第四章 4.2 4.2.2 第1课时
请同学们认真完成练案[5]
A 组·素养自测
一、选择题
1．若等差数列{an}的前三项和S3＝9，且a1＝1，则a2等于( A )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] S3＝3a1＋d＝9，又∵a1＝1，∴d＝2，∴a2＝a1＋d＝3．
2．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn＝( A )
A．－n2＋ B．－n2－
C．n2＋ D．n2－
[解析] 易知{an}是等差数列且a1＝－1，所以Sn＝＝＝－n2＋.故选A．
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( B )
A．－12 B．－10
C．10 D．12
[解析] 3＝2a1＋d＋4a1＋×d 9a1＋9d＝6a1＋7d 3a1＋2d＝0 6＋2d＝0 d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10．
4．(2019·全国Ⅰ理，9)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( A )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
[解析] 设首项为a1，公差为d.
由S4＝0，a5＝5可得
解得
所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，
Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.故选A．
5．在－12和8之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－10的等差数列，则n的值为( B )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 依题意，有－10＝×(n＋2)，解得n＝3．
6．我国古代某数学著作中有这么一道题：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，考和休惹外人传．意思是说，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为( C )
A．75斤 B．70斤
C．65斤 D．60斤
[解析] 设第一个孩子分配到a1斤棉花，则由题意，得S8＝8a1＋×17＝996，解得a1＝65，故选C．
二、填空题
7．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a4＝3，则a7＝__－3__.
[解析] 已知等差数列{an}的前5项和S5＝25，所以S5＝＝5a3＝25，解得a3＝5．已知a4＝3，则公差d＝a4－a3＝－2．所以a7＝a3＋4d＝5－8＝－3．
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a17＝20，则S18＝__180__.
[解析] 因为a1＋a18＝a2＋a17＝20，
所以S18＝＝＝180．
三、解答题
9．若等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8．求：
(1)数列{an}的首项a1和公差d；
(2)数列{an}的前10项和S10的值．
[解析] (1)根据题意，得
，解得.
(2)S10＝10a1＋d＝10×8＋×(－2)＝－10．
10．等差数列{an}中，已知a1＋a2＝5，S4＝14．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn.
[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d，
则由a1＋a2＝5，S4＝14得，
即
解得a1＝2，d＝1，
所以an＝2＋(n－1)＝n＋1．
(2)由(1)可知，Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝na1＋＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( C )
A．S7 B．S8
C．S13 D．S15
[解析] ∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，∴S13＝＝13a7为常数．
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( A )
A． B．
C． D．
[解析] 据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列．
设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，
∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，
∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，
∴＝＝.
3．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，则该数列的公差是( B )
A．3 B．－3
C．－2 D．－1
[解析] 由
得nd＝－18．
又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3．
4．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.已知a3＝12，S12>0，a7<0，则( ABC )
A．a6>0
B．－
C．Sn<0时，n的最小值为13
D．数列中的最小项为第六项
[解析] 根据题意，等差数列{an}中，S12>0，即S12＝＝＝6(a6＋a7)>0，
又a7<0，则a6>0，A正确；
已知a3＝12，且a6>0，a7<0，a6＋a7>0，
则有，
解可得－根据题意，S13＝＝13a7<0，
而S12>0，故Sn<0时，n的最小值为13，C正确；
数列中，由上面分析可知d<0，所以数列{an}是递减的等差数列，当1≤n≤6时，an>0；当n≥7时，an<0；当1≤n≤12时，Sn>0；当n≥13时，Sn<0，所以当1≤n≤6时，>0；当7≤n≤12时，<0；当n≥13时，>0，故数列中的最小项不是第六项，D错误．
二、填空题
5．若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有__13__项．
[解析] 设这个等差数列为{an}，由题意得
，
①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60．
∴Sn＝＝30n＝390，∴n＝13．
6．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10＝__－15__.
