2021-2022学年高中数学（人教A版2019）必修第二册8.5.1直线与直线平行 教案

8.5.1直线与直线平行
一、教学目标 1.会判断空间两直线的位置关系
2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题
二、教学重点 能认识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理
教学难点 基本事实4与等角定理的运用
三、教学过程
1、情境引入
观察：如右图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，DC//AB，A'B'//AB，DC与A'B'
平行吗
引导学生观察所在的教室，找到类似的实例
2、探索新知
问题1：动手将一张长方形的纸如图对折几次后打开，观察这些折痕有怎样的位置
关系？并推测平面几何中“平行线的传递性”在空间是否成立？
1）基本事实4
文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行
符号表述： a∥c
【例1】如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
求证：四边形EFGH是平行四边形
证明：连接BD
∵EH为△ABD的中位线
∴ 同理
∴
∴四边形EFGH为平行四边形
方法规律：基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与
这条直线平行
问题2：在平面内,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角关系如何？在空间中,这一
结论是否仍然成立呢
答：与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如下图所示的两种位置
对于图(1)，可以构造两个全等三角形，使∠BAC和∠B'A'C是它们的对
应角，从而证明∠BAC=∠B'A'C'，如图(3)，分别在∠BAC和∠B'A'C'的
两边上截取AD、AE和A'D'、A'E'，使得AD=A'D'、AE=A'E'
连接AA'、DD'、EE'、DE、D'E'.
∵
∴四边形是平行四边形
∵ 同理可证
∴
∴四边形是平行四边形
∴
∴△ADE≌△A'D'E'
∴∠BAC=∠B'A'C'
2）定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
【例2】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点
求证：∠BGC＝∠FD1E
证明：因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点
所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形
所以GC∥D1E，GB∥D1F
因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同
所以∠BGC＝∠FD1E
方法规律：等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都
有可能
四、课堂练习
P135 练习
1、如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC
为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求证：GH∥MN
证明　如图，取PA的中点Q，连接BQ，CQ，则M，N分别在BQ，CQ上
∵M，N分别为△PAB，△PAC的重心
∴＝＝，则MN∥BC
又G，H分别为PB，PC的中点
∴GH∥BC
∴GH∥MN
2、如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点，求证：
(1)四边形MNA1C1是梯形
(2)∠DNM＝∠D1A1C1
证明：(1)如图 ，连结AC，在△ACD中
∵M，N分别是CD，AD的中点
∴MN是△ACD的中位线
∴MN∥AC，且MN＝AC
由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1
∴MN∥A1C1，且MN＝A1C1，即MN≠A1C1
∴四边形MNA1C1是梯形
(2)由(1)可知，MN∥A1C1
又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同
∴∠DNM＝∠D1A1C1
五、课堂小结
1、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
2、定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
六、课后作业
习题8.5 1、4
七、课后反思