(共36张PPT)
第四章
数 列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第2课时 等差数列的性质及应用
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
能熟练掌握等差数列的性质，并能利用等差数列的性质解决相关问题. 在学习等差数列的性质时，要类比一次函数的性质归纳出等差数列的性质，特别是中心对称性.
必备知识·探新知
(1)两项关系
an＝am＋(_______)d(m，n∈N*)．
(2)多项关系
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)
则an＋am＝_________.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝______.
等差数列中的项与序号的关系
知识点1
n－m
ap＋aq
2ap
等差数列的项的对称性
知识点2
an－1
an－k＋1
(1)若{an}是公差为d的等差数列，则下列数列：
①{c＋an}(c为任一常数)是公差为____的等差数列；
②{c·an}(c为任一常数)是公差为_____的等差数列；
③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为_____的等差数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为___________的等差数列．
等差数列的性质
知识点3
d
cd
2d
pd1＋qd2
由等差数列和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d的影响．
(1)当d>0时，数列为递增数列，图象如图1所示；
(2)当d<0时，数列为递
减数列，图象如图2所示；
(3)当d＝0时，数列为
常数列，图象如图3所示．
等差数列的单调性
知识点4
知识解读：通过对比等差数列和一次函数的异同，可以看出等差数列的性质实质上是一次函数性质的直接反映，因此研究等差数列的性质，可以回归到对一次函数性质的研究，一次函数最重要的性质是单调性和中心对称性(直线上的点都是对称中心)．
关键能力·攻重难
若{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75．
题型探究
题型一 等差数列通项公式的推广an＝am＋(n－m)d的应用
典例 1
【对点训练】 等差数列{an}中，a2＝3，a8＝6，则a10＝____.
7
(1)(2021·天津宝坻区高二月考)在等差数列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，则a13＝ ( )
A．9 B．12 C．15 D．18
(2)(2021·塘沽高二检测)设数列{an}，{bn}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝_____.
(3)(2020·湖北武汉高三月考)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，则a2＋a8＝ ( )
A．150 B．160 C．200 D．300
题型二 用性质am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解题
典例 2
A
35
D
[分析] (1)根据等差数列的性质得出2a9＝a5＋a13，然后将值代入即可求出结果．
(2)方法一：求a5＋b5 各设出公差 利用通项公式；
方法二：求a5＋b5 {an}，{bn}都是等差数列 {an＋bn}也构成等差数列．
(3)求a2＋a8的值 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5 a5 a2＋a8＝2a5．
[解析] (1)∵{an}是等差数列，∴2a9＝a5＋a13，
故a13＝2×6－3＝9．
(2)方法一：设数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，因为a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，
所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35．
方法二：因为数列{an}，{bn}都是等差数列．
所以数列{an＋bn}也构成等差数列，
所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，
所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35．
(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，
∴5a5＝750，
∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300．
方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，
∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750，
∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300．
[规律方法] 等差数列运算的两条常用思路
(1)根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性质巧解，观察等差数列中的项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
特别提醒：递增等差数列d>0，递减等差数列d<0，解题时要注意数列的单调性对d取值的限制．
【对点训练】 (1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，则a3＋a6＋a9的值为 ( )
A．30 B．27
C．24 D．21
(2)已知等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝_____.
A
24
[解析] (1)(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝2(a2＋a5＋a8)，
即58＋(a3＋a6＋a9)＝88，
所以a3＋a6＋a9＝30．
(2)方法一：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴5a8＝120，
∴a8＝24，∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝24．
方法二：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴a1＋3(a1＋7d)＋(a1＋14d)＝120，
∴a1＋7d＝24，∴2a9－a10＝a1＋7d＝24．
成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数．
[分析] 已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更简单．再通过联立方程组求解．
题型三 等差数列中的对称设项
典例 3
[规律方法] 三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下：
(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．
【对点训练】 (2021·龙岩高二检测)设三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为12，三个数的积为48，求这三个数．
(2020·宁夏银川高二期末)已知数列{an}是无穷数列，则“2a2＝a1＋a3”是“数列{an}为等差数列”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[错解] C．
易错警示
典例 4
对等差数列的定义理解不透彻而致误
B
[误区警示] 应用定义法判断或证明一个数列是等差数列时，必须要判定或证明an＋1－an或an－an－1(n≥2)等于一个常数，不能只对数列的部分项进行说明，对部分项说明不能保证数列中的每一项都满足等差的要求．
[正解] B．
课堂检测·固双基
1．等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a101＝0，则a1＋a101＝____.
