2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第一章 空间向量与立体几何 综合测评卷（B卷）（Word含答案解析）

第一章 空间向量与立体几何 综合测评卷（B卷）
一、单选题
1．如图所示，正方体的棱长为，，分别为和上的点，且，则与平面的位置关系是（ ）．
A．斜交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
2．若是平面α内的两个向量，则（ ）
A．α内任一向量(λ，μ∈R)
B．若存在λ，μ∈R使＝，则λ＝μ＝0
C．若不共线，则空间任一向量 (λ，μ∈R)
D．若不共线，则α内任一向量 (λ，μ∈R)
3．若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（　　）
A． B． C．或 D．2
4．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为θ，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是等边三角形
C．与平面所成的角为90°
D．与所成的角为30°
10．已知分别是三棱锥的棱，的中点，．若异面直线与所成角的大小为60°，则线段的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）
A．
B．与平面所成角为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为
12．如图，在长方体，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，，，三点共线
B．当时，
C．当时，平面
D．当时，平面
三、填空题
13．在正方体中，是线段上的一点，且，若为锐角，则的取值范围是______.
14．已知正方体，给出下列四个命题：
①；②；
③与的夹角为60°；④二面角大于120°．
其中错误命题的序号是________．
15．已知，，则的最大值是________．
16．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝1，则PC与底面ABC所成角的正切值为______.
四、解答题
17．在三棱柱中，、分别是、的点，且，.设，，.
（1）用、、表示向量；
（2）若，，，求的长.
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面SAD⊥平面ABCD，P为AD的中点，SA＝SD＝2，BCAD＝1，CD．
（Ⅰ）求证：SP⊥AB；
（Ⅱ）求直线BS与平面SCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）设M为SC的中点，求二面角S﹣PB﹣M的余弦值．
19．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，，顶点在底面上的投影为，侧棱与底面所成角的正切值为．
（1）证明：平面；
（2）若点为的中点，求二面角的大小．
20．在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，，，，，是的中点，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
21．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，如图建立空间直角坐标系.
（1）在四边形（包含边界）内找一点，使为等边三角形.
（2）在线段上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22．如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．
（1）求证：AD⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值；
（3）已知P是平面ABD内一点，点Q为AE中点，且PQ⊥平面ABE，求线段PQ的长．
参考答案
1．B
【解析】设，，，
由题意知：，又，
，，
则，
与，共面，
平面，又平面平面，平面．
故选：B.
2．D
【解析】当与共线时，A项不正确；当与是相反向量，λ＝μ≠0时，＝，故B项不正确；
若与不共线，则与、共面的任意向量可以用，表示，对空间向量则不一定，
故C项不正确，D项正确．
故选：D．
3．A
【解析】解：∵向量，
∴，
解得．
故选：A．
4．B
【解析】
故选：B
5．A
【解析】，
，
，
，
故选：A.
6．C
【解析】∵点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，
，平面的法向量为，
二面角的大小为θ，
故选：C．
7．A
【解析】在四面体中，，分别是，的中点，
故选：A．
8．A
【解析】解：在堑堵ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，当鳖臑A1﹣ABC体积最大时，AC＝BC＝1，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），
设平面ABB1A1的法向量，
则，取x＝1，得，
设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，
则,
所以
∴直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为．
故选：A．
9．AB
【解析】
对于A选项，如图，取的中点，连接，，，则，，又，平面，又平面，∴，A中结论正确；
对于B选项，由直二面角，得，∴是等边三角形，B中结论正确；
对于C选项，∵平面，∴是与平面所成的角，其大小为45°，C中结论错误；
对于D选项，，不妨设，
则，∴，∴，∴，即与所成的角为60°，D中结论错误.
故选：AB.
10．AD
【解析】如图，取的中点，连接，，．
设与的交角为．因为异面直线与所成的角为60°，所以或，
所以
将，，分别代入上式，得或．
故选：AD．
11．AD
【解析】对于A，由，及余弦定理得，从而，故.由底面，可得.又，所以平面，故.故A正确.
对于B，因为底面，所以就是与平面所成的角，又，所以.故B错误.
对于C，显然是异面直线与所成的角，易得.故C错误.
对于D，以D为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，所以，，.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，
此时.
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，则，，此时，
所以，
所以平面与平面所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为.故D正确.
故选：AD.
12．ACD
【解析】在长方体中，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
则，，，，，，，则，．
A选项，当时，为线段的中点，根据长方体的结构特征，为体对角线的中点，因此也为的中点，所以，，三点共线，故A正确．
B选项，当时，，由题意可得，．由，解得，所以，即点为线段上靠近点的五等分点，所以．则，，所以，所以与不垂直，故B错误．
C选项，当时，．
设平面的法向量为，由，令，可得．又，所以，因此，又点不在平面内，所以平面，故C正确．
D选项，当时，，所以，
所以，，因此，．
又，则平面，故D正确．
故选：ACD．
13．
【解析】如下图，建立空间坐标系，
设正方体的边长为，设，
则，
由，得，
，
则，
为锐角，
，
，
则或，
又，
故.
故答案为：.
