2021-2022学年人教版八年级数学上册第十三章轴对称 13.1.2线段的垂直平分线的性质 同步练习（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版八年级数学上册第十三章轴对称 13.1.2线段的垂直平分线的性质 同步练习（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 272.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-29 11:00:04 | ||
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文档简介
2021——2022学年度人教版八年级数学上册 第十三章轴对称 13.1.2线段的垂直平分线的性质 同步练习
一、选择题
1．如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在四边形ABCD中，，AC=1，，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝110°，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，则∠EBC的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．如图，中，，，的垂直平分线交于点D，连接，则的周长为（ ）．
A．10 B．12 C．14 D．19
5．如图，△ABC中，AB＝AC，DE是线段AB的垂直平分线，如果BD+CD＝2020，那么AB的长度是（ ）
A．1010 B．2019 C．2020 D．2021
6．如图，在中，，，平分，平分，且交于点O，延长至点P，使，连接；延长交于点F．则下列结论：①：②：③：④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
7．如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则AB=（ ）
A．28 B．18 C．10 D．7
8．如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以为圆心，为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；
步骤3：连接，交延长线于点．
下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．平分
9．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．对于任意△（见示意图）．若 是△的边上的中线，、的角平分线分别交、于点，连接，那么之间的数量关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E连接CD，若∠A=40°，则∠DCB的度数是_________.
12．如图，△ACD的周长为10cm，AE=3cm，DE是AB的垂直平分线，则△ABC的周长为_________cm.
13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8cm，面积是48，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___________．
14．如图在△ABC中，BC=8，AB、AC的垂直平分线与BC分别交于E、F两点，则△AEF的周长为____________．
15．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点．若，，则的长为_______．
三、解答题
16．如图，中，平分，在垂直平分线上，于，于，求证：．
17．如图，是的角平分线，，垂足分别是连接与相交于点G．
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若，求的面积．
18．如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，BE、CD交于F．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接CE，若BE＝CE，求证：从“①DE⊥AC”、“②DE∥AB”中选择一个填入（2）中，并完成证明
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
20．如图，在中，垂足为，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若是的中点，请判断线段与线段的数量关系，并加以证明．
21．如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P．
（1）如图2，若点P正好落在BC边上．
①求∠B的度数；
②求证：BC=3PC．
（2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB边的中垂线PQ与△ABC的外角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．
（1）求证：BD=AE；
（2）若BC=6，AC=4．求CE的长度．
23．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．
（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．
【参考答案】
1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．C 7．D 8．B 9．B 10．D
11．30°
12．16
13．16cm（没单位扣1分）．
14．8
15．2
16．证明：如图，连接AE和CE，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，
∴EG=EF，
∵E在AC垂直平分线上，
∴EA=EC，
在Rt△EGA和Rt△EFC中，
，
∴Rt△EGA≌Rt△EFC（HL），
∴AG=CF；
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，
∴∠EBG=∠EBF，∠EGB=∠EFB=90°，
在△EGB和△EFB中，
，
∴△EGB≌△EFB（AAS），
∴BG=BF，
∴BC-AB=BF+FC-(BG-AG)=BG+FC-BG+FC=2FC．
17．解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵AD=AD，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴AD是EF的垂直平分线；
（2）∵DF=DE=2，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD
=×2×3+×2×5
=8．
18．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠DAE＋∠DAB＝∠BAC＋∠DAB，
即∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝CD，BE＝CE，
∴CE＝CD，
又∵AD＝AE，
∴CA垂直平分DE，
∴DE⊥AC（可得①），
