第五章 5.3 5.3.2 第1课时
请同学们认真完成练案[17]
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知函数y＝f(x)在定义域内可导，则函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
[解析] 根据导数的性质可知，若函数y＝f(x)在这点处取得极值，则f′(x)＝0，即必要性成立；反之不一定成立，如函数f(x)＝x3在R上是增函数，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但在x＝0处函数不是极值，即充分性不成立．
故函数y＝f(x)在某点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点处取得极值的必要不充分条件，故选B．
2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( C )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
[解析] f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．
3．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则( C )
A．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
B．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
C．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0
D．当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≤0
[解析] 由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值，故当x∈(－∞，1)时，f ′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)≥0．
4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( D )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
[解析] 由题意得f ′(x)＝3x2－12，由f ′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以a＝2．
5．已知函数f(x)＝x(x－c)2，在x＝2处取得极大值，则实数c的值是( D )
A． B．2
C．2或6 D．6
[解析] 函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c),
由f(x)在x＝2处有极大值，即有f ′(2)＝0，即(c－2)(c－6)＝0，
解得c＝2或6, 若c＝2时，f ′(x)＝0，可得x＝2或，
由f(x)在x＝2处导数左负右正，取得极小值，
若c＝6，f ′(x)＝0 ，可得x＝6或2 ，
由f(x)在x＝2处导数左正右负，取得极大值.
综上可得c＝6．
6．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是( D )
A．(0,3) B．(－∞，3)
C．(0，＋∞) D．(0，)
[解析] y′＝3x2－2a，因为函数在(0,1)内有极小值，
所以y′＝3x2－2a＝0在(0,1)内必有实数解，
记f(x)＝3x2－2a，如图
所以解得0
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为__c<__.
[解析] ∵f ′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，
∴f ′(x)＝0有不等的实数根，
即Δ＝1－4c>0，解得c<.
8．若x＝1是函数f(x)＝x3＋的一个极值点，则实数a＝__3__.
[解析] ∵函数f(x)＝x3＋，
∴f ′(x)＝3x2－，
∵x＝1是函数f(x)的一个极值点，
∴f ′(1)＝0，即3－a＝0，∴a＝3．故答案为3．
三、解答题
9．设函数f(x)＝2x3＋3x2＋ax＋b，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－12x＋1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)的极值．
[解析] (1)∵f(x)＝2x3＋3x2＋ax＋b，
∴f ′(x)＝6x2＋6x＋a，
曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝－12x＋1，
所以f(0)＝b＝1，f ′(0)＝a＝－12，
∴f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；
(2)由(1)得f ′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，
令f ′(x)＝0，x＝－2或x＝1，
f ′(x)＞0，x＜－2或x＞1，f ′(x)＜0，－2＜x＜1，
∴f(x)递增区间是(－∞，－2)，(1，＋∞)，递减区间是(－2,1)，
∴f(x)的极大值为f(－2)＝21，极小值为f(1)＝－6．
10．(2020·重庆渝东六校高二联考)设函数f(x)＝(x2＋3x＋1)ex.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)的极值．
[解析] (1)∵f ′(x)＝(2x＋3)ex＋(x2＋3x＋1)ex＝(x2＋5x＋4)ex＝(x＋1)(x＋4)ex，
∴当x∈(－∞，－4)∪(－1，＋∞)时，f ′(x)>0；
当x∈(－4，－1)时，f ′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－4)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(－4，－1)．
