第五章 5.3 5.3.1
请同学们认真完成练案[16]
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( B )
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
[解析] 对于B，y＝xe2，则y′＝e2，∴y＝xe2在R上为增函数，在(0，＋∞)上也为增函数，选B．
2．y＝xln x在(0,5)上是( C )
A．单调增函数
B．单调减函数
C．在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增
D．在(0，)上单调递增，在(，5)上单调递减
[解析] ∵y′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋1，
∴当0
∴y在(0，)上单调递减．
当－1，即y′>0，
∴y在(，5)上单调递增．
3．(2021·商洛模拟)设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( B )
[解析] 由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，
即有导数小于0，可排除C，D；
再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，
函数f(x)递减，再递增，后递减，
即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，
可排除A；则B正确．
故选B．
4．(2020·江苏省宿迁市期中)函数f(x)＝＋ln x的单调递减区间为( B )
A．(－∞，5) B．(0,5)
C．(5，＋∞) D．(0，＋∞)
[解析] 易知，函数f(x)定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－＋，令f ′(x)<0得05．(2020·吉林省四平市期末)三次函数f(x)＝ax3－1在R上是减函数，则( D )
A．a＝1 B．a＝2
C．a≤0 D．a<0
[解析] f ′(x)＝3ax2，要使f(x)在R上为减函数，则f ′(x)≤0在R上恒成立，即a≤0，又a＝0时，f ′(x)＝0恒成立，所以a≠0．综上a<0．
6．(2021·宁夏部分重点中学联考)若函数f(x)＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为( B )
A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
[解析] 由题意可得，f ′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立．因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1．故选B.
二、填空题
7．(2021·沙市区校级期中)函数y＝x3－x2－x的单调增区间为__(－∞，－)，(1，＋∞)__.
[解析] 由y＝x3－x2－x，∴f′(x)＝3x2－2x－1＝3(x＋)(x－1)．
令f′(x)>0，解得x>1或x<－.
函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－)，(1，＋∞)．
故答案为(－∞，－)，(1，＋∞)．
8．(2020·无锡期末)函数f(x)＝x＋2cos x(0≤x≤2π)的单调递减区间为__(，)__.
[解析] ∵函数y＝x＋2cos x，∴y′＝1－2sin x＜0，
∴sin x＞，
又∵x∈[0,2π]，
∴x∈(，)，故答案为(，)．
三、解答题
9．求函数y＝x3－2x2＋x＋1的单调区间．
[解析] 函数y＝x3－2x2＋x＋1的定义域为R，y′＝3x2－4x＋1＝(x－1)(3x－1)．
令y′＝0得x＝1或x＝.
x＝1和x＝把定义域分为三个区间，y′在各区间上的正负列表如下：
x (－∞，) (，1) 1 (1，＋∞)
y′ ＋ 0 － 0 ＋
y 单调递增 单调递减 单调递增
所以y＝x3－2x2＋x＋1在(－∞，)和(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减．
10．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－2ln x；
(2)f(x)＝x2·e－x.