又∵∠BAC＝90°，
∴DE//AB（可得②）．
19．解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；
（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．
20．（1）证明：∵是的角平分线，
∴∠BAF=∠GAF，
∵，FE⊥AB，
∴∠BEF=∠GDF=90°，
∵∠EFB=∠DFG，
∴∠B=90°-∠EFB=90°-∠DFG=∠G，
∵AF=AF，
∴△AFB≌△AFG（AAS），
∴BF=GF；
（2）证明：线段与线段的数量关系是：AG=AC，
∵是的中点，，
∴AB=AC，
由（1）知△AFB≌△AFG，
∴AB=AG，
∴AG=AC．
21．（1）①∵DP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴∠PAD=∠B，
又∵AP平分∠CAB，
∴∠PAD=∠PAC，
∴∠PAD=∠PAC=∠B，
设∠B=x°，则∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，
∵在中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
即3x=90，x=30，
∴∠B的度数是30°．
②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，
∴PC=PD，
∵在Rt△BDP中，∠B=30°，
∴BP=2PD，
∴BC=BP+PC=3PC．
（2）如图，过点P作PE⊥AC于点E，
∵CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°．
∵PE⊥AC，
∴∠CPE=90° ∠PCE=90° 45°=45°=∠PCE，
∴PE=CE，
又∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PE=PD，
∴在Rt△AEP和Rt△ADP中，
∴Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），
∴AE=AD，
∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD，
又∵AC=BC，
∴AD+PD=BC．
22．（1）连接PA、PB，
∵CP是∠BCE的平分线，PD⊥BC，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△CDP和Rt△CEP中，
，
∴Rt△CDP≌Rt△CEP（HL）
∴CD=CE，
∵PQ是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在Rt△AEP和Rt△BDP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BDP（HL），
∴AE=BD；
（2）AC+CE+CD=BD+CD=BC=6，
∴．
23．证明(1) ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵BA=BF，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=× 180°=90°，
∴BD垂直平分AF．
（2）BD=2CE，理由如下：
延长CE，交BA的延长线于G，
∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，
∴GE=2CE=2GE，
∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD=∠GCA，
又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，
∴△BAD≌△CAG（ASA），
∴BD=CG=2CE，
（3）FM=2 CE，理由如下：
作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，
∴FN=MN，MH=FH=FM，
∴∠NMH=∠NBH，
∵∠EFC=∠ABC=22.5°，
∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，
∵AB=AC，∠BAC=90，
∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，
∴NM=CM=FN，
∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，
∴∠NFH=∠MCE，
又∵∠FHN=∠E=90°，
∴△FNH≌△CME（AAS），
∴FH=CE，
∴FM=2FH=2CE．
一、选择题
1．如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在四边形ABCD中，，AC=1，，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，则PC+PD的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
3．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝110°，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，则∠EBC的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4．如图，中，，，的垂直平分线交于点D，连接，则的周长为（ ）．
A．10 B．12 C．14 D．19
5．如图，△ABC中，AB＝AC，DE是线段AB的垂直平分线，如果BD+CD＝2020，那么AB的长度是（ ）
A．1010 B．2019 C．2020 D．2021
6．如图，在中，，，平分，平分，且交于点O，延长至点P，使，连接；延长交于点F．则下列结论：①：②：③：④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤
7．如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线DE分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则AB=（ ）
A．28 B．18 C．10 D．7
8．如图，已知钝角，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以为圆心，为半径画弧①；
步骤2：以为圆心，为半径画弧②，交弧①于点；
步骤3：连接，交延长线于点．
下列叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．平分
9．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．对于任意△（见示意图）．若 是△的边上的中线，、的角平分线分别交、于点，连接，那么之间的数量关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E连接CD，若∠A=40°，则∠DCB的度数是_________.
12．如图，△ACD的周长为10cm，AE=3cm，DE是AB的垂直平分线，则△ABC的周长为_________cm.