(2)由(1)可知f(x)在x＝－4处取得极大值，在x＝－1处取得极小值，∴f(x)的极大值为f(－4)＝5e－4＝，极小值为f(－1)＝－e－1＝－.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2020·河北省邯郸市期中)已知函数f(x)＝2ln x＋ax在x＝1处取得极值，则实数a＝( A )
A．－2 B．2
C．0 D．1
[解析] f ′(x)＝＋a，若f(x)在x＝1处取得极值，则f ′(1)＝2＋a＝0，解得a＝－2．
故f(x)＝2ln x－2x，f ′(x)＝－2，令f ′(x)>0，解得01，故f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，x＝1是极大值点，符合题意．故选A．
2．在等比数列{an}中，a3，a7是函数f(x)＝x3＋4x2＋9x－1的极值点，则a5＝( B )
A．－4 B．－3
C．3 D．4
[解析] 因为f(x)＝x3＋4x2＋9x－1，
所以由f ′(x)＝x2＋8x＋9＝0可知a3·a7＝9，a3＋a7＝－8，
因为等比数列中a＝a3·a7且a5<0，所以a5＝－3．
3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为( A )
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极小值为－，极大值为0
D．极大值为－，极小值为0
[解析] f′(x)＝3x2－2px－q，
由得
∴f′(x)＝3x2－4x＋1．
令f′(x)＝0得x＝或x＝1，
易得x＝时，f(x)有极大值，x＝1时，f(x)有极小值0．
4．(多选题)对于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列结论中正确的是( CD )
A．f(x)是增函数，无极值
B．f(x)是减函数，无极值
C．f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)
D．f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值
[解析] f ′(x)＝3x2－6x.令f ′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f ′(x)＝3x2－6x<0，得0二、填空题
5．已知f(x)＝x3－x2＋2x＋1，x1，x2是f(x)的两个极值点，且0[解析] f′(x)＝x2－ax＋2，
∴x1，x2是f′(x)＝0的两个根，
由0解得36．已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是__(0，)__.
[解析] 由题知，x>0，f ′(x)＝ln x＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f ′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝ln x＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x>0)，则a>0；设函数y＝ln x＋1上任一点(x0,1＋ln x0)处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝ x0＝1，令2a＝1 a＝，∴0三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在x＝－1处取得极大值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
[解析] (1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当a>0时，由f′(x)>0解得x<－或x>；
由f′(x)<0解得－∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，
(，＋∞)；f(x)的单调减区间为(－，)．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极大值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1．
∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1．
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3．
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19<－3，f(3)＝17>1，
结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．
8．(2021·保定二模)已知函数f(x)＝(a，b∈R且a≠0，e为自然对数的底数)．若曲线f(x)在点(e，f(e))处的切线斜率为0，且f(x)有极小值，求实数a的取值范围．
[解析] f(x)＝，(x＞0)，
∴f ′(x)＝，
由f ′(e)＝0，则b＝0，则f ′(x)＝，
当a＞0时，f ′(x)在(0，e)内大于0，在(e，＋∞)内小于0，
∴f(x)在(0，e)内为增函数，在(e，＋∞)为减函数，
∴f(x)有极大值无极小值；
当a＜0时，f(x)在(0，e)为减函数，在(e，＋∞)为增函数，
∴f(x)有极小值无极大值；
∴实数a的取值范围(－∞，0)．(共46张PPT)
第五章
一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第2课时 函数的最大(小)值
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 2．体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 1．通过图象感受极大值与最大值、极小值与最小值之间的联系与区别，并明确它们的关系．
2．通过二次函数与三次函数感受极值的特征与函数图象的关系，类比二次函数的极值与最值的关系，体会三次函数的极值与最值的关系，并理解单峰函数的极值与最值的关系．
3．体会导数在研究函数性质(单调性及与单调性有关的极值、最值)和图象中的工具性作用.
