【学练培优】3.1 函数的概念及其表示（含解析）

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【学练培优】3.1 函数的概念及其表示
知识储备
函数
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数y＝f(x)，x∈A
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.
值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．
(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交
4．常用结论
(1)若f(x)为整式，则函数的定义域为R；
(2)若f(x)为分式，则要求分母不为0；
(3)若f(x)为对数式，则要求真数大于0；
(4)若f(x)为根指数是偶数的根式，则要求被开方式非负；
(5)若f(x)描述实际问题，则要求使实际问题有意义．
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，求定义域常常等价于解不等式(组)．
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
1．已知f(x)＝－3x＋2，则f(2x＋1)等于(　B　)
A．－3x＋2　 B．－6x－1　　
C．2x＋1　 D．－6x＋5
【答案】B
【解析】在f(x)＝－3x＋2中，用2x＋1替换x，可得f(2x＋1)＝－3(2x＋1)＋2＝－6x－3＋2＝－6x－1.
2．（2020·浙江高一期中）函数的定义域是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，且，得到，且，故选：D
3．（2020·浙江高一课时练习）已知则函数的图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】当时，依函数表达式知，可排除B；当时，，可排除C、D．故选A
4．已知函数y＝，则使函数值为的的值是（ ）
A．或 B．或 C． D．或或
【答案】C
【解析】当时，令，得，解得；
当时，令，得，解得，不合乎题意，舍去.
综上所述，，故选C.
已知f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q.那么f(72)等于(　　)
A．p＋q B．3p＋2q
C．2p＋3q D．p3＋q2
【答案】B
【解析】因为f(ab)＝f(a)＋f(b)，所以f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
f(8)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3p，所以f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3p＋2q.
已知f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是(　　)
A．{x|x≤1} B．{x|x≤2}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|x＜0}
【答案】A
【解析】当x≥0时，f(x)＝1，xf(x)＋x≤2 x≤1，所以0≤x≤1；
当x＜0时，f(x)＝0，xf(x)＋x≤2 x≤2，所以x＜0，综上，x≤1.
7．(多选)下列函数中，满足f(2x)＝2f(x)的是(　　)
A．f(x)＝|x|　　　　　 B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
【答案】ABD
【解析】在A中，f(2x)＝|2x|＝2|x|,2f(x)＝2|x|，满足f(2x)＝2f(x)；在B中，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)；在C中，f(2x)＝2x＋1,2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，不满足f(2x)＝2f(x)；在D中，f(2x)＝－2x＝2(－x)＝2f(x)，满足f(2x)＝2f(x)．
8．(多选)(多选)已知函数f(x)＝关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为R
B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．若f(x)＝3，则x的值是
D．f(x)<1的解集为(－1,1)
【答案】BC
【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数f(x)的值域为________．
【答案】{－1,1,3,5,7}
【解析】∵x＝1,2,3,4,5，
且f(x)＝2x－3.
∴f(x)的值域为{－1,1,3,5,7}．
已知f(x)是一次函数，满足3f(x＋1)＝6x＋4，则f(x)＝________.
【答案】
【解析】设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b＝ax＋a＋b，
依题设，3ax＋3a＋3b＝6x＋4，
∴，∴
则f(x)＝
已知函数f(x)满足f(x)＝2f＋3x，则f(x)的解析式为________________．
【答案】f(x)＝－x－(x≠0)
【解析】由题意知函数f(x)满足f(x)＝2f＋3x，即f(x)－2f＝3x，用代换上式中的x，可得f－2f(x)＝，联立方程得解得f(x)＝－x－(x≠0)．
12．(一题两空)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：min）为，其中A，c为常数，已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，求c和A的值.
【答案】
【解析】由题意
组装第4件产品用时30 min，则，
所以，即，组装第A件产品用时15 min，则，
所以，即所以，所以c和A的值分别为和.
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13.已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求：
(1)函数p＝f(m)的定义域；
(2)函数p＝f(m)的值域；
(3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应．
【解析】(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由图知定义域为[－3,0]∪[1,4]．
(2)由图知值域为[－2,2]．
(3)由图知：p∈(0,2]时，只有唯一的m值与之对应．
14.如图所示，函数的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为，，.
（1）求的值；
（2）求函数的解析式.
【解析】（1）直接由题图观察，可得.
（2）设线段AB所对应的函数解析式为
将与，代入.得，，
∴
同理，线段BC所对应的函数解析式为.
∴.
15.某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，若该车每次拖4节车厢，一天能来回16次(来、回各算作一次)，若每次拖7节车厢，则每天能来回10次．
(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式；
(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．
【解析】(1)设每天来回y次，每次拖x节车厢，则可设y＝kx＋b(k≠0)．
由题意，得16＝4k＋b,10＝7k＋b，
解得k＝－2，b＝24，
所以y＝－2x＋24.
(2)设这列火车每天来回总共拖挂的车厢节数为S，则由(1)知S＝xy，
所以S＝x(－2x＋24)＝－2x2＋24x＝－2(x－6)2＋72，
所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，
则每日最多运营的人数为110×72＝7 920.
所以这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7 920.
16．（2019·全国高一课时练习）甲、乙两车同时沿某公路从地出发，驶往距离地的地，甲车先以的速度行驶，在到达、中点处停留后，再以的速度驶往地，乙车始终以（单位：）的速度行驶．
（1）将甲车距离地的距离（单位：）表示为离开地的时间（单位：）的函数，求出该函数的解析式并画出函数的图象；
（2）若两车在途中恰好相遇两次（不包括、两地），试求乙车行驶速度的取值范围．
【解析】（1）由题意可知，当时，；
当时，；
当时，，由，得.．
函数的图象如图所示：
（2）由已知，得乙车离开地的距离（单位：）表示为离开地的时间（单位：）的函数为，其图象是一条线段，如图所示．
由图象知，当点在直线下方，点在直线的上方可知两车在途中恰好相遇两次，
则有，解得.
故当时，两车在途中恰好相遇两次（不包括、两地），
因此，的取值范围是．
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