第五章 5.1 5.1.1
请同学们认真完成练案[12]
A 组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝2x在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为( D )
A．x0＋Δx B．1＋Δx
C．2＋Δx D．2
[解析] 由题意，可得平均变化率＝＝2，
故选D．
2．(2021·杭州高二检测)设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( A )
A．2.1 B．1.1
C．2 D．0
[解析] ∵函数f(x)＝x2－1的自变量x由1变成1.1，所以Δx＝1.1－1＝0.1，Δy＝(1.12－1)－(12－1)＝0.21，
∴＝＝2.1．故选A．
3．已知函数y＝f(x)＝2x2的图象上的点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为( D )
A．4 B．4x
C．4＋2(Δx)2 D．4＋2Δx
[解析] ＝＝4＋2Δx.
4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为( B )
A．>> B．>>
C．>> D．>>
[解析] ＝＝kOA，＝＝kAB，＝＝kBC，由图象知kOA5．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( A )
A．at0 B．－at0
C．at0 D．2at0
[解析] ∵＝＝aΔt＋at0，
∴ ＝at0．
6．设f(x)＝2ax＋4，若f(x)在(1，f(1))处的瞬时变化率为2，则a等于( C )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
[解析] ＝2a＝2a＝2．
∴a＝1．
二、填空题
7．由瞬时变化率的研究方法可求得，函数f(x)＝x2－2x在x＝1处的瞬时变化率为__0__.
[解析]
＝
＝Δx＝0．
8．已知自由落体的运动方程为s(t)＝5t2，则t在2到2＋Δt这一段时间内落体的平均速度为__20＋5Δt__，落体在t＝2时的瞬时速度为__20__.
[解析] 由题物体在t＝2到t＝2＋Δt这一段时间内的平均速度为＝＝20＋5Δt，则当Δt→0时→20，即t＝2时的瞬时速度为20．
三、解答题
9．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
[解析] 山路从A到B高度的平均变化率为kAB＝＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为kBC＝＝＝，∴kBC>kAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭．
10．(2020·石家庄高二检测)一辆汽车按规律s＝3t2＋1做直线运动(时间单位：s，位移单位：m)，求这辆汽车在t＝3 s时的瞬时速度．
[解析] 设这辆汽车在3 s到(3＋Δt) s这段时间内的位移的增量为Δs，则Δs＝3·(3＋Δt)2＋1－28＝3(Δt)2＋18Δt，
所以＝3Δt＋18，所以 (3Δt＋18)＝18．
故这辆汽车在t＝3 s时的瞬时速度为18 m/s.
B 组·素养提升
一、选择题
1．直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt时，物体的位移为Δs，那么对于 的下列说法正确的是( D )
A．从时刻t到t＋Δt时，物体的平均速度
B．从时刻t到t＋Δt时位移的平均变化率
C．当时刻为Δt时该物体的速度
D．该物体在t时刻的瞬时速度
[解析] 根据题意，直线运动的物体，从时刻t到t＋Δt时，时间的变化量为Δt，而物体的位移为Δs，
那么 为该物体在t时刻的瞬时速度；
故选D．
2．(多选题)某物体做自由落体运动的位移s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若 ＝9.8 m/s，则对于数据9.8 m/s，下列说法错误的是( ABD )
A．是从0 s到1 s这段时间的平均速度
B．是从1 s到(1＋Δt)s这段时间的平均速度
C．是t＝1 s这一时刻的瞬时速度
D．是t＝Δt s这一时刻的瞬时速度
[解析] 根据题意， ＝9.8 m/s，则物体在t＝1 s这一时刻的瞬时速度为9.8 m/s，
故选ABD．
3．(2020·海南中学高二期末)设函数f(x)＝x2＋ax，且 ＝1，则a＝( D )
A．－ B．－
C．1 D．－1
[解析] 由＝＝1可知，函数f(x)在x＝1处的瞬时变化率为1．
又
＝
＝ (Δx＋a＋2)＝a＋2，∴a＋2＝1，∴a＝－1．
4．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则切点P的坐标为( C )
A．(－2,1) B．(0，－7)
C．(2,1) D．(3,11)
[解析] 设P点坐标为(x0,2x－7)，
则
＝
＝ (4x0＋2Δx)＝4x0．
所以4x0＝8，解得x0＝2．
所以P的坐标为(2,1)．
二、填空题
5．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为__2__.