[解析] (1)函数的定义域为D＝(0，＋∞)．
∵f ′(x)＝6x－，令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)．
用x1分割定义域D，得下表：
x
f ′(x) － 0 ＋
f(x) ↘ ↗
∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．
∵f ′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，
令f ′(x)＝0，由于e－x>0，∴x1＝0，x2＝2．
用x1，x2分割定义域D，得下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ ↗ ↘
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知定义在R上的函数f(x)＝ax3＋x2＋ax＋1有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是( D )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)
[解析] 根据题意知，f ′(x)＝ax2＋2x＋a，若函数f(x)＝ax3＋x2＋ax＋1有三个不同的单调区间，则f ′(x)＝ax2＋2x＋a＝0有两个不相等的实根，Δ＝4－4a2>0，且a≠0，
解得－1故实数a的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．
2．(2021·上城区校级模拟)定义在R上的可导函数f(x)，已知y＝ef ′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的增区间是( B )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．(0,1) D．(1,2)
[解析] 由题意如图f ′(x)>0，则y>1，对应的区间是(－∞，2)
故函数y＝f(x)的增区间为(－∞，2)，
故选B．
3．函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2022，对任意x∈R，都有f′(x)<2x成立，则不等式f(x)>x2＋2018的解集为( C )
A．(－2,2) B．(－2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，＋∞)
[解析] 令F(x)＝f(x)－x2－2018，则F′(x)＝f′(x)－2x<0，∴F(x)在R上为减函数，
又F(－2)＝f(－2)－4－2018＝2022－2022＝0，
∴当x<－2时，F(x)>F(－2)＝0，
∴不等式f(x)>x2＋2018的解集为(－∞，－2)．
4．(多选题)下列图象中，可以作为函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数 f ′(x)的图象的是( AC )
[解析] ∵f ′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f ′(x)的图象开口向上．当a≠0时，f ′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，∴f ′(x)的图象可以为C项图．当a＝0时，f ′(x)＝x2－1，为A项图．故选AC．
二、填空题
5．在R上可导的函数f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式xf ′(x)<0的解集为__(－∞，－1)∪(0,1)__.
[解析] 由xf ′(x)<0，可得或由题图可知当－11时，f(x)单调递增，f ′(x)>0，则或解得06．(2020·苏州期末)已知函数f(x)＝在区间(m，m＋2)上单调递减，则实数m的取值范围为__[－1,1]__.
[解析] f ′(x)＝，
令f ′(x)＜0，解得：－1＜x＜3，
故f(x)在(－1,3)上递减，故(m，m＋2) (－1,3)，
故，解得：－1≤m≤1，故答案为[－1,1]．
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f ′(－1)＝0(a≠1)．
(1)试用含a的代数式表示b；
(2)试确定函数f(x)的单调区间．
[解析] (1)依题意，得f ′(x)＝x2＋2ax＋b，
由f ′(－1)＝1－2a＋b＝0得b＝2a－1．
(2)由(1)得f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x，
故f ′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)，
∵a≠1，∴－1≠1－2a.
令f ′(x)＝0，得x＝－1或x＝1－2a.
①当a>1时，1－2a<－1，
当x变化时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，1－2a) (1－2a，－1) (－1，＋∞)
f ′(x) ＋ － ＋
f(x) ↗ ↘ ↗
由此可得，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a，－1)．
②当a<1时，1－2a>－1，同理可得函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调递减区间为(－1，1－2a)．
综上，当a>1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(1－2a，－1)；
当a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调递减区间为(－1,1－2a)．
8．(2020·江西南昌高二期末)已知函数f(x)＝a(x－1)－ln x，g(x)＝ex.
(1)讨论y＝f(x)的单调性；
(2)若函数F(x)＝f(x)·g(x)在[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解析] (1)y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝，
当a≤0时，f ′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减．
当a>0时，令f ′(x)＝0，得x＝，
当f ′(x)<0时，0则y＝f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
(2)F(x)＝[a(x－1)－ln x]·ex，由题意F′(x)＝(ax－ln x－)·ex≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以ax－ln x－≥0在[1，＋∞)上恒成立．令h(x)＝ax－ln x－，则至少有h(1)≥0 a－1≥0 a≥1．(经检验a＝1符合题意)．
当a≥1时，有h′(x)＝a－＋＝.
令φ(x)＝ax2－x＋1，其图象开口向上，对称轴为x＝∈(0，]，
故φ(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以φ(x)≥φ(1)＝a>0，
所以h′(x)>0，
所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增．
综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)．(共42张PPT)
第五章
一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.1 函数的单调性
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．借助教材实例了解函数的单调性与导数的关系． (数学抽象) 2．能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间．(数学运算) 3．能利用导数研究与函数单调性相关的问题．(数学运算、逻辑推理) 1．通过对曲线割线的斜率和切线的斜率的关系的再认识，体会曲线的切线的斜率的变化趋势，通过数形结合感受数值变化与单调性的关系．
2．通过导函数符号的特征体会单调性与导数的关系．
3．高中阶段的导数问题基本上都与多项式函数有关，而三次函数的导函数是二次函数，因此研究三次函数的图象与性质时，多涉及求解相应一元二次方程、一元二次不等式.