0
2．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则a4＋a10＝____.
[解析] a3＋a5＝2a4，a7＋a10＋a13＝3a10，
∴3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝6(a4＋a10)＝24，
∴a4＋a10＝4．
3．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝_____.
[解析] 设公差为d，因为a5＝a2＋6，a5－a2＝3d＝6，所以a6＝a3＋3d＝7＋6＝13．
4
13
4．数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝15，b1＝35，a2＋b2＝70，则a3＋b3＝_____.
[解析] 因为数列{an}，{bn}都是等差数列，所以{an＋bn}也构成了等差数列，所以(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a3＋b3)－(a2＋b2)，所以a3＋b3＝90．
90
5．已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．
素养作业·提技能第四章 4.2 4.2.1 第2课时
请同学们认真完成练案[4]
A 组·素养自测
一、选择题
1．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝( D )
A．64 B．30
C．31 D．15
[解析] 解法一：∵，∴，
∴，∴a11＝a1＋10d＝15．
解法二：∵a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15．
2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝( C )
A．14 B．21
C．28 D．35
[解析] ∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28．
3．等差数列{an}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程：x2＋(a4＋a6)x＋10＝0( A )
A．无实根 B．有两个相等实根
C．有两个不等实根 D．不能确定有无实根
[解析] 由于a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，而3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，Δ＝62－4×10<0，无实数解．故选A．
4．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于( B )
A．120 B．105
C．90 D．75
[解析] ∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5，
又∵a1a2a3＝80，∴a1a3＝16，即(a2－d)(a2＋d)＝16，
∵d>0，∴d＝3．
则a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a2＋10d)＝105．
5．《九章算术》一书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为( C )
A．13 B．14
C．15 D．16
[解析] 由题意可知，每日所织数量构成等差数列{an}，且a2＋a5＋a8＝15，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝28，设公差为d，由a2＋a5＋a8＝15，得3a5＝15，所以a5＝5，由a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝28，得a4＝4，则d＝a5－a4＝1，所以a15＝a5＋10d＝5＋10×1＝15．
6．(多选题)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有( ACD )
A．{an＋an＋1} B．{a}
C．{an＋1－an} D．{2an}
[解析] 设等差数列{an}的公差为d.对于A，(an＋an＋1)－(an－1＋an)＝(an－an－1)＋(an＋1－an)＝2d(n≥2)，
所以{an＋an＋1}是以2d为公差的等差数列．同理可验证{an＋1－an}，{2an}也是等差数列．
二、填空题
7．若lg 2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x＝__log25__.
[解析] 由题意得2lg(2x－1)＝lg 2＋lg(2x＋3)，
所以(2x－1)2＝2·(2x＋3)，即(2x－5)(2x＋1)＝0，
所以2x＝5，即x＝log25．
8．等差数列{an}是递增数列，若a2＋a4＝16，a1·a5＝28，则通项an＝__3n－1__.
[解析] 设公差为d，
∵a2＋a4＝a1＋a5＝16，
∴由，解得或.
∵等差数列{an}是递增数列，
∴a1＝2，a5＝14．
∴d＝＝＝3，
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1．
三、解答题
9．(2021·太原高二检测)在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝－12，且a1·a3·a5＝80，求通项an.
[解析] 因为a1＋a5＝2a3，所以
解得a1＝－10，a5＝2或a1＝2，a5＝－10，因为d＝，所以d＝3或－3，
所以an＝－10＋3(n－1)＝3n－13，
或an＝2－3(n－1)＝－3n＋5．
10．已知数列{an}，an＝2n－1，bn＝a2n－1．
(1)求{bn}的通项公式；
(2)数列{bn}是否为等差数列？说明理由．
[解析] (1)∵an＝2n－1，bn＝a2n－1，
∴bn＝a2n－1＝2(2n－1)－1＝4n－3．
(2)由bn＝4n－3，知bn－1＝4(n－1)－3＝4n－7(n≥2)，
∵bn－bn－1＝(4n－3)－(4n－7)＝4(n≥2)，
∴{bn}是首项b1＝1，公差为4的等差数列．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知数列是等差数列，且a3＝2，a9＝12，则a15＝( B )
A．10 B．30
C．40 D．20
[解析] 解法一：设数列的公差为d.
∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝－＝－＝，
∴d＝，＝＋12d＝2．故a15＝30．
解法二：由于数列{}是等差数列，故2×＝＋，
即＝2×－＝2，故a15＝30．
2．在等差数列{an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则a9－a11的值为( C )
A．14 B．15
C．16 D．17
[解析] 由题意，得5a8＝120，∴a8＝24，∴a9－a11＝(a8＋d)－(a8＋3d)＝a8＝16．
3．(2021·重庆一中月考)现有一古题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”大致意思是：“现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，问中间三尺共重多少斤．”若从头到尾，该金箠每一尺的重量构成等差数列，则该问题的答案为( D )
A．6斤 B．7斤
C．8斤 D．9斤
[解析] 设每一尺的重量构成等差数列{an}，由题意知，a1＝4，a5＝2，∴2a3＝a1＋a5＝6，即a3＝3，∴a2＋a3＋a4＝3a3＝9．
4．设{an}是等差数列．下列结论中正确的是( C )
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
[解析] 先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，则a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；下面针对C进行研究，{an}是等差数列，若0
0，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，由于a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a＋2a1d＋d2－a－2a1d＝d2>0，则a>a1a3 a2>，选C．
二、填空题
5．已知各项都为正数的等差数列{an}中，a5＝3，则a3a7的最大值为__9__.
[解析] 依题意，等差数列{an}各项都为正数，所以a3>0，a7>0，所以a3a7≤2＝a＝9．当且仅当a3＝a7＝3时等号成立．
6．(2020·江苏常州高三月考)数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1,2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为__－__.
[解析] ∵a4＋λa10＋a16＝15，∴(λ＋2)a10＝15，
∴(λ＋2)(a1＋9d)＝15．
又a1＝1，∴λ＋2＋9(λ＋2)d＝15，∴λ＝－2．
∵d∈[2,1]，∴令t＝1＋9d，t∈[10,19]，因此λ＝f(t)＝－2，
当t∈[10,19]，函数f(t)是减函数，故当t＝10时，实数λ有最大值，最大值为f(10)＝－.
三、解答题
7．设数列{an}是等差数列，bn＝()an又b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求通项an.
[解析] ∵b1b2b3＝，又bn＝()an，∴()a1·()a2·()a3＝.
∴()a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3，
又{an}成等差数列∴a2＝1，a1＋a3＝2，
∴b1b3＝，b1＋b3＝，
∴或，即或，
∴an＝2n－3或an＝－2n＋5．
8．(2021·浙江高二月考)已知{an}是一个等差数列，公差d>0，且满足a3a6＝55，a2＋a7＝16．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：b1＝a1且bn＝an＋bn－1(n≥2，且n∈N*)，求数列{bn}的通项公式．
[解析] (1)由题意得
∵公差d>0，∴∴d＝2，a1＝1，∴an＝2n－1．
(2)∵bn＝an＋bn－1(n≥2，且n∈N*)，
∴bn－bn－1＝an＝2n－1(n≥2，且n∈N*)．
∵bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1(n≥2，且n∈N*)，
且b1＝a1＝1，
∴bn＝2n－1＋2n－3＋…＋3＋1＝n2(n≥2，且n∈N*)．
又b1＝1符合上式，∴bn＝n2(n∈N*)．第四章 4.2 4.2.1 第1课时
请同学们认真完成练案[3]
A 组·素养自测
一、选择题
1．如果2，a，b，c,10成等差数列，那么c－a＝( C )
A．1 B．2
C．4 D．8
[解析] 设等差数列的公差为d，则10－2＝4d，解得d＝2，所以c－a＝2d＝4，故选C．
2．等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第____________项( B )
A．60 B．61
C．62 D．63
[解析] 设公差为d，由题意，得，
解得.
∴an＝a1＋(n－1)d＝21＋3(n－1)＝3n＋18．
令201＝3n＋18，∴n＝61．
3．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝( C )
A．11 B．12
C．13 D．14
[解析] 设公差为d，由题意，得，
解得.∴a6＝a1＋5d＝3＋10＝13．
4．等差数列{an}中，a2＝4，a5＝10，则数列{an}的公差为( B )
A．1 B．2
C． D．
[解析] 设公差为d，由题意，得
，解得.
