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第五章
一元函数的导数及其应用
5.2 导数的运算
5.2.2 导数的四则运算法则
5.2.3 简单复合函数的导数
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数． 2．能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数. 1．类比数和向量的四则运算，感受导数的四则运算法则，体会导数运算是导数发挥工具性作用的基础．
2．感受导数运算法则和基本初等函数导数公式综合作用下的复合函数的求导法则.
必备知识·探新知
导数的四则运算法则
知识点1
符号表达 文字叙述
[f(x)±g(x)] ′＝________________ 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)
[f(x)g(x)] ′＝ __________________________ 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
f ′(x)±g′(x)
f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
知识解读：导数运算法则的提示
(1)对导数的运算法则只要求能熟练运用这些法则求简单函数的导数即可．
(2)函数的和(差)的导数运算法则，可推广到任意有限个可导函数的和(差)，即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)] ′＝f1 ′(x)±f2 ′(x)±…±fn ′(x)．
(1)定义：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)求导法则：对于复合函数y＝f(g(x))，y ′x＝_____________，即y对x的导数等于_______的导数与_______的导数的乘积．
复合函数的导数
知识点2
y′u·u′x
y对u
u对x
知识解读：复合函数的求导问题，关键在于分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，选好中间变量．求解时要注意两点：
(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 利用导数的运算法则求函数的导数
典例 1
A
D
C
[规律方法] 应用导数的四则运算法则的思路方法及注意事项
(1)熟记导数的四则运算法则，尤其是积、商的求导法则．
(2)应用和、差、积、商的求导法则求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用积或商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形等知识对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错．
(3)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．
D
(2)(2020·福建南安侨光中学高三月考)已知f(x)＝e2 020＋x·ln x，则f ′(1)＝ ( )
A．1 B．e2 020＋1
C．e2 020－1 D．e2 020
A
[分析] 若所给函数解析式较为复杂，不能直接套用导数公式和导数运算法则时，可先对函数解析式进行适当的变形与化简，再用相关公式和法则求导．
题型二 利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数
典例 2
[规律方法] 求函数的导数时，一般要遵循“先化简再求导”的原则，这样一方面可以简化求导的过程，另一方面可以解决有些函数根本没法直接运用公式和法则求导的问题．尤其是当函数解析式中含有三角函数时，更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，最后再套用公式求导．
(2)解法一：y ′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)] ′
＝[(x＋1)(x＋2)] ′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3) ′
＝[(x＋1) ′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2) ′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11．
解法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)
＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y ′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)] ′＝(x3＋6x2＋11x＋6) ′＝3x2＋12x＋11．
[分析] 先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导．
题型三 复合函数的求导
典例 3
[规律方法] 求复合函数导数的步骤
【对点训练】 (1)(2020·浙江省北仑中学高二检测)函数y＝x2cos 2x的导数为 ( )
A．y ′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y ′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y ′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y ′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
B
B
10
题型四 综合应用问题
典例 4
[分析] (1)由f(x)在点P处的切线方程可知f ′(2)，及f(2)＝－6，得到a，b的方程组，解方程组可求出a，b；
(2)由曲线y＝f(x)的切线与l垂直，可得切线斜率k＝f ′(x0)，从而解出x0，求得切点坐标和k.
[解析] (1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f ′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f ′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16．
[规律方法] 1．导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．
2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解．
【对点训练】 已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为____.
1
对复合函数的求导不完全而致误
在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数．
易错警示
函数y＝xe1－2x的导数为________________.
[错解] y ′＝e1－2x＋x(e1－2x) ′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.
[正解] y ′＝e1－2x＋x(e1－2x) ′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x) ′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.