14．③
【解析】如图，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，
对于①，因为，， 所以，，所以 ，所以①正确，
对于②，因为，所以②正确，
对于③，设与的夹角为，因为，，所以，因为，所以，所以 ③错误，
对于④，设平面的法向量为，则
，令，则，
平面的一个法向量为，
所以，由图可知二面角为钝角，设二面角的平面角为，则，所以，所以④正确，
故答案为：③
15．
【解析】因为，所以，设的夹角为，
，
当时，的最大值是.
故答案为：
16．
【解析】解：底面，
是在底面上的射影，
是与底面所成的角．
，，
，
．即与底面所成角的正切值为．
故答案为：．
17．（1）；（2）.
【解析】（1）连接，
，由题意可得，
，
所以，；
（2）由已知条件可得，，
因此，.
18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）证明：在△SAD中，∵SA＝SD，P为AD的中点，∴SP⊥AD，
∵平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，平面，
∴SP⊥平面ABCD，
又AB 平面ABCD，∴SP⊥AB；
（Ⅱ）解：在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，BC，P为AD中点，
∴BC∥PD，且BC＝PD，则四边形BCDP为平行四边形，
∵AD⊥DC，∴AD⊥PB，
由（Ⅰ）可知，SP⊥平面ABCD，故以P为坐标原点，建立空间直角坐标系P﹣xyz，
则P（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），S（0，0，），C（﹣1，，0），D（﹣1，0，0），
∴（0，，）（0，，0），（﹣1，0，），
设平面SCD的一个法向量，
由，取z＝1，得；
设直线BS与平面SCD所成角为α，
则sinα＝|cos|．
∴直线BS与平面SCD所成角的正弦值为；
（Ⅲ）解：∵AP⊥SP，AP⊥BP，SP∩BP＝P，
∴AP⊥平面SBP，即为平面SPB的一个法向量，
∵M为SC的中点，
∴点M的坐标为（，，），而（0，，0），（，，），
设平面MPB的一个法向量为，
由，取＝1，得．
∴cos．
∴二面角S﹣PB﹣M的余弦值为．
19．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为四棱锥的底面是边长为的菱形，且，
所以是边长为的等边三角形；
因为，所以三棱锥是正三棱锥，
所以顶点在底面上的投影为为正的中心，故，
又，所以.
因为平面，平面，所以，
而，所以平面.
（2）解：由（1）知，是侧棱与底面所成的角，所以，
而，所以.
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
故，所以，，，
设平面的法向量为，
则，令，得.
设平面的法向量为，
则，令，得；
，
因为二面角是锐角，所以二面角的大小为．
20．（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：取的中点为，连接、、，
因为，，故四边形为等腰梯形，
如图，过作的垂线，垂足分别为，则，
因为，所以，故，同理，
所以，所以.
所以四边形与四边形都是菱形，且为的中点，
所以为的中点，，又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为，为的中点，所以；
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面；
取的中点为，因为为等腰梯形，所以.
以为坐标原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则,
所以，，.
设平面的一个法向量为，由，得，
取，则，故.
设平面的一个法向量为，由，得，,
取，则，故.
所以，
因为二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．
21．（1），2，；（2）存在，，2，.
【解析】（1）直三棱柱中，，，，
故，
若为正三角形，则到的距离为正三角形的高：，
又由在平面内，
故的横纵坐标与中点的横纵坐标相等，竖坐标的绝对值等于正三角形的高，
，，
故中点坐标为，2，，
故点坐标为：，2，；
（2）设点的坐标为，2，，
则，2，，，，，
若为以为斜边的直角三角形，
则，
即，
解得：，或（舍去），
故点的坐标为，2，.
故在线段上存在一点，2，，使是以为斜边的直角三角形.
22．（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）因为顶点A在底面BCD上的投影O在棱BD上，
所以AO⊥平面BCD，
因为AO 平面ABD，
所以平面ABD⊥平面BCD，
因为∠CBD＝90°，
所以BC⊥BD，
因为平面ABD∩平面BCD＝BD，BC 平面BCD，
所以BC⊥平面ABD，
又AD 平面ABD，
所以BC⊥AD，
由AB＝AD＝，BD＝2，得，
所以AD⊥AB，
因为AB∩BC＝B，AB 平面ABC，BC 平面ABC，
所以AD⊥平面ABC．
（2）连接OE，因为O为BD的中点，E为CD的中点，OE∥BC，所以OE⊥BD，
如图，以O为坐标原点，分别以OE，OD，OA为x轴，y轴，z轴为正方向，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（2，﹣1，0），D（0，1，0），E
（1，0，0），
，，，
设平面ABE的一个法向量＝（x，y，z），
取x＝1，得＝（1，﹣1，1），
设平面ACE的一个法向量＝（a，b，c），
取c＝1，则，
设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，由图知二面角为锐角，
则cosθ＝＝．
所以二面角B﹣AE﹣C的余弦值为．
（3）设P（0，y，z），Q（，0，），
因为PQ⊥平面ABE，∴．
∴，＝λ（1，﹣1，1）．
∴ y＝，z＝0，∴ P（0，，0）
∴ PQ＝