5．已知数列{an}为等差数列，且a1＝2，a2＋a3＝13，则a4＋a5＋a6等于( B )
A．40 B．42
C．43 D．45
[解析] 设公差为d，则a2＋a3＝a1＋d＋a1＋2d＝2a1＋3d＝4＋3d＝13，解得d＝3，所以a4＋a5＋a6＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＋(a1＋5d)＝3a1＋12d＝42．
6．设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系是( C )
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝－b或a＝3b D．a＝b＝0
[解析] 由等差中项的定义知：x＝，x2＝，
∴＝()2，即a2－2ab－3b2＝0．
故a＝－b或a＝3b.
二、填空题
7．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，则an＝__－2n＋3__.
[解析] 设公差为d，由题意，得
a3＝a1＋2d，∴－3＝1＋2d，∴d＝－2．
∴an＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)＝－2n＋3．
8．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为____升．
[解析] 设此等差数列为{an}，公差为d，则，
∴，解得.
∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
三、解答题
9．三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
[解析] 设这三个数分别为a－d，a，a＋d，
则3a＝9，∴a＝3．
∴这三个数分别为3－d,3,3＋d.
由题意，得3(3－d)＝6(3＋d)，∴d＝－1．
∴这三个数分别为4,3,2．
10．已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．
[解析] 因为2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5．设等差数列a，b，c的公差为d，则a＝5－d，c＝5＋d.由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：
2lg 4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．
从而16＝(6－d)(4＋d)，即d2－2d－8＝0．
所以d＝4或d＝－2．
所以a，b，c三个数分别为1,5,9或7,5,3．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列命题中正确的个数是( BCD )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c可能成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则ka＋2，kb＋2，kc＋2一定成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
[解析] 对于A，令a＝1，b＝2，c＝3，则a2＝1，b2＝4，c2＝9，A错；对于B，取a＝b＝c 2a＝2b＝2c，B正确，对于C，因为a，b，c成等差，所以a＋c＝2b，所以(ka＋2)＋(kc＋2)＝k(a＋c)＋4＝2(kb＋2)，C正确．对于D，取a＝b＝c≠0，则＝＝，D正确．
2．已知{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝( C )
A．2 B．
C．1 D．
[解析] 因为{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，所以a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1．
3．等差数列的首项为，且从第10项开始为比1大的项，则公差d的取值范围是( D )
A．d> B．d<
C．[解析] 由题意，∴，∴4．在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 解法一：设数列的公差为d，则－＝4d，代入数据可得d＝.
因此＝＋2d＝.故a4＝，选A．
解法二：由等差中项的性质可知，2·＝＋，解得a4＝.故选A．
二、填空题
5．等差数列{an}，首项为33，公差为整数，若前7项均为正数，第7项以后各项都为负数，则数列的通项公式为__an＝38－5n__.
[解析] 由题意可得即，
解得－∴an＝33＋(n－1)×(－5)＝38－5n.
6．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为__an＝2n－1__.
[解析] 由an－1＋an＋1＝2an，得an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．
∴数列{an}是等差数列．
又a1＝1，a2＝3，∴d＝2，an＝a1＋(n－1)d＝2n－1．
三、解答题
7．已知数列{an}满足a1＝1，＝，an>0，求an.
[解析] 因为＝，
所以＝2＋，－＝2．
所以数列是以＝1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1．
又an>0，所以an＝(n∈N＋)．
8．已知f(x)＝，在数列{xn}中，x1＝，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，试说明数列是等差数列，并求x95的值．
[解析] 因为当n≥2时，xn＝f(xn－1)，
所以xn＝(n≥2)，即xnxn－1＋2xn＝2xn－1(n≥2)，
得＝1(n≥2)，即－＝(n≥2)．
又＝3，所以数列是以3为首项，为公差的等差数列，所以＝3＋(n－1)×＝，
所以xn＝，所以x95＝＝.(共48张PPT)
第四章
数 列
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象) 2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关问题. 1．通过生活中的实例，找到数量关系，并发现其数字规律，归纳出等差数列的概念．
2．通过项与项之间的关系，明确等差数列“等差”的含义，找到基本量．
3．通过等差数列的直观表示，探求等差数列与一次函数的关系.
必备知识·探新知
一般地，如果一个数列__________起，每一项与_____________的差都等于_____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_______，公差通常用字母d表示．
等差数列的定义
知识点1
从第2项
它的前一项
同一个常数
公差
知识解读：对等差数列定义的理解
(1)“从第2项起”因为首项没有“前一项”；
(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件．
(3)求公差d时，可以用d＝an－an－1来求，也可以用d＝an＋1－an来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用d＝an－an－1求公差时，要求n≥2，n∈N*.
