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北师版九年级上册数学4.4.2 利用两边及夹角判定三角形相似
教学设计
课题 4.4.2 利用两边及夹角判定三角形相似 单元 第四单元 学科 数学 年级 九
学习目标 1.初步掌握“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定方法.2.经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性.3.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
重点 掌握判定方法,会运用判定方法判定两个三角形相似.
难点 (1)三角形相似的条件归纳、证明；(2)会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 想一想：怎样利用角判定两个三角形相似？两角分别相等的两个三角形相似数学表达式：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.想一想：怎样利用边判定两个三角形相似？如果两个三角形两边分别成比例，它们一定相似吗？ 试着在练习本上画一画！ 学生复习上节课所学内容。回答问题。 回顾判定两个三角形相似的方法1，为继续探究做准备。
讲授新课 思考：如果两个三角形两边分别成比例，再增加一个条件，它们一定相似吗？ 有哪几种可能的情况？可以通过增加角相等或者边成比例来判定两个三角形相似。相等的角可以是其中一边的对角，也可以是两边的夹角.探究一：探索两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.画△ABC与△A'B'C'，使∠A=∠A' ， 都等于给定的值k.（1）设法比较∠B与∠ B'的大小（或∠C与∠C'的大小）.△ABC和△A'B'C'相似吗？（2）改变k值的大小，再试一试. 你能证明这两个三角形相似吗？如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′.证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB，过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.∵ A′D=AB，∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.∴ △A′DE≌△ABC， ∴ △A′B′C′∽△ABC.总结归纳：三角形相似的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 符号语言： ∠A=∠A′，∴ △ABC ∽△A′B′C′ .例2：如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点. AE=1.5，AC=2，BC=3，且求DE的长.解：∵ AE=1.5，AC=2， 又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC，想一想如果△ABC与△DEF两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.【总结归纳】如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. 学生以自己的思维方式进行探究。学生根据教师的提问画图。学生在教师的引导下写出证明过程。让学生思考并总结几何图形、文字语言、符号语言,从而加深对三种语言的掌握。学生根据所学知识解题问题。让学生类比探究三角形全等的条件时画“边边角”反例的方式画图、比较、得出结论. 给学生一个自主探究、获得新知的平台,增强学生的自信心:将学习空间还给学生,让学生在相互合作交流的过程中发现知识,掌握知识。学生们以自己的思维方式进行探究,充分经历从特殊到一般的过程同时,讲解中小组之间互相补充、互相竞争,气氛热烈,同时培养了学生们的合作交流精神和语言表达能力.学生能够类比判定定理1对判定定理2进行梳理,牢固掌握三种语言,较好的体现了数学素养.此题是“共角型”相似三角形的典型例题, 旨在让学生观察认识图形,并充分体会从直观发现到自觉说理的过渡过程,渗透了简单逻辑推理的思想。学生基本都能对两个三角形是否相似做出正确的判断,对定理“两边成比例、夹角相等的两个三角形相似”有了更加深刻的理解.
课堂练习 1.如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C )2．下列各组条件中，一定能推出△ABC与△DEF相似的是( C )A．∠A＝∠E且∠D＝∠FB．∠A＝∠B且∠D＝∠FC．∠A＝∠E且＝D．∠A＝∠E且＝3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论一定正确的是( B )A．①和②相似 B．①和③相似C．①和④相似 D．②和④相似4.如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是( C )A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDAC．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA5.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.（1）求证：△ADF∽△ACG；(2)若＝，求的值．（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴∠ADF＝∠C.又∵＝，∴△ADF∽△ACG.（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴＝.又∵＝，∴＝.∴＝1.6．【中考·荆州】如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是( D )A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABCC.＝ D．＝ 学生做练习。 借助练习，检测学生对本节课的知识的掌握程度。
课堂小结 本节课你学到了什么？1.三角形相似的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2.两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似. 学生在教师的引导下总结归纳。
板书 课题：4.4.2 利用两边及夹角判定三角形相似一、判定方法2两边成比例且夹角相等的两个三角形相似二、解决问题
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4.4.2 利用两边及夹角判定三角形相似
北师版 九年级上册
新知导入
想一想：怎样利用角判定两个三角形相似？
两角分别相等的两个三角形相似
C
A
B
A'
B'
C'
数学表达式：
在△ABC与△A′B′C′中，
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
新知导入
想一想：怎样利用边判定两个三角形相似？
如果两个三角形两边分别成比例，它们一定相似吗？
A
B
C
D
E
F
如图 ，所以△ABC和△DEF不一定相似。
试着在练习本上画一画！
新知讲解
思考：如果两个三角形两边分别成比例，再增加一个条件，它们一定相似吗？有哪几种可能的情况？
可以通过增加角相等或者边成比例来判定两个三角形相似。
相等的角可以是其中一边的对角，也可以是两边的夹角.
新知讲解
探究一：探索两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
画△ABC与△A'B'C'，使∠A=∠A' ， 都等于给定的值k.
（1）设法比较∠B与∠ B'的大小（或∠C与∠C'的大小）.
△ABC和△A'B'C'相似吗？
（2）改变k值的大小，再试一试.
新知讲解
3
3
5
5
你能证明这两个三角形相似吗？
新知讲解
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
A
A′
B
C
B′
C′
证明：
在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB
过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
∵ A′D=AB，
D
E
新知讲解
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
求证：△ABC∽△A′B′C′.
A
B
C
∴ A′E = AC .
又 ∠A′ = ∠A.
∴ △A′DE≌△ABC，
∴ △A′B′C′∽△ABC.
∴
A′
B′
C′
D
E
新知讲解
总结归纳：
三角形相似的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
符号语言：
∵ ∠A=∠A′，
B
A
C
B'
A'
C'
∴ △ABC ∽△A′B′C′ .
新知讲解
A
E
D
C
B
又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC，
例2：如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点. AE=1.5，AC=2，BC=3，且 求DE的长.
解：∵ AE=1.5，AC=2，
新知讲解
50°
)
4cm
A
B
C
3.2cm
2cm
50°
)
E
D
F
1.6cm
想一想
如果△ABC与△DEF两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？由此你能得到什么结论？
两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.
新知讲解
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
B
A
C
B'
A'
C'
【总结归纳】
课堂练习
1.如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
C
课堂练习
C
课堂练习
3.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论一定正确的是( )
A．①和②相似
B．①和③相似
C．①和④相似
D．②和④相似
B
课堂练习
4.如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是
( )
A．△PAB∽△PCA
B．△PAB∽△PDA
C．△ABC∽△DBA
D．△ABC∽△DCA
C
拓展提高
拓展提高
中考链接
D
课堂总结
1.三角形相似的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
本节课你学到了什么？
2.两边对应成比例且其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定相似.
板书设计
课题：4.4.2 利用两边及夹角判定三角形相似
教师板演区
学生展示区
一、判定方法2
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
二、解决问题
作业布置
课本P93 练习题
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