【学练培优】3.3 幂函数（含解析）

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【学练培优】3.3 幂函数
知识储备
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．
(2)5个常见幂函数的图象与性质
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0}
值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0}
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 　 在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
图象
过定点 (0,0)，(1,1) (1,1)
能力检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是(　　)
A．①y＝；②y＝x2；③y＝x3；④y＝x－1
B．①y＝x3；②y＝；③y＝x2；④y＝x－1
C．①y＝x2；②y＝x3；③y＝；④y＝x－1
D．①y＝x3；②y＝x2；③y＝；④y＝x－1
【答案】D
【解析】y＝x3是奇函数，且在R上递增，对应题图①；y＝x2是偶函数，对应题图②；y＝的定义域为[0，＋∞)，对应题图③；y＝x－1的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，对应题图④.故选D.
2．已知幂函数f(x)＝(2n2－n)xn＋1，若f(x)在其定义域上为增函数，则n等于(　　)
A．1或－　　　　 B．1
C．－ D．－1或
【答案】C
【解析】依题意得2n2－n＝1，即2n2－n－1＝0，解得n＝1或n＝－.
当n＝1时，f(x)＝x2，在R上不是增函数，不符合题意，舍去；
当n＝－时，f(x)＝，在定义域[0，＋∞)上是增函数，符合题意．故选C.
3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
【答案】A
【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.当x＝2时，2m＞2n，所以n＜m＜0.
4．有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(　　)
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】B
【解析】①f(x)＝x－1只满足值域是{y|y∈R，且y≠0}；③f(x)＝x3只满足在(－∞，0)上是增函数；④f(x)＝只满足在(－∞，0)上是增函数，②f(x)＝x－2是偶函数，在(－∞，0)上是增函数，但其值域是{y|y>0}．故选B.
5.已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则下列结论正确的是(　　)
A．y＝f(x)的定义域为[0，＋∞) B．y＝f(x)在其定义域上为减函数
C．y＝f(x)是偶函数 D．y＝f(x)是奇函数
【答案】B
【解析】设幂函数f(x)＝xn，点代入得，2n＝，解得n＝－，∴f(x)＝x－，根据幂函数的性质可得，选项B正确．
6．已知幂函数f(x)＝xa的图象过点，则函数g(x)＝(x－2)f(x)在区间上的最小值是(　　)
A．－1 B．－2
C．－3 D．－4
【答案】C
【解析】由已知得2a＝，解得a＝－1，∴g(x)＝在区间上单调递增，
则g(x)min＝g＝－3.故选C.
7.（多选）（2020·江苏启东高一期末）已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象过原点
B．函数是偶函数
C．函数是单调减函数
D．函数的值域为R
【答案】AD
【解析】由于幂函数过点，所以，解得，所以.
，满足，A选项正确.是奇函数，所以B选项错误.
在上递增，所以C选项错误.值域为，所以D选项正确.故选：AD
8.(多选)已知实数a，b满足等式a＝b，则下列关系式中可能成立的是(　　)
A．0C．1【答案】AC
【解析】画出y＝与y＝的图象(如图)，设a＝b＝m，作直线y＝m.
从图象知，若m＝0或1，则a＝b；若01，则1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
9.已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
x 1
f(x) 1
则f(x)的单调递增区间是________．
【答案】[0，＋∞)
【解析】因为f ＝，所以α＝，即α＝，所以f(x)＝的单调递增区间是[0，＋∞)．
10．设α∈，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．
【答案】－1
【解析】因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.
11.（2020·黑龙江高二期末（文））已知幂函数在上单调递增，则m值为_____.
【答案】2
【解析】由题意可知，解得，故答案为：
12.给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为________．
【答案】③
【解析】设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立，故填③.
三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
13.已知函数，问当m取什么值时这个函数是：
（1）正比例函数；
（2）反比例函数；
（3）幂函数且在上为增函数．
【解析】（1）若是正比例函数，
则，
由得，解得或，
此时满足得．
（2）若是反比例函数，
则由且，
得；得或，
此时满足得；
（3）若是幂函数，
则，即，此时或，
当时在上单调递减，不符题意，舍去；
当时在上单调递增，符号题意；
即．
14.已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，求满足的的取值范围.
【解析】因为函数在上单调递减，所以，
解得.又因为，所以，；
因为函数的图象关于轴对称，
所以为偶数，故.
则原不等式可化为，
因为在，上单调递减，
所以或或，
解得或.
故的取值范围是或.
16.（2020·黑龙江萨尔图 大庆实验中学高一期末）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递减.
（1）求函数的解析式；
（2）讨论的奇偶性.（直接给出结论，不需证明）
【解析】(1)∵幂函数在区间上是单调递减函数,
∴,解得,
∵,∴或或.
∵函数为偶函数,
∴,∴;
(2),
当时,既是奇函数又是偶函数;
当,时,是奇函数;
当,时,是偶函数;
当,时,是非偶非偶函数.
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