(共25张PPT)
4.4.1 利用两角判定三角形相似
北师版 九年级上册
新知导入
观察下面这两个三角形有什么关系？
判定两个三角形全等的方法有什么？
‘SSS’，‘SAS’，‘ASA’，‘AAS’，‘HL’
全等三角形
新知导入
观察下面这两个三角形有什么关系？
相似三角形
怎样判定两个三角形相似？
新知讲解
相似三角形：
用定义法来判定两个三角形相似需要哪些条件？
判定相似是否也可以寻求到更简单的方法呢？
判定两个三角形相似的必备条件：三角分别相等， 三边成比例；
三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
新知讲解
画一画：
（1）画一个△ABC，使得∠BAC=60°，与同伴交流，你们画的三角形相似吗？
（2）改变角的度数，再试一试.
想一想
如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？
结论：只有一个角相等的两个三角形不一定相似。
新知讲解
做一做
与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于∠α ，∠B和∠B′都等于∠β ，此时，∠C与∠C′相等吗？
三边的比 相等吗？这样的两个三角形相似吗？
改变∠α ，∠β的大小，再试一试.
想一想
有两个角分别相等的两个三角形一定相似吗？
新知讲解
相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．
C
A
B
A'
B'
C'
【总结归纳】
几何语言：
在△ABC与△A′B′C′中，
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
新知讲解
例1：如图，D, E分别是△ABC的边AB, AC上的点，DE∥BC, AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.
解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
新知讲解
例2：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
证明：
∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.
∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，
∠E=180°－∠3－∠AOE，
∠DOC =∠AOE（对顶角相等），
∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE.
新知讲解
‘两角分别相等’是判定两个三角形相似最常用的方法。
【拓展提高】
常见的两个三角形相似的基本模型：
类型 所需条件 基本图形
A
B
C
D
E
E
D
A
C
B
图a
图b
平行线型
①“A”字型：如图a，DE∥BC
②“X”字型：如图b，DE∥BC
新知讲解
‘两角分别相等’是判定两个三角形相似最常用的方法。
【拓展提高】
常见的两个三角形相似的基本模型：
类型 所需条件 基本图形
斜交型
有公共角∠A（如图a）或对顶角∠1与∠2（如图b），另一组对应角相等。
A
B
D
E
C
图a
A
B
C
D
E
1
2
图b
新知讲解
‘两角分别相等’是判定两个三角形相似最常用的方法。
【拓展提高】
常见的两个三角形相似的基本模型：
类型 所需条件 基本图形
旋转型
∠1与∠2相等，另一组角对应相等。
A(A')
B'
B
C
C'
1
2
新知讲解
【想一想】有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？
因为这两个三角形是直角三角形，所以有一个直角是相等的，又因为这两个三角形有一个锐角相等，根据三角形相似判定定理，如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似，所以有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。
课堂练习
1.如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠B等于
( )
A．40°
B．60°
C．80°
D．100°
A
课堂练习
2.如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
C
课堂练习
3.如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有( )
A．3对
B．5对
C．6对
D．8对
C
课堂练习
4.如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
拓展提高
5.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
求证：△BEC∽△BCH；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB.
∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)．
∴∠DCF＝∠BCE.
∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF. ∴∠BCE＝∠H.
∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH.
中考链接
6.【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC上，DF⊥AE，垂足为F。若DF＝6，则线段EF的长为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
B
中考链接
7.【2020·益阳】如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是( )
A．∠DAE＝30°
B．∠BAC＝45°
C．
D．
B
课堂总结
本节课你学到了什么？
（1）判定三角形相似的判定定理1.
（2）两种相似三角形的“基本图形”.
（3）求线段长度的常用方法有：
①勾股定理；
②借助相似，列比例式.
板书设计
课题：4.4.1 利用两角判定三角形相似
教师板演区
学生展示区
一、判定定理1
二、基本图形
三、求线段长度的常用方法
作业布置
习题4.5第1~5题.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
北师版九年级上册数学4.4.1 利用两角判定三角形相似教学设计
课题 4.4.1 利用两角判定三角形相似 单元 第四单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1.经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题、提出问题的意识，进一步体会类比、分类、归纳等思想与方法;2.初步掌握相似三角形的判定定理一(两角分别相等的两个三角形相似) ，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识.
重点 初步掌握相似三角形的判定定理一（两个角分别相等的两个三角形相似）.