必备知识·探新知
1．基于极值概念的再认识
结合函数极值的定义，我们有如下结论：
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，并且函数的最值必在___________________处取得．
函数的最大值与最小值的再认识
知识点
极值点或区间端点
知识解读：上述结论包含以下两点．
(1)给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值．
常见的有以下几种情况：如图(1)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；如图(2)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；如图(3)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值又无最小值；如图(4)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．
2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的_______；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中_____________是最大值，_____________是最小值．
极值
最大的一个
最小的一个
知识解读：函数的极值与最值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．
(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．
(3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 求函数的最值
典例 1
C
[规律方法] 求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f ′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．
特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
A
A
[解析] (1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f ′(x)＝3x2－6x－9，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝3，
由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；
f(3)＝－21；f(4)＝－14；
所以函数y＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4，4]上的最大值为11．
设函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋m(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
(3)若对任意的a∈[3，6]，不等式f(x)≤1在x∈[－2，2]上恒成立，求m的取值范围．
题型二 含参数的函数最值问题
典例 2
[分析] (1)求f(x)的单调区间，可解不等式f ′(x)≥0，f ′(x)≤0，由于f(x)表达式中含参数，故需注意是否需要分类讨论；(2)f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点的含义是f ′(x)＝0在[－1，1]内没有实数根，故f(x)在[－1，1]内单调；(3)f(x)≤1在[－2，2]内恒成立，则f(x)在[－2，2]内的最大值小于等于1．
故f(x)的最大值为f(2)或f(－2)．
而f(2)－f(－2)＝16－4a2<0，f(x)max＝f(－2)＝－8＋4a＋2a2＋m，
又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立，
∴－8＋4a＋2a2＋m≤1，
即m≤9－4a－2a2，在a∈[3，6]上恒成立，
∵9－4a－2a2的最小值为－87，∴m≤－87．
[规律方法] 1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
【对点训练】 已知函数g(x)＝ex－2ax－b，求g(x)在[0，1]上的最小值．
设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求函数f(x)的最小值h(t)；
(2)在(1)的条件下，若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围．
[分析] 第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值；第(2)小题由h(t)<－2t＋m，得h(t)＋2t题型三 函数最值的综合应用
典例 3
[解析] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴当x＝－t时，f(x)的最小值为f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1．
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t)＝－t3＋3t－1，
由g ′(t)＝－3t2＋3＝0及t>0，得t＝1，
当t变化时，g ′(t)，g(t)的变化情况如下表：
t (0，1) 1 (1，2)
g ′(t) ＋ 0 －
g(t) ↗ 极大值 ↘
由上表可知当t＝1时，g(t)有极大值g(1)＝1，
又在定义域(0，2)内，g(t)有唯一的极值点，
∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0，2)内的最大值g(t)max＝1．
h(t)<－2t＋m在(0，2)内恒成立，
即g(t)当且仅当g(t)max＝11时上式成立，
∴实数m的取值范围是(1，＋∞)．
[规律方法] 将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易．
一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x)]max；若不等式a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是a≤[f(x)]min.
【对点训练】 (2021·石家庄高二检测)已知函数f(x)＝(x－1)3＋m.
(1)若f(1)＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若关于x的不等式f(x)≥x3－1在区间[1，2]上恒成立，求m的取值范围．
[解析] (1)因为f(1)＝1，所以m＝1，
则f(x)＝(x－1)3＋1＝x3－3x2＋3x，
而f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
易错警示
典例 4
没有准确把握条件致误
[误区警示] (1)正确；(2)中错误地认为直线l与曲线C相切，则C上所有点都在直线l的同侧，从而导致解答错误．错因是受直线与二次曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数的几何意义所致．
当0当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g ′(x)>0，故g(x)单调递增．
所以，g(x)>g(1)＝0( x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线l的下方．
[点评] 由直线与曲线相切的定义知，直线l与曲线C相切于某点P是一个局部定义，当l与C切于点P时，不能保证l与C无其他公共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他交点．
课堂检测·固双基
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最大值和最小值分别是
( )
A．5，15 B．5，－4
C．5，－16 D．5，－15
[解析] 由y＝2x3－3x2－12x＋5得y ′＝6x2－6x－12，令y ′＝0得x＝－1(舍去)或x＝2．
故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0，3]上的最值可能是x取0，2，3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15．
D
2．(2021·和平高二检测)函数f(x)＝eln x－x在(0，2e]上的最大值为
( )
A．1－e B．－1
C．－e D．0
D
3．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为 ( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
[解析] 因为f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
由f ′(x)＝0得x＝0或2．
又f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，
所以m＝3，最小值为f(－2)＝－37．
A
4．若函数f(x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x) ( )
A．最大值为4，最小值为－4
B．最大值为4，无最小值
C．最小值为－4，无最大值
D．既无最大值，也无最小值
[解析] f ′(x)＝－4x3＋4x，由f ′(x)＝0得x＝±1或x＝0．
易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B．
B
5．已知函数f(x)＝sin x－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值为－1，则实数a的值是____.