必备知识·探新知
1．函数的单调性与导数正负的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下关系：
函数的单调性与导数
知识点
单调递增 在某个区间(a，b)上，如果_____________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增
单调递减 在某个区间(a，b)上，如果_____________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减
f ′(x)>0
f ′(x)<0
知识解读：如何从导数的几何意义理解上述结论？
上述结论可以由导数的几何意义得到：如果f ′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数f(x)单调递增；如果f ′(x)<0，即函数f(x)图象的切线斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，即函数f(x)单调递减．
2．函数值变化快慢与导数的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得_______，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得_______，函数的图象就比较“平缓”．
较快
较慢
规律：函数值增长快慢与导数的关系：
常见的对应情况如下表所示.
关键能力·攻重难
(1)(2021·临沂高二检测)f ′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是 ( )
题型探究
题型一 导数与原函数图象的关系
典例 1
D
(2)(2020·山东省枣庄市期中)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为 ( )
D
[解析] (1)由导函数图象可知函数f(x)在(－∞，0)上增函数，排除A，C，在(0，2)上为减函数，排除B，故选D．
(2)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f ′(x)>0(即f ′(x)在(－∞，0)上的图象全部在x轴上方)，故排除A，C．从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f ′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f ′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f ′(x)>0，故排除B．故选D．
[规律方法] 1．函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
2．利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数f(x)的导数f ′(x)：(1)若x∈[a，b)时f ′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若x∈(a，b)时f ′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f ′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
【对点训练】 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如下图所示，则该函数的图象是 ( )
B
(1)(2021·南平高二检测)函数f(x)＝xex＋1的单调递减区间是
( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
题型二 利用导数求函数的单调区间
典例 2
C
D
[规律方法] 1．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f ′(x)>0和f ′(x)<0．
(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．
2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f ′(x)≥0或f ′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f ′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R，
f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＞0，则3x2－3＞0．
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1．
∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，
令f ′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1．
∴函数f(x)的单调递减区间为(－1，1)．
[分析] 根据函数的单调性与其导函数的正负关系进行求解．
题型三 已知函数的单调性，确定参数的取值范围
典例 3
[规律方法] 1．利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路：
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x)≥0(或 f ′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f ′(x)>0(或 f ′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
【对点训练】 (2021·湖北重点中学联考)设函数f(x)＝xekx(k≠0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．
解法二：∵f(x)在(－1，1)内单调递增，
∴f ′(x)≥0在(－1，1)内恒成立．
令g(x)＝kx＋1，则g(x)≥0在(－1，1)内恒成立，
若k>0，则g(－1)≥0，∴－k＋1≥0，
∴k≤1，∴0若k<0，则g(1)≥0，∴k＋1≥0，∴k≥－1，
∴－1≤k<0．
∴k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．
[误区警示] 解答本题常常因为忽视f(x)的定义域而得到错误的单调区间．
易错警示
典例 4
利用导数求函数单调区间时忽视定义域致误
[点评] 在利用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间时，必须首先考虑函数的定义域，在定义域的范围之内解决问题．
课堂检测·固双基
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 ( )
A．(－∞，2) B．(0，3)
C．(1，4) D．(2，＋∞)
[解析] ∵f(x)＝(x－3)ex，
∴f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，
由f ′(x)>0得x>2，∴选D．
D
A
[解析] ∵f ′(x)在[a，b]上为增函数，∴f(x)在[a，b]上的切线斜率k随x的增大而增大，故选A．
[解析] 若函数f(x)有3个单调区间，
则f ′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，
故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2，
故选D．
D
C
素养作业·提技能