2021-2022学年度人教版八年级数学上册课件： 14.2.2 完全平方公式（26张）

(共26张PPT)
RJ八(上)
教学课件
14.2 乘法公式
14.2.2 完全平方公式
第十四章 整式的乘法与
因式分解
学习目标
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、
几何解释.（重点）
2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点）
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.
a
a
b
b
直接求：总面积=（a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
（a+b)2=a2+2ab+b2
情境引入
问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（p+1)2=(p+1)(p+1)= ；
p2+2p+1
（2）（m+2)2=(m+2)(m+2)= ；
m2+4m+4
（3）（p-1)2=(p-1)(p-1)= ；
p2-2p+1
（4）（m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
问题2：根据发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
（a+b)2= ；
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
完全平方公式
1
新课讲解
（a+b)2= ，
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中间”.
★完全平方公式
新课讲解
问题3：你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗
b
a
a
b
b
a
b
a
图1
图2
新课讲解
几何解释：
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
新课讲解
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
几何解释：
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
新课讲解
(a+b)2= a2+2ab+b2，
(a-b)2=a2-2ab+b2.
问题4：观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1.说一说积的次数和项数.
2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有
什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a，
b有什么关系？它的符号与什么有关？
新课讲解
3.公式中的字母a，b可以表示数、单项式或多
项式.
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和，另一项是两数积
的2倍，且与两数中间的符号相同；
两数和（差）平方公式特征
新课讲解
想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确，
应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
新课讲解
运用完全平方公式计算：
解：（1） (4m+n)2=
=16m2+8mn+n2.
(1)(4m+n)2；
(4m)2+2·(4m) ·n+n2
y2
=y2
-y
+
=
+
-2·y·
例1
新课讲解
【练习】利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2.
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
新课讲解
(1) 1022；
解： 1022
= (100+2)2
=10 000+400+4
=10 404.
(2) 992.
992
= (100 –1)2
=10 000 -200+1
=9801.
运用完全平方公式计算：
解题技巧：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
=1002+2×100×2+22
=1002 -2×100×1+12
例2
新课讲解
【练习】运用乘法公式计算：
(1)982－101×99；
(2)20182－2018×4034＋20172.
＝(2018－2017)2＝1.
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.
(2)原式＝20182－2×2018×2017＋20172
新课讲解
已知x－y＝6，xy＝－8，求：
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36－16＝20.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20－16＝4.
解题技巧：熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝
(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy，(x－y)2＝(x+y)2－4xy.
例3
新课讲解
添括号法则
a+(b+c) = a+b+c;
a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a – b – c = a – ( b + c ) .
去括号法则：
反过来，就得到添括号法则：
2
也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）.
新课讲解
运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
解： (1)
(2)原式 = [(a+b)+c]2
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
例4
新课讲解
解题技巧：（1）题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.
（2）题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
新课讲解
【练习】计算：(1)(a－b＋c)2；
(2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．
＝1－4x2＋4xy－y2.
解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2
＝(a－b)2＋2(a－b)c＋c2
＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc.
(2)原式＝[1－(2x－y)][1＋(2x－y)]
＝12－(2x－y)2
新课讲解
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　　）
A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
C．a2-4 D．a2-4a-4
A
D
随堂即练
3.运用完全平方公式计算：
(1) (6a+5b)2=_______________；
(2) (4x-3y)2=_______________ ；
(3) (2m-1)2 =_______________；
(4)(-2m-1)2 =_______________.
36a2+60ab+25b2
16x2-24xy+9y2
4m2+4m+1
4m2-4m+1
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋
5)2＝64，运用这一方法计算：
4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝_____．
25
随堂即练
5.计算：
(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；
(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]
解：(1)原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]
＝(3a)2－(b－2)2
＝9a2－b2＋4b－4.　
＝(x－y)2－(m－n)2
＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.
随堂即练
6.若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.
7.已知x+y=8，x-y=4，求xy.
解：∵a+b=5，ab=-6，
∴a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①.
∵x-y=4， ∴(x-y)2=16，即x2+y2-2xy=16②.
①-②，得
4xy=48，
∴xy=12.
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
随堂即练
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式要求的
常用
结论
3.明确完全平方公式和平方差公式的区别（从公式结构特点及结果两方面区分）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2
课堂总结