[解析] 由f(x)＝sin x－2x－a，
得f ′(x)＝cos x－2<0，
所以函数f(x)在[0，π]上单调递减，
所以f(x)的最大值是f(0)＝－a＝－1，故a＝1．
1
素养作业·提技能(共55张PPT)
第五章
一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第1课时 函数的极值
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．借助教材实例了解函数的极值及相关的概念．(数学抽象) 2．能利用导数求某些函数极值．(数学运算) 1．极值的概念可以通过图象来直观感知，明确极值点附近导数的符号特征，通过导函数方程的解进一步了解极值与单调区间的关系．
2．通过二次函数与三次函数感受极值的特征与函数图象的关系.
必备知识·探新知
极小值、极大值的概念
知识点1
极小值 极大值
定义 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_____________，右侧_____________，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0；右侧_____________，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值
f ′(x)<0
f ′(x)>0
f ′(x)<0
知识解读：1．理解极值概念的注意点
(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．
(2)极值点是函数定义域上的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．
(3)若f(x)在[a，b]上有极值，那么f(x)在[a，b]上绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值．
(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大．
(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值且函数图象连续，则它的极值点的分布是有规律的(如图所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．
2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件
(1)必要条件：可导函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要条件是f ′(x0)＝0．
(2)充分条件：可导函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的充分条件是f ′(x)在x＝x0附近两侧异号．
一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤是：
(1)求出函数的定义域及导数f ′(x)；
(2)解方程f ′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；
(3)用方程f ′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f ′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；
函数极值的求解步骤
知识点2
(4)由f ′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f ′(x)＝0的各个根处的极值情况：
①如果在x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，那么f(x0)是_________；
②如果在x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，那么f(x0)是_________.
极大值
极小值
知识解读：制成的表格及相关结论如下：
由表格可清晰地看出极值的分布情况，对于初学者是首选，后期对求导比较熟练时也可以省去列表格．
x xx0
f ′(x) ＋ 0 －
f(x) 单调递增↗ 极大值f(x0) 单调递减↘
x xx0
f ′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减↘ 极小值f(x0) 单调递增↗
关键能力·攻重难
(1)(多选题)下列说法正确的是 ( )
A．若f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为f(x)的极小值，若f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)的极大值
B．若f(x0)为f(x)的极大值，f(a)是函数的最大值，则f(x0)＝f(a)
C．可导函数极值点的导数值为0，但导数值为0的点可能不是函数的极值点
D．极值点一定出现在定义区间的内部
E．若f(x)在区间(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不是单调函数
题型探究
题型一 极值点的概念与判断
典例 1
CDE
①④
[规律方法] 有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
【对点训练】 (1)下列说法正确的是 ( )
A．若f ′(x0)＝0，则f(x0)是函数f(x)的极值
B．若f(x0)是函数f(x)的极值，则f(x)在x0处有导数
C．函数f(x)至多有一个极大值和一个极小值
D．定义在R上的可导函数f(x)，若方程f ′(0)＝0无实数解，则f(x)无极值
D
(2)(2021·北京八中高二检测)如图所示是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象，给出下列结论：
①－2是函数f(x)的极值点；
②1是函数f(x)的极值点；
③f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；
④f(x)在区间(－2，2)上单调递增．
其中正确结论的序号是_______.(写出所有正确命题的序号)
①④
[解析] (1)若f ′(x0)＝0，则f(x0)是函数f(x)的极值，不正确，反例y＝x3中，f ′(0)＝0，但是x＝0不是函数的极值点，故A不正确；对于B，例如f(0)＝0是f(x)＝|x|的极小值，但f(x)＝|x|在x＝0处不可导，所以错误；对于C，函数f(x)可有多个极大值和极小值，所以错误．对于D，根据可导函数判断是否存在极值的条件，可得若方程f ′(x)＝0无实数解，则定义在R上的函数f(x)无极值，所以正确．
(2)对于①，当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(－2，1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，－2是函数的极小值点，①正确；对于②，当x∈(－2，1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，故1不是函数f(x)的极值点，②错误；对于③，由题中图象可知f ′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零，③错误；对于④，由题中图象可知当x∈(－2，2)时，f ′(x)>0，函数单调递增，④正确，故正确的序号是①④.
