第五章 5.2 5.2.1
请同学们认真完成练案[14]
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列结论不正确的是( D )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
D．若y＝x，则y′＝x
[解析] 当y＝x时，y′＝(x)′＝()′＝＝x－.
D不正确．故应选D．
2．若y＝cos，则y′＝( C )
A．－ B．－
C．0 D．
[解析] 常数函数的导数为0．
3．(多选题)下列命题正确的是( CD )
A．(logax)′＝ B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3xln 3 D．(ln x)′＝
[解析] 根据基本初等函数导数公式知，(logax)′＝，(3x)′＝3xln 3，(ln x)′＝.所以A，B均不正确，C，D正确．
4．曲线y＝x2上切线的倾斜角为的点是( D )
A．(0,0) B．(2,4)
C． D．
[解析] 依题意y′＝2x＝tan＝1，x＝，此时y＝2＝，故选D．
5．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x(x>0)(注：(ln x)′＝)的一条切线，则实数b的值为( C )
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
[解析] ∵y＝ln x的导数y′＝，令＝，得x＝2，
∴切点为(2，ln 2)，代入直线y＝x＋b，得b＝ln 2－1．
6．曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为( C )
A．1 B．－
C． D．
[解析] ∵y＝x3，∴y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，
∵0≤α<π，∴α＝.
二、填空题
7．函数f(x)＝，则f ′(x)＝__x－__，f ′()＝____.
[解析] 因为f(x)＝＝x，
所以f ′(x)＝x－.
f ′＝×－＝×－2＝.
8．曲线y＝cos x在x＝处的切线方程为__x＋y－＝0__.
[解析] 因为cos＝0，即求曲线y＝cos x，在点(，0)处的切线方程，
y′＝－sin x，当x＝时，y′＝－1．
所以切线方程为y＝－1·(x－)，
即x＋y－＝0．
三、解答题
9．若直线y＝－x＋b为函数y＝的图象的切线，求b及切点坐标．
[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，
因为y′＝′＝－，所以切线斜率为k＝－.
所以切线方程为y－＝－(x－x0)
即y＝－x＋ .
又切线方程为y＝－x＋b，
∴，解得或.
即当b＝2时，切点为(1,1)；
当b＝－2时，切点为(－1，－1)．
10．已知点P(，a)在曲线y＝cos x上，直线l是以点P为切点的切线．
(1)求a的值；
(2)求过点P与直线l垂直的直线方程．
[解析] (1)因为P(，a)在曲线y＝cos x上，所以a＝cos＝.
(2)因为y′＝－sin x，
所以kl＝y′|x＝＝－sin＝－.
又因为所求直线与直线l垂直，
所以所求直线的斜率为－＝，
所以所求直线方程为y－＝(x－)，
即y＝x－＋.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)函数y＝在点P处的切线斜率为－4，则P的坐标为( AC )
A． B．
C． D．
[解析] ∵y＝，∴y′＝－，
∵曲线y＝在点P的切线的斜率为－4，
∴－＝－4，∴x＝±，
∴y＝±2．
即点P或，故选AC．
2．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( D )
A． B．－
C．－e D．e
[解析] 因为y′＝(ex)′＝ex，设切点坐标为(x0，y0)，所以k＝＝＝ex0，
得x0＝1，所以k＝e.
3．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( A )
A．∪ B．[0，π)
C． D．∪
[解析] 因为y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]．所以直线l的斜率的范围是[－1,1]，所以直线l倾斜角的范围是∪.
4．若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是( A )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
[解析] y′＝，y′|x＝a＝，
所以切线方程为y－＝(x－a)．
令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－a.
由题意知S＝×a×＝2，解得a＝4．
二、填空题
5．(2021·广陵高二检测)若f(x)＝x3，其导数满足f ′(x0)＝3，则x0的值为__±1__.
[解析] 根据题意，若f(x)＝x3，其导数f ′(x)＝3x2，若f ′(x0)＝3，则3x＝3，解得x0＝±1．
6．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f ′0(x)，f2(x)＝f ′1(x)，…，fn＋1(x)＝f ′n(x)，n∈N，则f2 020(x)等于__sin x__.
