2021-2022学年度人教版八年级数学上册课件： 15.3 第1课时 分式方程及其解法（25张）

(共25张PPT)
RJ八(上)
教学课件
第十五章 分 式
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
1.理解分式方程的概念.
1.掌握解分式方程的基本思路和方法.（重点）
2.理解分式方程时可能无解的原因.（难点）
学习目标
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.江水的流速为多少？
设江水的流速为v千米/时，根据题意可列出怎样的方程？
这个程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？
此方程的分母中含有未知数v，像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.
1
分式方程的概念
观察前面所列方程：
下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？
方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．
整式方程
整式方程
整式方程
分式方程
分式方程
分式方程
你能试着解这个分式方程吗？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的是去分母.
（1）如何把它转化为整式方程呢？
2
分式方程的解法
方程各分母的最简公分母是：（30+x）(30-x)
解：方程两边同乘（30+x)(30-x)，得
检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，因此x=6是原分式方程的解.
90（30-x)=60(30+x)，
解得 x=6.
x=6是原分式方程的解吗？
★解分式方程的基本思路：
是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
下面我们再讨论一个分式方程：
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得x=5.
x=5是原分式方程的解吗？
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解.
想一想：
上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
真相揭秘：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.
我们再来观察去分母的过程:
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x+5=10
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
★分式方程解的检验——必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。
4.写出原方程的根.
简记为：“一化、二解、三检验”.
“去分母法”解分式方程的步骤：
解方程
解： 方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得
x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
例1
解方程
解：方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
例2
★解分式方程的一般步骤：
分式方程
整式方程
去分母
解整式方程
x =a
检验
x =a是分式
方程的解
x =a不是分式
方程的解
x =a
最简公分母是
否为零？
否
是
关于x的方程 的解是正数，则a的取值范围是_______ _____．
【解析】去分母，得2x＋a＝x－1，解得x＝－a－1.∵关于x的方程 的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴
－a－1＞0且－a－1≠1，解得a＜－1且a≠－2，∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2.
方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.
a＜－1且a≠－2
例3
若关于x的分式方程 无解，求m 的值．
解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，
即(m－1)x＝－10.
①当m－1＝0时，此方程无解，此时m＝1；
②方程有增根，则x＝2或x＝－2，
当x＝2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×2＝－10，m＝－4；
当x＝－2时，代入(m－1)x＝－10得(m－1)×(－2)＝－10，
解得m＝6，
∴m的值是1，－4或6.
例4
★分式方程无解：
分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．
分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．
D
2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同
乘（ ）
A.2x-4 B.3x
C.3 (2x-4) D.3x (2x-4)
1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　)
A. B.
C. D.
D
3. 解方程：
解：(1)去分母，得
解得
检验：把 代入
所以原方程的解为
(2)去分母，得
解得
检验：把 代入
所以原方程的解为
(3)去分母，得
解得
检验：把 代入
所以 是原方程的解；
把 代入
所以 是原方程的增根.
故原方程的解为 .
分式
方程
定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
注意
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
步骤
一化（分式方程转化为整式方程）；
二解（解整式方程）；
三检验（代入最简公分母看是否为零）
(2)约去分母后，分子是多项式时,没有添括号．(因分数线有括号的作用）
(3)忘记检验