝0时，x1+x2＝2m，x1x2＝﹣2（m+3）．
∵+＝﹣，
∴．
∴．
解得m＝1．
∴此函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣8．
32．解：（1）当k＝1时，该抛物线为：y＝x2﹣4x+3，
x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
抛物线与x轴的交点的坐标为（1，0），（3，0），
当x＝0时，y＝3，
抛物线与y轴的交点的坐标为（0，3）；
（2）对称轴为：x＝﹣＝﹣＝2，
当k＞0时，x＝0时，y有最大值3k，
当k＜0时，y的最大值即顶点的纵坐标，
为＝﹣k，
（3），
解得：，，
E（2+，2k），F（2﹣，2k），
EF＝2，
∴EF为定值．
33．解：（1）①抛物线开口向上；②抛物线与y轴交于点（0，1）．
（2）把x＝﹣2，y＝0代入y＝x2+（k+1）x+1中，得0＝（﹣2）2﹣2（k+1）+1，
∴k＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+1＝（x+）2﹣．
∴C（﹣，﹣）
又当y＝0时，即x2+x+1＝0，解得x1＝﹣2，x2＝﹣，即B（﹣，0）．
因此，AB＝|﹣﹣（﹣2）|＝
∴S△ABC＝××|﹣|＝．
（3）据题知，抛物线的顶点必在y右侧，且在第四象限，即k+1＜0，即k＜﹣1．
由y＝x2+（k+1）x+1可求得点C的纵坐标为＝＜0．
又设A（x1，0）、B（x2，0），则x1、x2为方程x2+（k+1）x+1＝0的两根，即x1+x2＝﹣（k+1），x1 x2＝1，
∴AB2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（k+1）2﹣4＝k2+2k﹣3．
由于△ABC为正三角形，有：＝tan60°＝，
∴（）2：（）2＝3．
即∴（）2：＝3．
∴k2+2k﹣15＝0，
解得k＝﹣5或k＝3（舍去），
∴k＝﹣5．
34．解：（Ⅰ）①把点（3，2）代入y＝x2﹣（2a+1）x+2a得：2＝32﹣（2a+1）×3+2a，
∴a＝1，
答：a的值是1．
解：②把a＝1代入y＝x2﹣3x+2得：x2﹣3x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝2，
∴抛物线与x交点的坐标是（1，0），（2，0），
答：抛物线与x交点的坐标是（1，0），（2，0）．
解：（Ⅱ）∵抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2a与x轴的两个不同交点，
∴Δ＝[﹣（2a+1）]2﹣4×1×2a＝（2a﹣1）2＞0．
∴a≠，
∵抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+2a与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，
且抛物线开口向上，
∴22﹣（2a+1）×2+2a＜0，
解得：a＞1，
答：实数a的取值范围是a＞1．
（Ⅲ）解：∵当x＞2时，抛物线满足y随x的增大而增大，
∴≤2，
解得a≤．
∵抛物线开口向上，且不经过第三象限，
∴≥0，且2a≥0，
解得a≥0，
∴0≤a≤，
答：实数a的取值范围是0≤a≤