第五章 5.1 5.1.2
请同学们认真完成练案[13]
A 组·素养自测
一、选择题
1．设 f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( B )
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴斜交
[解析] 由导数的几何意义知B正确，故应选B．
2．y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B )
A． B．
C． D．1
[解析] ∵＝
＝＝a(Δx)＋2ax， ＝2ax，
即y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，
∴x0＝.∵切点在直线y＝x上，∴y0＝ .
代入y＝ax2＋1得＝＋1，∴a＝，故选B．
3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则( B )
A．f′(x0)<0 B．f′(x0)>0
C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在
[解析] 由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线的斜率，所以f′(x0)＝3．故选B．
4．曲线y＝在点P(2,1)处的切线的倾斜角为( D )
A． B．
C． D．
[解析] Δy＝－＝－1＝，
＝ ＝－1，斜率为－1，倾斜角为.
5．设f(x)是可导函数，且满足 ＝－2，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为( D )
A．－4 B．4
C．2 D．－2
[解析] ∵ ＝－2，∴f(1)＝－2．
∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k＝－2．
6．(2021·河北石家庄鹿泉区第一中学高二月考)已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( B )
A．f ′(1)
C．f ′(2)[解析] 由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在区间[1,2]的斜率越来越大，
∵＝a，∴f ′(1)二、填空题
7．(2020·河南郑州高二期末)若f ′(2)＝3，则 ＝__3__.
[解析] 由导数的定义可知应为3．
8．(2021·河南郑州一中高二检测)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为__－7__.
[解析] 设点P(x0,2x＋a)．由导数的几何意义可得f ′(x0)＝ ＝ ＝4x0＝8，∴x0＝2，∴P(2,8＋a)．将x＝2，y＝8＋a代入8x－y－15＝0，得a＝－7．
三、解答题
9．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(1,2)，求：
(1)曲线在点A处的切线的斜率；
(2)曲线在点A处的切线方程．
[解析] (1)k＝f ′(1)＝
＝
＝
＝ (4＋2Δx)＝4，
∴曲线在点A处的切线的斜率为4．
(2)由(1)知曲线在点A处的切线的斜率是4，
∴切线方程是y－2＝4(x－1)，即y＝4x－2．
10．已知曲线y＝f(x)＝上两点P(2，－1)，Q(－1，)．
(1)求曲线在点P，Q处的切线的斜率；
(2)求曲线在P，Q处的切线方程．
[解析] 将点P(2，－1)代入y＝，得t＝1，
所以y＝.
y′＝ ＝
＝
＝ ＝.
(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝＝1；
曲线在点Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝.
(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，
即x－y－3＝0，
曲线在点Q处的切线方程为y－＝[x－(－1)]，
即x－4y＋3＝0．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)已知函数y＝f(x)在自变量x0处的改变量为Δx，函数值的改变量为Δy，f(x)在x0处的导数值为f ′(x0)，下列等式中正确的是( ABD )
A．f ′(x0)＝
B．f ′(x0)＝
C．f ′(x0)＝ [f(x0＋Δx)f(x0)]
D．f ′(x0)＝
[解析] 根据导数的定义可知，A正确；对于B，若令x＝x0＋Δx，当x→x0时，Δx→0，则 ＝
＝f ′(x0)，B正确；
根据导数的定义f ′(x0)＝ ，所以，C错误；根据导数的定义可知，D正确．
故选ABD．
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，f ′(x)是函数f(x)的导函数，下列数值排序正确的是( D )
A．f ′(2)B．f ′(3)C．f(3)－f(2)D．f ′(2)[解析] 如图所示，根据题意，设M(2，f(2))，N(3，f(3))为函数y＝f(x)上的点，则f ′(2)为函数f(x)在x＝2处切线的斜率，f ′(3)为函数f(x)在x＝3处切线的斜率，f(3)－f(2)＝为直线MN的斜率，结合图象分析可得f ′(2)3．(2021·湖北华中师大一附中高二检测)如图所示，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f ′(4)＝( A )
A． B．3
C．4 D．5
[解析] 根据函数的几何意义可知，f ′(4)是曲线在x＝4处的切线的斜率，注意到k＝＝，所以f ′(4)＝.