求函数y＝3x3－x＋1的极值．
[分析] 首先对函数求导，然后求方程y ′＝0的根，再检查y ′在方程根左、右两侧的值的符号．如果左正右负，那么y在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么y在这个根处取得极小值．
题型二 利用导数求函数的极值
典例 2
[规律方法] 利用导数求函数极值的步骤：
(1)确定函数的定义域．
(2)求导数f ′(x)．
(3)解方程f ′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程f ′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号．
(5)确定函数的极值，如果f ′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值．
【对点训练】 求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－12x；
(2)f(x)＝x2e－x.
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R.
f ′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f ′(x)＝0，得x＝－2或x＝2．
当x变化时，f ′(x)，f(x)变化情况如下表：
从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值16．
当x＝2时，函数有极小值－16．
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 f(－2)＝16 ↘ 极小值 f(2)＝－16 ↗
(2)函数的定义域为R.
f ′(x)＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2．
当x变化时，f ′(x)，f(x)变化情况如下表：
x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) ↘ 极小值0 ↗ 极大值4e－2 ↘
(1)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0，1)内有极小值，则实数b的取值范围是__________.
(2)函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则m的取值范围是_______________.
题型三 区间极值求参
典例 3
[规律方法] 解决与极值相关的参数范围问题的关键是根据极值条件列出不等式(组)．
B
(－∞，－3)∪(6，＋∞)
已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．
[分析] 本题的关键是理解“f(x)在x＝±1处的极大值为4，极小值为0”的含义．即x＝±1是方程f ′(x)＝0的两个根且在根x＝±1处f ′(x)取值左、右异号．
题型四 与极值相关的综合问题
典例 4
[解析] f ′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．
由题意，f ′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f ′(x)＝5ax2(x2－1)
(1)当a＞0时，x变化时，y、y ′的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞)
y ′ ＋ 0 － 0 － 0 ＋
y ↗ 极大值 ↘ 无极值 ↘ 极小值 ↗
[规律方法] 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
已知函数f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2处取得极值，且极值为0，求m＋4n的值．
[误区警示] 可导函数的极值点一定是导数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号．
易错警示
典例 5
忽视极值存在的条件致误
当m＝2，n＝9时，f ′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，当－6－2时f ′(x)>0，
故f(x)在x＝－2处取得极值，符合题意．
综上所述，m＝2，n＝9，所以m＋4n＝38．
[点评] 由于“f ′(x0)＝0”是“f(x0)为极值”的必要不充分条件，因此由f ′(x0)＝0求得m，n的值后，要验证在x＝x0左、右两侧导数值的符号是否相反，才能确定是否真正在点x0处取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致错解．
课堂检测·固双基
1．(2021·武汉高二检测)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f ′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由图象可知，满足f ′(x)＝0且导函数函数值左负右正的只有一个，故f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个．
A
2．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x.在x＝0处取得极小值的函数是 ( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①③
[解析] ①y＝x3在R上单调递增，无极值；
②y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故②正确；
③y＝|x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故③正确；
④y＝2x在R上单调递增，故④不正确．∴选B．
B
C
4．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间(－2，1)内f(x)是增函数；
②在区间(1，3)内f(x)是减函数；
③x＝2时，f(x)取到极大值；
④在x＝3时，f(x)取到极小值．
其中正确的是_____(将你认为正确的序号填在横线上)．
③
5．已知函数f(x)＝aex－ln x－1，设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间．
素养作业·提技能第五章 5.3 5.3.2 第2课时
请同学们认真完成练案[18]
A 组·素养自测
一、选择题
1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( A )