[解析] 根据题意，函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为＝＝m＋1，
∴m＋1＝3则m＝2．
6．设函数y＝f(x)＝ax3＋2，若f(x)在x＝－1处的切线斜率为3，则a＝__1__.
[解析] Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx.
∴＝＝a(Δx)2－3aΔx＋3a.
当Δx无限趋近于0时，a(Δx)2－3aΔx＋3a无限趋近于3a.
∴k＝3a＝3，∴a＝1．
三、解答题
7．过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
[解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1
＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
∴割线PQ的斜率k＝
＝＝(Δx)2＋3Δx＋3．
设Δx＝0.1时割线的斜率为k1，则k1＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31．
8．若一物体运动方程如下：(位移s：m，时间t：s)
s＝f(t)＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[解析] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为
＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近位移的平均变化率为＝
＝
＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处位移的瞬时变化率为
＝ (3Δt－18)＝－18，
即物体的初速度v0＝－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为物体在t＝1处位移的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近位移的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1处位移的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12，
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.(共43张PPT)
第五章
一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．知道瞬时速度的概念，能描述瞬时速度与平均速度的关系． 2．会通过极限的方法求瞬时速度． 3．会区分曲线的割线斜率与切线斜率，并知道二者的不同． 1．从物理和几何背景认识平均变化率和瞬时变化率，明确变化趋势与极限的关系．
2．通过曲线的割线到切线的形成过程，体会运动变化和逼近、极限思想．
必备知识·探新知
我们把物体在___________的速度称为瞬时速度．
瞬时速度
知识点1
某一时刻
极限
知识点2
无限趋近于0
－5
在研究抛物线的割线时，我们发现，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于_________________，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线．
曲线的切线
知识点3
一个确定的位置
知识解读：割线的斜率与切线的斜率的区别与联系
区别：割线的斜率是经过曲线上两点连线的斜率；切线的斜率是以曲线上一点为切点且与曲线相切的直线的斜率．
联系：切线的斜率是割线的斜率的极限值．
关键能力·攻重难
(1)如图所示，函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为
( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
题型探究
题型一 平均变化率的求法
典例 1
B
A
【对点训练】 (1)已知一物体的运动方程为y＝f(t)＝2t2＋1，其中t的单位是s，路程单位为m，那么物体在时间[1，1＋Δt]内的平均速度为
( )
A．4 B．4Δt
C．4＋2Δt D．2Δt
C
(2)物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是 ( )
A．在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C
题型二 瞬时变化率(瞬时速度)的求法
典例 2
【对点训练】 (1)(2020·洛阳高二检测)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是 ( )
A．－3 B．3
C．6 D．－6
(2)已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单位为s)，则该物体在t＝2 s时的瞬时速度为 ( )
A．3 m/s B．2 m/s
C．1 m/s D．0 m/s
D
D
题型三 曲线在某点处的瞬时变化率(切线斜率)的求法
典例 3
A
x＋2y＋4＝0
A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有 ( )
A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率比
B机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大
易错警示
典例 4
B
不能正确识图致误
[错解] 选C．因为在(0，t0)上，W1(t)的图象比W2(t)的图象陡峭，∴在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大．
[误区警示] 从图上看，两机关单位在(0，t0)上用电量的平均变化率都取负值．
[正解] 由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B．
[点评] 识图时，一定要结合题意弄清图象所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清．
课堂检测·固双基
[解析] 由平均变化率的概念知C正确，故选C．
C
C
3．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t3－2表示，则此物体在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为 ( )
A．1 B．3
C．－1 D．0
B
B
2
素养作业·提技能