[解析] 由a＋a＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3．
∴S10＝＝＝＝－15．
三、解答题
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，bn＝an－30．
(1)求通项an；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．
[解析] (1)由a3＝10，S6＝72，得
所以an＝4n－2．
(2)由(1)得bn＝an－30＝2n－31．
由得≤n≤，
因为n∈N*，所以n＝15．所以{bn}的前15项为负值，所以T15最小，可知b1＝－29，d＝2，所以T15＝－225．
8．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求数列的前n项和Tn.
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋n(n－1)d.
∵S7＝7，S15＝75，∴，
即，解得a1＝－2，d＝1．
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n2－n.(共48张PPT)
第四章
数 列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第2课时 等差数列习题课
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．会利用数列的前n项和Sn求数列的通项公式an. 2．会使用裂项法求数列的前n项和. 1．深刻理解数列的项和关系，有了项an可以求和Sn，有了和Sn也可以求项an，两者在一定条件下可以相互转化．
2．一些通项公式为分式的数列，分母为等差数列两项相乘的形式，求和可以考虑裂项法.
必备知识·探新知
Sn－Sn－1
关键能力·攻重难
(1)数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4＝ ( )
A．7 B．8 C．9 D．17
题型探究
题型一 已知函数的前n项和Sn求通项an
典例 1
A
【对点训练】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n，则a8＝ ( )
A．64 B．128
C．32 D．216
(2)设数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋1，那么此数列的通项公式an＝
________________.
B
A
[分析] 首先化简{an}的通项公式，求出bn后再利用裂项相消法求出数列{bn}的前n项和．
题型二 裂项求和
典例 2
在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12，求数列{|an|}的前n项和．
[分析] 本题实际上是求数列{an}的前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，要求我们应首先分清这个数列中的哪些项是负的，哪些项非负的．由已知，数列{an}是首项为负数的递增数列，因此应先求出这个数列从首项起哪些项是负数，然后再分段求出前n项的绝对值之和．
题型三 含绝对值的数列的前n项和
典例 3
[规律方法] 已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤：
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点．
第二步，求和，①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)．
②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)可分段求和再相加．
【对点训练】 (1)等差数列{an}中，a1＝－10，d＝2，则数列{|an|}的前3项的和S3＝_____，前8项的和S8＝_____.
(2)已知等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝2．
①求数列{an}的通项公式；
②设Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|，求Tn.
24
36
[解析] (1)a1＝－10，d＝2，
所以an＝－10＋2(n－1)＝2n－12．
a6＝0，
故S3＝|－10|＋|－8|＋|－6|＝24，
S8＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…|a6|＋|a7|＋|a8|＝－a1－a2－…－a6＋a7＋a8＝36．
易错警示
典例 4
裂项求和要找准相加相消的规律
[误区警示] 错误的原因在于裂项相消时，没有搞清剩余哪些项．
[点评] 运用裂项相消法求和时，要弄清消去的项是与它后面的哪一项相加消去的，找出规律，然后确定首尾各剩余哪些项，切勿出现添项或漏项、错项的错误．
课堂检测·固双基
1．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1，则a8＋a9＋a10＋a11＋a12的值为 ( )
A．100 B．99
C．120 D．130
[解析] a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S7＝122＋12＋1－72－7－1＝100．
A
2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于 ( )
A．12 B．16
C．9 D．16或9
C
3．等差数列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若前20项的和S20＝10M，则M的值为 ( )
A．a3＋a5 B．a2＋2a10
C．a20＋d D．a12＋a9
D
4．已知数列{log2(an－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9，求数列{an}的通项公式．
[解析] 设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.
由a1＝3，a3＝9
得log2(9－1)＝log2(3－1)＋2d，则d＝1．
所以log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，
即an＝2n＋1．
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝25，S12＝54．
(1)求an；
(2)求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
素养作业·提技能(共48张PPT)
第四章
数 列
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程． 2．借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的关系． 3．掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用. 1．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相加法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的前n项和可以有多种表达形式．
2．等差数列的通项是“一次函数”，其前n项和是“二次函数”，要能够从二次函数的角度看待等差数列前n项和的性质与本质特征，同时也可以构建等差数列通项公式与前n项和的联系.