A．12；－8 B．1；－8
C．12；－15 D．5；－16
[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0 x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1；x＝－1时y＝12；x＝1时y＝－8．
∴ymax＝12，ymin＝－8．故选A．
2．使函数f(x)＝x＋2cos x在[0，]上取最大值的x是( B )
A．0 B．
C． D．
[解析] ∵f ′(x)＝1－2sin x＝0，x∈[0，]时，sin x＝，x＝，
∴当x∈[0，)时，f ′(x)>0，f(x)是增函数．
当x∈(，]时，f ′(x)<0，f(x)是减函数，
即x＝，f(x)取最大值，故选B．
3．函数y＝xe－x，x∈[0,4]的最大值是( B )
A．0 B．
C． D．
[解析] y′＝e－x－x·e－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，
∴x＝1．∵f(0)＝0，f(4)＝，f(1)＝e－1＝，
∴f(1)为最大值．故选B．
4．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f′(x)的零点个数为( C )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
[解析] 由题意，f ′(x)＝(x2＋a＋2x)·ex.
因为函数f(x)有最小值且ex>0，
所以函数存在单调递减区间，
即f′(x)<0有解．
所以x2＋2x＋a＝0有两个不等实根，
所以函数y＝f′(x)的零点个数为2，
故选C．
5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( B )
A．0≤a<1 B．0C．－1[解析] ∵f ′(x)＝3x2－3a，令f ′(x)＝0，可得a＝x2．
又∵x∈(0,1)，∴06．(2020·鄂伦春自治旗二模)若函数f(x)＝在(－2，a)上有最小值，则a的取值范围为( A )
A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
[解析] f ′(x)＝，
令f ′(x)＞0，解得：x＞－1，
令f ′(x)＜0，解得：x＜－1，
故f(x)在(－2，－1)递减，在(－1，＋∞)递增，
若f(x)在(－2，a)有最小值，
则a＞－1，故选A．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝__32__.
[解析] 令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，
列表得：
x －3 (－3，－2) －2 (－2,2) 2 (2,3) 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 17 ↗ 极大值24 ↘ 极小值－8 ↗ －1
可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32．
故答案为32．
8．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是__(－4，－2)__.
[解析] f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝.
由题设得－2<<－1，故m∈(－4，－2)．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16．
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解析] (1)∵f(x)＝ax3＋bx＋c，∴f′(x)＝3ax2＋b，
∵f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
∴
即
化简得
解得
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12，
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2，
当x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上为增函数，
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，f(x)在(－2,2)上为减函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16，由题设条件知16＋c＝28得c＝12，
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，
因此f(x)在[－3,3]的最小值为f(2)＝－4．
10．已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f ′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
[解析] (1)∵f ′(x)＝3ax2＋2x＋b，
∴g(x)＝f(x)＋f ′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，从而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0．
因此f(x)的表达式为f(x)＝－x3＋x2．
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，∴g′(x)＝－x2＋2，
令g′(x)＝0，
解得x1＝－(舍去)，x2＝，
而g(1)＝，g()＝，g(2)＝，
因此g(x)在区间[1,2]上的最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2020·梧州一模)设函数f(x)＝－x3＋3bx，当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，则b的值是( C )
A． B．
C． D．
[解析] ∵函数f(x)＝－x3＋3bx(b＞0)，
∴f ′(x)＝－3x2＋3b，
令f ′(x)＝0，当b＞0时，可得x＝±，
x∈(－∞，－)，x∈(，＋∞)，f ′(x)＜0，函数是减函数，则函数的极大值：f()＝2b，
当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，
可知≤1时，f()＝2b，解得b＝，
当b≥1时，f(1)＝－1＋3b＝1，无解．
当b≤0时，x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，不成立；