4．已知曲线y＝x2－2上一点P(1，－)，则过点P的切线的倾斜角为( B )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
[解析] ∵y＝x2－2，
∴y′＝
＝
＝ (x＋Δx)＝x.
∴y′|x＝1＝1．
∴过点P(1，－)的切线的斜率为1，
则切线的倾斜角为45°.
二、填空题
5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 ＝__－2__.
[解析] 由导数的概念和几何意义知，
＝f′(1)＝kAB＝＝－2．
6．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为__[－1，－]__.
[解析] y′＝
＝ (2x＋2＋Δx)
＝2x＋2，
且切线倾斜角θ∈[0，]，
∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x＋2≤1，
∴－1≤x≤－.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值．
[解析] ∵f ′(x)＝
＝ ＝2ax，
∴f ′(1)＝2a，即切线斜率k1＝2a.
∵g′(x)＝
＝ ＝3x2＋b，
∴g′(1)＝3＋b，即切线斜率k2＝3＋b.
∵在交点(1，c)处有公共切线，
∴2a＝3＋b.
又∵a＋1＝1＋b，即a＝b，故可得
8．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
[解析] ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x＋ax－9x0－1)
＝(3x＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx)2．
当Δx无限趋近于零时，无限趋近于3x＋2ax0－9．
即f′(x0)＝3x＋2ax0－9，
∴f′(x0)＝3(x0＋)2－9－.
当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，
∴该切线斜率为－12．
∴－9－＝－12．解得a＝±3．
又a<0，∴a＝－3．(共48张PPT)
第五章
一元函数的导数及其应用
5.1 导数的概念及其意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．在函数瞬时变化率的基础上，建构导数的概念． 2．掌握导数的几何意义. 1．从瞬时速度、切线斜率两个具体模型出发，从特殊到一般，从具体到抽象，利用类比归纳的思想学习导数的概念．
2．领悟极限思想和函数思想，提高抽象概括，联系转化的思维能力.
必备知识·探新知
平均变化率的概念
知识点1
瞬时变化率(导数)的概念
知识点2
知识解读：对于y＝f(x)在x＝x0处的导数的理解要注意以下三点：
(1)y＝f(x)在x＝x0处的导数即为函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
(2)y＝f(x)在x＝x0处的导数表示为f ′(x0)或y ′|x＝x0，函数在x＝x0处的导数f ′(x0)只与x0有关，与Δx无关，函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值的改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量．
(1)切线的定义．
如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在P0处的切线．
导数的几何意义
知识点3
导函数的概念
知识点4
知识解读：函数f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)、导函数f ′(x)之间的区别与联系
区别：(1)f ′(x0)是函数f(x)在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；
(2)f ′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f ′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x)．
联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一．
关键能力·攻重难
求f(x)＝x3－x在x＝2处的导数．
[分析] 利用导数的定义求导，利用“三步法”求解．
题型探究
题型一 求函数在某点处的导数
典例 1
题型二 根据导数定义求参数
典例 2
C
[规律方法] 根据导数定义求参数的方法
1．利用导数的定义求出函数在某点处的导数．
2．依据等量关系建立参数方程求参数．
C
题型三 基于导数运算公式的形式化计算
典例 3
B
[分析] 本题考查对导数形式化定义的认识，根据导数的定义来求解， 需明确Δx，Δy的含义．
C
[分析] 求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再把x的值代入求导数值．
题型四 求切线方程
典例 4
[规律方法] 1．求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；
(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：
(1)设切点为Q(x0，y0)；
(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)；
(3)利用点Q在曲线上和f ′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f ′(x0)．
(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．
3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．
求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解．
4．f ′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角； f ′(x0)<0时，切线的倾斜角为钝角； f ′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在．
B
(－1，－1)
易错警示
典例 5
求切线方程时忽视点是否在曲线上致误
课堂检测·固双基
1．一物体的运动方程为f(x)＝x2－3x，则 f ′(0)＝ ( )
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
C
B
[解析] ∵y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程为y＝－x＋8，可得y＝f(x)在点P(5，f(5))处的切点纵坐标和切线斜率分别为f(5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1，则f(5)＋f ′(5)＝2．
C
C
B
素养作业·提技能