难点 相似三角形判定定理一的运用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 教师提问：观察下面这两个三角形有什么关系？判定两个三角形全等的方法有什么？观察下面这两个三角形有什么关系？怎样判定两个三角形相似？ 学生思考回答问题。判定两个三角形全等的方法有SSS，SAS，ASA，AAS，HL 通过回顾全等三角形的性质和判定方法，引导出判定两个三角形相似的方法，为下面的学习做铺垫。
讲授新课 师：想一想相似三角形的定义是什么？三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。用定义法来判定两个三角形相似需要哪些条件？判定两个三角形相似的必备条件：三角分别相等， 三边成比例；判定相似是否也可以寻求到更简单的方法呢？想一想如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？画一画：（1）画一个△ABC，使得∠BAC=60°，与同伴交流，你们画的三角形相似吗？（2）改变角的度数，再试一试.结论：只有一个角相等的两个三角形不一定相似。想一想有两个角分别相等的两个三角形一定相似吗？做一做与同伴合作，两个人分别画△ABC和△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于∠α ，∠B和∠B′都等于∠β ，此时∠C与∠C′相等吗？三边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？改变∠α ，∠β的大小，再试一试.【总结归纳】相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似．几何语言：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.例1：如图，D, E分别是△ABC的边AB, AC上的点，DE∥BC, AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）例2：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．证明：∵∠BAC= ∠1+ ∠DAC，∠DAE= ∠3+ ∠DAC，∠1=∠3，∴ ∠BAC=∠DAE.∵ ∠C=180°－∠2－∠DOC ，∠E=180°－∠3－∠AOE，∠DOC =∠AOE（对顶角相等），∴ ∠C= ∠E. ∴ △ABC∽△ADE.【拓展提高】‘两角分别相等’是判定两个三角形相似最常用的方法。常见的两个三角形相似的基本模型：1.平行线型所需条件：①“A”字型：如图a，DE∥BC②“X”字型：如图b，DE∥BC2.斜交型所需条件：有公共角∠A（如图a）或对顶角∠1与∠2（如图b），另一组对应角相等。3.旋转型所需条件：∠1与∠2相等，另一组角对应相等。【想一想】有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？因为这两个三角形是直角三角形，所以有一个直角是相等的，又因为这两个三角形有一个锐角相等，根据三角形相似判定定理，如果两个三角形的两个角分别对应相等，则这两个三角形相似，所以有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。 学生类比相似多边形的定义说出相似三角形的定义,回顾相似三角形的表示方法与注意事项.从相似三角形的定义出发,得出相似三角形的性质和判定并思考判定两个三角形相似,是否一定需要满足定义中的六个条件 学生类比三角形全等条件的探索,探索三角形相似的条件,从分类讨论的角度分别探索当一个三角形满足一个角相等时,是否能够保证两个三角形相似，通过实验测量, 计算,最终得到相似三角形的判定定理一:两角分别相等的两个三角形相似.学生独立完成例1题,并书写详细规范 的解题过程.学生在教师的引导下完成例题的几个变式题.学生通过教师讲解，理解并掌握常见的两个三角形相似的基本模型。 引导学生回顾反思相似三角形有关的内容,由相似三角形的定义出发,引发思考:判定两个三角形相似,是否一定需要满足定义中的六个条件,缺一不可吗 至少满足哪些条件就相似 为本节课的探究过程做铺垫.通过学生的动手操作实验与教师借助几何画板的演示验证,让学生归纳总结出相似三角形的判定定理一：两角分别相等的两个三角形相似引导学生结合图形用符号语言叙述该定理.帮助学生从文字语言和符号语言两个层面认识该定理。通过学生说教师写的方式，可以及时发现学生解题过程中存在的向题，帮助学生掌握规范的做题过程，通过几个变式题，让学生初步认识几个常见的相似三角形的典型图，明白各个图形之间的联系，以及各个图形的结构特点.通过了解数学模型，能在今后的做题中熟练地证明两个三角形相似。
课堂练习 1.如图，△ABC∽△AED，∠ADE＝80°，∠A＝60°，则∠B等于( A )A．40° B．60° C．80° D．100°2.如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是( C )A．2 B．3 C．4 D．53.如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共有( C )。A．3对 B．5对 C．6对 D．8对4.如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是( C )A．1 B．2 C．3 D．45.已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.求证：△BEC∽△BCH；证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB.∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)．∴∠DCF＝∠BCE.∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF. ∴∠BCE＝∠H.∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH.6.【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC上，DF⊥AE，垂足为F。若DF＝6，则线段EF的长为( B )A．2 B．3 C．4 D．57.【2020·益阳】如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立的是( B )A．∠DAE＝30° B．∠BAC＝45°C．D． 学生自主完成课堂练习。 借助课堂练习，学生可以更有效的掌握本节课所学知识。
课堂小结 本节课你学到了什么？（1）判定三角形相似的判定定理1.（2）两种相似三角形的“基本图形”.（3）求线段长度的常用方法有：①勾股定理；②借助相似，列比例式. 学生在教师的引导下总结归纳。
板书 课题：4.4.1 利用两角判定三角形相似一、判定定理1二、基本图形三、求线段长度的常用方法
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