13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为8cm，面积是48，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为___________．
14．如图在△ABC中，BC=8，AB、AC的垂直平分线与BC分别交于E、F两点，则△AEF的周长为____________．
15．如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点，的延长线于点，于点．若，，则的长为_______．
三、解答题
16．如图，中，平分，在垂直平分线上，于，于，求证：．
17．如图，是的角平分线，，垂足分别是连接与相交于点G．
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若，求的面积．
18．如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，BE、CD交于F．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接CE，若BE＝CE，求证：从“①DE⊥AC”、“②DE∥AB”中选择一个填入（2）中，并完成证明
19．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
20．如图，在中，垂足为，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若是的中点，请判断线段与线段的数量关系，并加以证明．
21．如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P．
（1）如图2，若点P正好落在BC边上．
①求∠B的度数；
②求证：BC=3PC．
（2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB边的中垂线PQ与△ABC的外角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．
（1）求证：BD=AE；
（2）若BC=6，AC=4．求CE的长度．
23．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF．
（2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系．
【参考答案】
1．B 2．A 3．A 4．B 5．C 6．C 7．D 8．B 9．B 10．D
11．30°
12．16
13．16cm（没单位扣1分）．
14．8
15．2
16．证明：如图，连接AE和CE，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，
∴EG=EF，
∵E在AC垂直平分线上，
∴EA=EC，
在Rt△EGA和Rt△EFC中，
，
∴Rt△EGA≌Rt△EFC（HL），
∴AG=CF；
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，
∴∠EBG=∠EBF，∠EGB=∠EFB=90°，
在△EGB和△EFB中，
，
∴△EGB≌△EFB（AAS），
∴BG=BF，
∴BC-AB=BF+FC-(BG-AG)=BG+FC-BG+FC=2FC．
17．解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵AD=AD，DE=DF，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴AD是EF的垂直平分线；
（2）∵DF=DE=2，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD
=×2×3+×2×5
=8．
18．证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠DAE＋∠DAB＝∠BAC＋∠DAB，
即∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝CD，BE＝CE，
∴CE＝CD，
又∵AD＝AE，
∴CA垂直平分DE，
∴DE⊥AC（可得①），
又∵∠BAC＝90°，
∴DE//AB（可得②）．
19．解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；
（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．
20．（1）证明：∵是的角平分线，
∴∠BAF=∠GAF，
∵，FE⊥AB，
∴∠BEF=∠GDF=90°，
∵∠EFB=∠DFG，
∴∠B=90°-∠EFB=90°-∠DFG=∠G，
∵AF=AF，
∴△AFB≌△AFG（AAS），
∴BF=GF；
（2）证明：线段与线段的数量关系是：AG=AC，
∵是的中点，，
∴AB=AC，
由（1）知△AFB≌△AFG，
∴AB=AG，
∴AG=AC．
21．（1）①∵DP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴∠PAD=∠B，
又∵AP平分∠CAB，
∴∠PAD=∠PAC，
∴∠PAD=∠PAC=∠B，
设∠B=x°，则∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，
∵在中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
即3x=90，x=30，
∴∠B的度数是30°．
②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，
∴PC=PD，
∵在Rt△BDP中，∠B=30°，
∴BP=2PD，
∴BC=BP+PC=3PC．
（2）如图，过点P作PE⊥AC于点E，
∵CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°．
∵PE⊥AC，
∴∠CPE=90° ∠PCE=90° 45°=45°=∠PCE，
∴PE=CE，
又∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PE=PD，
∴在Rt△AEP和Rt△ADP中，
∴Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），
∴AE=AD，
∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD，
又∵AC=BC，
∴AD+PD=BC．
22．（1）连接PA、PB，
∵CP是∠BCE的平分线，PD⊥BC，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△CDP和Rt△CEP中，
，
∴Rt△CDP≌Rt△CEP（HL）
∴CD=CE，
∵PQ是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在Rt△AEP和Rt△BDP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BDP（HL），
∴AE=BD；
（2）AC+CE+CD=BD+CD=BC=6，
∴．
23．证明(1) ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，
∵BA=BF，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=× 180°=90°，
∴BD垂直平分AF．
（2）BD=2CE，理由如下：
延长CE，交BA的延长线于G，
∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，
∴GE=2CE=2GE，
∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，
∴∠ABD=∠GCA，
又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，
∴△BAD≌△CAG（ASA），
∴BD=CG=2CE，
（3）FM=2 CE，理由如下：
作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，
∴FN=MN，MH=FH=FM，
∴∠NMH=∠NBH，
∵∠EFC=∠ABC=22.5°，
∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，
∵AB=AC，∠BAC=90，
∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，
∴NM=CM=FN，
∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，
∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，
∴∠NFH=∠MCE，
又∵∠FHN=∠E=90°，
∴△FNH≌△CME（AAS），
∴FH=CE，
∴FM=2FH=2CE．