[解析] 因为f0(x)＝sin x，
所以f1(x)＝f ′0(x)＝(sin x)′＝cos x，
f2(x)＝f ′1(x)＝(cos x)′＝－sin x，
f3(x)＝f ′2(x)＝(－sin x)′＝－cos x，
f4(x)＝f ′3(x)＝(－cos x)′＝sin x，
所以4为最小正周期，
所以f2 020(x)＝f0(x)＝sin x.
三、解答题
7．求下列函数的导(函)数．
(1)y＝x－5；
(2)y＝4x；
(3)y＝；
(4)y＝sin；
(5)y＝cos(2π－x)．
[解析] (1)y′＝(x－5)′＝－5x－6．
(2)y′＝(4x)′＝4xln 4．
(3)因为y＝x·x·x＝x，所以y′＝x－.
(4)因为y＝sin(＋x)＝cos x，所以y′＝－sin x.
(5)因为y＝cos(2π－x)＝cos x，所以y′＝－sin x.
8．若曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
[解析] ∵y＝x－，∴y′＝－x－，
∴曲线在点(a，a－)处的切线斜率k＝－a－，
∴切线方程为y－a－＝－a－ (x－a)
令x＝0得y＝a－，
令y＝0得x＝3a.
∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×3a×a－＝a＝18，
∴a＝64．(共35张PPT)
第五章
一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.1 基本初等函数的导数
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．借助教材实例了解利用定义求函数的导数． 2．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数． 3．会解决与曲线的切线相关的问题. 通过六个简单的常用函数的求导，体会导数求解的一般方法及特殊到一般的思想.
必备知识·探新知
几个常用函数的导数
知识点1
基本初等函数的导数公式
知识点2
函数 导数
f(x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝_________
f(x)＝sin x f ′(x)＝________
f(x)＝cos x f ′(x)＝__________
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln a
αxα－1
cos x
－sin x
ex
知识解读：(1)上述导数公式表是比较全面的，涵盖了基本初等函数中的常数函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数，其中幂函数的导数公式中幂指数可以推广到全体实数．
(2)若函数式中含有根式，一般将其转化为分数指数幂的形式，再利用y＝xα的导数公式解决．
(3)记忆正弦函数、余弦函数的导数时，一要注意函数名的变化，二要注意符号的变化．
(4)各类考试中最常见的是求幂函数和以自然常数为底数的特殊指数函数y＝ex与对数函数y＝ln x的导数．
关键能力·攻重难
[分析] 先将①②化为幂函数的形式再求导，③④直接用公式求导．
题型探究
题型一 公式法求导数
典例 1
C
[规律方法] 运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项
(1)对于简单的函数，直接套用公式．
(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．
D
D
题型二 导数公式的应用
典例 2
B
x＋y－2＝0
【对点训练】 (1)曲线f(x)＝3x在点(0，1)处的切线方程是______________.
(2)已知曲线y＝x3在点(2，8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝
( )
A．4 B．－4
C．28 D．－28
y＝xln 3＋1
C
D
[解析] (1)∵f(x)＝3x，∴f ′(x)＝3xln 3，∴f ′(0)＝ln 3，
∴所求切线方程为y＝xln 3＋1．
(2)∵y ′＝3x2，
∴点(2，8)处的切线斜率k＝f ′(2)＝12，
∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28．
经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，求切线方程．
[错解] 设f(x)＝x3，由定义得f ′(2)＝12，
∴所求切线方程为y－8＝12(x－2)，即12x－y－16＝0．
[误区警示] 曲线过点P的切线与在点P处的切线不同．
易错警示
典例 3
不能正确理解切点的实质而致误
[点评] 在求切线方程的过程中，关键是寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点P(2，8)不一定是切点，做题时要高度关注．
课堂检测·固双基
B
C
C
4．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，则 f ′(x)－g ′(x)＝__________.
5．已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f ′(x)－g ′(x)＝1，则x＝____.
1
素养作业·提技能