[点评] 错解中对e1－2x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全．
典例 5
(1－2x)e1－2x
课堂检测·固双基
[解析] 函数的导数为f ′(x)＝1＋ex，故选D．
D
2．(2021·大庆高二检测)已知f(x)＝sin 2x＋e2x，则f ′(x)＝ ( )
A．2cos 2x＋2e2x B．cos 2x＋e2x
C．2sin 2x＋2e2x D．sin 2x＋e2x
[解析] 根据题意，f(x)＝sin 2x＋e2x，则f ′(x)＝2cos 2x＋2e2x.
A
A
4．(2021·河北区一模)已知函数f(x)＝xex，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(0)＝____.
[解析] 函数f(x)＝xex，
则f ′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex，
∴f ′(0)＝(1＋0)e0＝1．
故答案为1．
1
素养作业·提技能第五章 5.2 5.2.2 5.2.3
请同学们认真完成练案[15]
A 组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝(x－a)(x－b)在x＝a处的导数为( D )
A．ab B．－a(a－b)
C．0 D．a－b
[解析] ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴f′(x)＝2x－(a＋b)，
∴f′(a)＝2a－(a＋b)＝a－b，故应选D．
2．已知f ′(x)为函数f(x)＝ax－bln x的导函数，且满足f ′(1)＝0，f ′(－1)＝2，则f ′(2)＝( C )
A．1 B．－
C． D．
[解析] 由f ′(x)＝a－，得f ′(1)＝a－b＝0，
f ′(－1)＝a＋b＝2，得a＝b＝1，
得f ′(x)＝1－，得f ′(2)＝.
3．已知函数f(x)＝ax2＋2bx的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝4x＋3，则b－a＝( C )
A．－8 B．20
C．8 D．－2
[解析] 函数f (x)＝ax2＋2bx的导数为f ′(x)＝2ax＋2b，
可得函数的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝2a＋2b＝4，即a＋b＝2，
由切线方程为y＝4x＋3，
可得f(1)＝a＋2b＝4＋3＝7，
所以a＝－3，b＝5，所以b－a＝8．
4．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( B )
A．－1 B．0
C．2 D．4
[解析] 由已知得：3k＋2＝1，∴k＝－，又g(x)＝xf(x)，f′(3)＝－，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0．
5．函数f(x)＝ex＋xsin x－7x在x＝0处的导数等于( A )
A．－6 B．6
C．－4 D．－5
[解析] f ′(x)＝(ex)′＋(xsin x)′－(7x)′＝ex＋sin x＋xcos x－7，
所以f ′(0)＝e0－7＝－6．
6．(2020·邵阳三模)已知函数f(x)＝f ′(－2)ex－x2，则f ′(－2)＝( D )
A． B．
C． D．
[解析] f ′(x)＝f ′(－2)ex－2x.
∴f ′(－2)＝f ′(－2)·e－2－2·(－2)；
解得f ′(－2)＝.
故选D．
二、填空题
7．(2021·黄山一模)已知f(x)＝x3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝__1__.
[解析] 根据题意，f(x)＝x3＋3xf ′(0)，
则其导数f ′(x)＝x2＋3f ′(0)，
令x＝0可得： f ′(0)＝3f ′(0)，
解可得f ′(0)＝0，
则f ′(x)＝x2，
则有f ′(1)＝1．
故答案为1．
8．若函数f(x)＝eax＋ln(x＋1)，f ′(0)＝4，则a＝__3__.
[解析] 由f(x)＝eax＋ln(x＋1)，
得f ′(x)＝aeax＋，
∵f ′(0)＝4，∴f ′(0)＝a＋1＝4，
∴a＝3．
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝xex；
(2)y＝；
(3)y＝xsin x－；
(4)y＝cos2.
[解析] (1)y′＝x′·ex＋x·(ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
(2)y′＝()′
＝
＝＝.
(3)y′＝(xsin x)′－()′
＝sin x＋xcos x－.
(4)y＝cos2＝＝＋cos x，
∴y′＝(－sin x)＝－sin x.
10．求下列函数的导数：
(1)y＝x(x2＋＋)；
(2)y＝(＋1)(－1)；
(3)y＝sin4＋cos4；
(4)y＝＋ .