∴函数f(x)＝－x3＋3bx，当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[0,1]，则b的值是，
故选C．
2．(2020·新课标卷Ⅱ)设函数f(x)＝x3－，则( A )
A．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减
[解析] 因为函数f(x)＝x3－定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
又因为函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增，
而y＝＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减，
所以函数f(x)＝x3－在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递增．
故选A．
3．(多选题)已知函数f(x)＝ex＋e－x，下列结论正确的是( AC )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)的最大值为2
C．当f(x)取到最小值时，对应的x＝0
D．f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减
[解析] ∵函数f(x)＝ex＋e－x，x∈R，
∴f(－x)＝e－x＋ex＝f(x)，∴函数f(x)是R上的偶函数，故A正确，
∵f ′(x)＝ex－e－x＝ex－＝，
令f ′(x)＝0得，ex＝1，x＝0，
∴当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＞0，函数f(x)单调递增，
且f(0)＝2，画出函数f(x)的大致图象，
如图所示：
∴函数f(x)的最小值为2，故B错误，C正确，D错误，
故选AC．
4．(2021·潍坊高二检测)设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)( D )
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
[解析] ∵函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，
∴[x2f(x)]′＝，
令F(x)＝x2f(x)，则F′(x)＝，
F(2)＝4·f(2)＝.
由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得f′(x)＝，
令φ(x)＝ex－2F(x)，则φ′(x)＝ex－2F′(x)＝.
∴φ(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)的最小值为φ(2)＝e2－2F(2)＝0．∴φ(x)≥0．
又x＞0，∴f′(x)≥0．
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴f(x)既无极大值也无极小值．故选D．
二、填空题
5．若F(x)＝x－2ln x＋2a，则F(x)在(0，＋∞)上的最小值是__2－2ln_2＋2a__.
[解析] 令F′(x)＝1－＝＝0得x＝2．
当x∈(0,2)时f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，
∴当x＝2时F(x)min＝F(2)＝2－2ln 2＋2a.
6．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__[e，＋∞)__.
[解析] f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.
令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，则g′(x)＝2x(1－2ln x)．
由g′(x)＝0得x＝e，
且00；当x>e时g′(x)<0，
∴x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝ln x＋.
(1)当a<0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值．
[解析] 函数f(x)＝ln x＋的定义域为(0，＋∞)，
f ′(x)＝－＝，
(1)∵a<0，∴f ′(x)>0，
故函数在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)x∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a<1时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)＝a<1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
②当a＝1时，函数f(x)在[1，e]上单调递增，其最小值为f(1)＝1，同样与最小值是相矛盾；
③当10，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝.
④当a＝e时，函数f(x)在[1，e]上有f ′(x)<0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)＝2，这与最小值是相矛盾；
⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1，e]上单调递减，其最小值为f(e)＝1＋>2，仍与最小值是相矛盾；
综上所述，a的值为.
8．(2020·新课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
[解析] (1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f ′(x)＝ex－1，
令f ′(x)<0，解得x<0，令f ′(x)>0，解得x>0，
所以f(x)的减区间为(－∞，0)，增区间为(0，＋∞)；
(2)若f(x)有两个零点，即ex－a(x＋2)＝0有两个解，
从方程可知，x＝－2不成立，即a＝有两个解，
令h(x)＝(x≠－2)，则有h′(x)＝＝，
令h′(x)>0，解得x>－1，令h′(x)<0，解得x<－2或－2所以函数h(x)在(－∞，－2)和(－2，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，
且当x<－2时，h(x)<0，
而x→－2＋时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，
所以当a＝有两个解时，有a>h(－1)＝，
所以满足条件的a的取值范围是(，＋∞)．