2021-2022学年度人教版八年级数学上册课件 14.3.2 公式法（第2课时 26张）

(共26张PPT)
RJ八(上)
教学课件
14.3.2 公式法
第十四章 整式的乘法与
因式分解
第2课时 运用完全平方公式分解因式
学习目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点）
2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解
进行计算．（难点）
1.什么是因式分解？
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
（1）提公因式法；
（2）平方差公式：
a2-b2=(a+b)(a-b).
复习引入
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
用完全平方公式分解因式
新课讲解
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2
（a+b）2
=
a
b
a
b
a
ab
ab
b
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
新课讲解
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项、第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项.
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
中间项第一项和第三项底数的积的±2倍.
新课讲解
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式：
新课讲解
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.将这样的三项式写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
新课讲解
3.a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
2.m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
1. x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
m
m - 3
3
x
2
m
3
新课讲解
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）ab不是a与b的积的2倍.
新课讲解
如果x2-6x+N是一个完全平方式，那么N是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3)，故N=(-3)2=9.
【变式】如果x2-mx+16是一个完全平方式，那么m
的值为________.
解析：∵16=(±4)2，∴-m=2×(±4)，∴m=±8.
±8
新课讲解
例1
解题技巧：解此类题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算时，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
新课讲解
分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2，9=3 ，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9=
(4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
2
a
b
b2
a2
(2)中，首项有负号，一般先利用添括号法则将其变形为-(x2-4xy
+4y2),然后再利用公式分解因式.
例2
新课讲解
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2.
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
(2)-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
=-[x2-2·x·2y+(2y)2]
新课讲解
分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2.
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进
一步分解；
(2)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
例3
新课讲解
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式、完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
新课讲解
【练习】因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2.
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
有公因式要先提公因式.
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
新课讲解
把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)
(2)原式＝(34＋16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.
=1.
＝2500.
例4
新课讲解
已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1
的值．
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
解题技巧：解此类题常通过配方将原式转化为非负数的和的形式，再利用非负数性质求解．
例5
新课讲解
已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a22b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状， 并说明理由．
∴△ABC是等边三角形．
解：△ABC是等边三角形．理由如下：
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，
由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
例6
新课讲解
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
B
B
1
4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的
值为______ ．
±4
随堂即练
5.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1－x2.
(2)原式=[2(2a+b)] － 2·2(2a+b)·1+1
=(4a+2b－ 1)2.
解：(1)原式 =x2－2·x·6+62
=(x－6)2.
(3)原式=(y+1) －x
=(y+1+x)(y+1－x).
随堂即练
(2)原式
6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
随堂即练
7.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：(1)∵a－b＝3，
∴a(a－2b)＋b2＝a2－2ab＋b2
＝(a－b)2
＝32＝9.
(2)∵ab＝2，a＋b＝5，
　∴a3b＋2a2b2＋ab3＝ab(a2＋2ab＋b2)
＝ab(a＋b)2
＝2×52＝50.
随堂即练
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）多项式有三项；
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负
课堂总结