2021-2022学年度人教版八年级数学上册课件： 14.3.1 提公因式法（24张）

(共24张PPT)
RJ八(上)
教学课件
14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
第十四章 整式的乘法与
因式分解
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区
别和联系.（重点）
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式
法分解因式.（难点）
如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方法表示这块草坪的面积吗？
a
b
c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法

问题引入
1.运用整式乘法法则或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x-1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 -1
a2 +2ab+b2
2.根据等式的性质填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x-1
a+b
都是多项式化为几个整式的积的形式.
比一比，这些式子有什么共同点？
因式分解
1
新课讲解
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
新课讲解
下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
解题技巧：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
例1
新课讲解
【练习】在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 （填序号），不是的请说明理由.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c；
24x2y=3x ·8xy；
x2-1=(x+1)(x-1)；
(2x+1)2=4x2+4x+1；
x2+x=x2(1+ )；
2x+4y+6z=2(x+2y+3z).
最后不是积的运算.
因式分解的对象是多项式.
是整式乘法.
每个因式必须是整式.
新课讲解
pa+pb+pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式.
相同因式p
问题1：观察下列多项式，它们有什么共同特点？
x2＋x
相同因式x
用提公因式法分解因式
2
新课讲解
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
新课讲解
找3x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：最大公约数
3
字母：相同的字母
x
所以公因式是3x.
指数：相同字母的最低次数
1
问题2：如何确定一个多项式的公因式？
新课讲解
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，
即字母的最低次数.
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最
大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同
字母.
★找多项式公因式的基本步骤
新课讲解
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
(1) 3x+6y；
(2)ab-2ac；
(3) a2 - a3；
(4)4(m+n) 2 +2(m+n)；
(5)9m2n-6mn；
(6)-6x2y-8xy2.
新课讲解
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
把下列各式分解因式：
分析：提公因式法基本步骤（分两步）：
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的
乘积.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
整体思想是数学中一种重要且常用的思想方法.
例2
新课讲解
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc).
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？
另一个因式将是2a2b+3b2c，
它还有公因式b.
（2） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算.
新课讲解
【练习】因式分解：
(1)3a3c2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3).
(2)原式＝(2a－3)(b＋c).
新课讲解
（1）12x2y+18xy2=3xy(4x + 6y)；
解：（1）错误，公因式没有提尽，还可以提出公因式2.正解：原式=6xy(2x+3y).
【易错】下面的因式分解正确吗？如果有错，错
在哪里？怎样改正？
（2）3x2 - 6xy+x =x(3x-6y)；
（3）- x2+xy-xz= - x(x+y-z).
（2）错误，提公因式后漏项1.正解：原式=
3x·x-6y·x+1·x=x(3x-6y+1).
（3）错误，提出负号后括号里的项没变号.
正解：原式= - (x2-xy+xz)=- x(x-y+z).
新课讲解
计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.18＋72×20.18＋13×20.18－20.18×14.
(2)原式＝20.18×(29＋72＋13－14)＝2018.
＝13×20＝260.
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
解题技巧：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
例3
新课讲解
已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
解题技巧：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体代入计算.
例4
新课讲解
1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（　　）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
2.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-
2）后，余下的部分是（　　）
A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
3.下列多项式的分解因式，正确的是（　　）
A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）
B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）
C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）
D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）
B
C
D
随堂即练
4.把下列各式分解因式：
(1)8m2n+2mn=_____________；
(2)12xyz-9x2y2=_____________；
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=_____________；
(4) -x3y3-x2y2-xy=_______________；
2mn(4m+1)
3xy(4z-3xy)
(a2+b2)(p-q)
-xy(x2y2+xy+1)
(5)(x-y)2+y(y-x)=_____________.
(y-x)(2y-x)
5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等
于__________.
3a(x－y)2
随堂即练
6.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01； (2)20172+2017-20182；
(3)(-2)101+(-2)100.
(2) 原式=2017×(2017+1)-20182
=2017×2018-20182
=2018×(2017-2018)
=-2018．
解：(1) 原式=1.99×(1.99+0.01)=3.98.
(3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100.
随堂即练
解：(1)∵2x+y=4，xy=3，
∴2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.
(2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]
=(2x+1)(2x+1-2x+1)
=2(2x+1).
7.(1)已知 2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2的值.
(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x= .
将x= 代入上式，得
原式=4.
随堂即练
因式
分解
定义
ma+mb+mc=m(a+b+c)
方法
提公因式法
公式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
基本步骤（分两步）：
第一步找公因式；第二步提公因式
（下节课学习）
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号要注意变号
课堂总结