等差中项
知识点2
知识解读：在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1 (n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项．
反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N*均成立，则数列{an}是等差数列．
因此，数列{an}是等差数列 2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此结论可判断所给数列是否为等差数列，称为等差中项法．
等差数列与一次函数的关系
知识点3
递推公式 通项公式
____________＝d(n∈N*) an＝______________(n∈N*)
an＋1－an
a1＋(n－1)d
知识解读：对于等差数列的通项公式要注意以下两点：
(1)由等差数列的通项公式可知，等差数列中的任一项均可用首项和公差表示出来，因此，要确定等差数列的通项公式，只需确定该数列的首项和公差即可，因此我们把等差数列的首项和公差称为等差数列的基本量．
(2)等差数列的通项公式中涉及an，a1，d，n四个量，知道其中三个量可以求出第四个量．
由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
等差数列的通项公式
知识点4
知识解读：理解等差数列与一次函数的关系要注意以下两点：
(1)等差数列与一次函数的异同点
等差数列 一次函数
解析式 an＝kn＋b(k≠0，n∈N*) f(x)＝kx＋b(k≠0)
不同点 定义域为N*，图象是一系列孤立的点(在直线f(x)＝kx＋b上) 定义域为R，图象是一条直线
相同点 等差数列通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式，等差数列的图象是相应的一次函数图象上的一系列孤立的点
关键能力·攻重难
(1)(2021·吉林长春高二检测)2 020是等差数列4，6，8，…的 ( )
A．第1 008项 B．第1 009项
C．第1 010项 D．第1 011项
(2)已知等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式及第20项．
题型探究
题型一 等差数列的通项公式
典例 1
B
[分析] (1)4，6，8 公差 通项公式 解方程得n.
(2)首项1与第二项－3 公差 通项公式 第20项．
[解析] (1)数列4，6，8，…的通项公式为an＝2n＋2．
则2n＋2＝2 020．
解得n＝1 009．
(2)由题意可知a1＝1，a2＝－3，所以公差d＝a2－a1＝－4．所以an＝a1＋(n－1)d＝1－4(n－1)＝5－4n.
所以a20＝5－4×20＝－75．
即该数列的通项公式为an＝5－4n，第20项为－75．
[规律方法] 等差数列通项公式的四个主要应用
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量．
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项．
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项．
(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列{an}是等差数列．
【对点训练】 (1)在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝
( )
A．8 B．12
C．16 D．24
(2)等差数列{an}中，
①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；
②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．
C
(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，
an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11．
②an＝a1＋(n－1)d，
所以a5＝a1＋4d，
所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21，
令－2n＋21＝1，得n＝10．
题型二 等差中项的应用
典例 2
A
B
[规律方法] 1．等差中项的应用策略
(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解．
(2)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1；实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m (m，n∈N*，m2．等差中项法判定等差数列
若数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，则可判定数列{an}是等差数列．
C
B
题型三 等差数列的判断与证明
典例 3
[解析] (1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．
②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列．
[规律方法] 证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)利用定义法，即证an＋1－an＝常数．(2)利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
[解析] (1)因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，
所以an＋1＝10＋(n＋1)lg 2．
所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(n∈N*)．
所以数列{an}为等差数列．
易错警示
典例 4
求等差数列的公差时因考虑不周致误
D
[误区警示] 该等差数列的首项为负数，从第10项起开始为正数，说明公差为正数，且第9项为非正数，第10项为正数，解决此类问题时容易忽视第9项的要求．
课堂检测·固双基
1．数列{an}的通项公式an＝2n＋5，则此数列 ( )
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
[解析] ∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，
∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，
∴数列{an}是公差为2的等差数列．
A
2．等差数列－3， 1，5，…的第15项的值是 ( )
A．40 B．53
C．63 D．76
[解析] 设这个等差数列为{an}，其中a1＝－3，d＝4，∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53．
B
3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数为 ( )
A．92 B．47
C．46 D．45
[解析] a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3，得n＝46．
C
4．以下选项中构不成等差数列的是 ( )
A．2，2，2，2
B．3m，3m＋a，3m＋2a，3m＋3a
C．cos 0，cos 1，cos 2，cos 3
D．a－1，a＋1，a＋3
[解析] C项不满足等差数列的定义．
C
素养作业·提技能