[解析] (1)∵y＝x＝x3＋1＋，
∴y′＝3x2－.
(2)∵y＝(＋1)＝－x＋x－，
∴y′＝－x－－x－＝－.
(3)∵y＝sin4＋cos4
＝2－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－·＝＋cos x，
∴y′＝－sin x.
(4)∵y＝＋＝＋
＝＝－2，
∴y′＝′＝＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知f(x)＝x2＋cos x，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′(x)的图象是( A )
[解析] 函数f(x)＝x2＋cos x，
f ′(x)＝－sin x，f ′(－x)＝－sin(－x)＝－f ′(x)，
所以f ′(x)为奇函数，排除BD，
当x＝时，f ′()＝－<0，排除C，故选A．
2．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( B )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] y′＝＝
所以y′|x＝＝＝.
3．已知e为自然对数的底数，曲线y＝aex＋x在点(1，ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a＝( B )
A． B．
C． D．
[解析] 函数y＝aex＋x的导数为y′＝aex＋1，可得曲线y＝aex＋x在点(1，ae＋1)处的切线的斜率为y′＝ae＋1，所以ae＋1＝2e，解得a＝.
4．(多选题)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值可以是( AB )
A．1 B．
C． D．－
[解析] 因为(0,0)在直线l上，当O(0,0)为f(x)的切点时，因为f ′(0)＝2，所以直线l的方程为y＝2x，
又直线l与y＝x2＋a相切，
所以x2＋a－2x＝0满足Δ＝4－4a＝0，得a＝1；
当O(0,0)不是f(x)的切点时，
设切点为(x0，x－3x＋2x0)(x0≠0)，
则f ′(x0)＝3x－6x0＋2，
所以＝3x－6x0＋2，
得x0＝，所以f ′()＝－，
所以直线l的方程为y＝－x.
由得x2＋x＋a＝0，
由题意得Δ＝－4a＝0，所以a＝.
综上得a＝1或a＝.
二、填空题
5．曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为__y＝2x__.
[解析] y′＝，k＝＝2，所以切线方程为y－0＝2(x－0), y＝2x.
6．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f ′(x)＝__2x－2－__，f ′(x)>0的解集为__{x|x>2}__.
[解析] 由f(x)＝x2－2x－4ln x，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－2－＝＝>0，解得x>2，故f ′(x)>0的解集为{x|x>2}．
三、解答题
7．已知函数f(x)是关于x的二次函数，f ′(x)是f(x)的导函数，对一切x∈R，都有x2f ′(x)－(2x－1)f(x)＝1成立，求函数f(x)的解析式．
[解析] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f ′(x)＝2ax＋b.
所以x2f ′(x)－(2x－1)f(x)＝x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)
＝(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1，
所以解得
所以f(x)＝2x2＋2x＋1．
8．已知f(x)＝x3＋bx2＋cx(b，c∈R)，f′(1)＝0，x∈[－1,3]时，曲线y＝f(x)的切线斜率的最小值为－1，求b，c的值．
[解析] f′(x)＝x2＋2bx＋c＝(x＋b)2＋c－b2，
且f′(1)＝1＋2b＋c＝0．①
(1)若－b≤－1，
即b≥1，则f′(x)在[－1,3]上是增函数，
所以f′(x)min＝f′(－1)＝－1，
即1－2b＋c＝－1．②
由①②解得b＝，不满足b≥1，故舍去．
(2)若－1<－b<3，即－3则f′(x)min＝f′(－b)＝－1，
即b2－2b2＋c＝－1．③
由①③解得b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1．
(3)若－b≥3，即b≤－3，则f′(x)在[－1,3]上是减函数，
所以f′(x)min＝f′(3)＝－1，
即9＋6b＋c＝－1．④
由①④解得b＝－，不满足b≤－3，故舍去．
综上可知，b＝－2，c＝3或b＝0，c＝－1．