必备知识·探新知
设Sn是等差数列{an}的前n项和，d为{an}的公差，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.
倒序得Sn＝________________________，
两式相加得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)．
由等差数列的性质得a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝an＋a1，
所以有Sn＝__________①.
又an＝a1＋(n－1)d，代入①式，得Sn＝____________②.
等差数列的前n项和公式的推导(倒序相加法)
知识点
an＋an－1＋…＋a2＋a1
(3)当已知首项、末项和项数时，用公式①较为简便；当已知首项、公差和项数时，用公式②较为简便．在运用公式①时，注意结合等差数列的性质．
关键能力·攻重难
(1)(2020·广西南宁三中高三模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a8＝ ( )
A．8 B．9 C．10 D．11
(2)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d为 ( )
A．7 B．6 C．3 D．2
(3)(2019·徐州高二检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6＝2，S9＝5，则S15＝_____.
题型探究
题型一 有关等差数列前n项和公式的计算
典例 1
B
C
15
[规律方法] 等差数列前n项和公式的运算方法与技巧
类型 “知三求二型”
基本量 a1，d，n，an，Sn
方法 运用等差数列的通项公式和前n项和公式建立方程(组)，通过解方程(组)求出未知量
思想 方程的思想
注意 ①利用等差数列的性质简化计算；
②注意已知与未知条件的联系；
③有时运用整体代换的思想.
已知等差数列{an}前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝ ( )
A．12 B．14
C．16 D．18
题型二 等差数列前n项和的性质
典例 2
B
C
【对点训练】 (1)已知等差数列{an}满足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，则n＝ ( )
A．7 B．8
C．9 D．10
(2)若{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝5，b1＝15，a100＋b100＝100，求数列{an＋bn}的前100项的和．
D
[解析] (1)∵等差数列{an}满足：a2＝2，
Sn－Sn－3＝54(n>3)
Sn＝100，
∴an＋an－1＋an－2＝54(n>3)
又{an}为等差数列，
∴3an－1＝54(n≥2)，
(1)(2021·内蒙古集宁一中高二检测)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝____时，{an}的前n项和最大．
(2)(2020·山东临沂高三期末)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a3＝8，S4＝36．
①求{an}的通项公式；
②当n为何值时，Sn有最大值？并求其最大值．
[分析] 求Sn的最大值，可以利用数列的通项公式求解，也可以利用前n项和的函数特性求解．
题型三 等差数列前n项和的最值
典例 3
8
[解析] (1)由等差数列的性质，得a7＋a8＋a9＝3a8>0，a8>0．
又因为a7＋a10<0，所以a8＋a9<0，所以a9<0，所以S8>S7，S8>S9，即数列{an}的前8项和最大．
【对点训练】 (1)设数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，则k的值为_____.
(2)已知等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11．那么当n＝____，Sn取最大值．
20
7
已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．
[错解] ∵an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2．
an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，∴数列{an}是等差数列．
[误区警示] an＝Sn－Sn－1是在n≥2的条件下得到的，a1是否满足需另外计算验证．
易错警示
典例 4
由和求项注意验证首项
课堂检测·固双基
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项的和S11＝ ( )
A．58 B．88
C．143 D．176
B
2．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则公差d等于 ( )
A．1 B．
C．2 D．3
C
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝ ( )
A．3 B．4
C．5 D．6
C
4．(2020·江苏宿迁高一期末)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝11，S2m－1＝121，则m的值为 ( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 因为S2m－1＝(2m－1)am＝121，所以2m－1＝11，故m＝6，故选D．
D
5．在等差数列{an}中，Sn为该数列的前n项和．
(1)已知a5＝11，a8＝5，求an；
(2)已知a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，求S10．
素养作业·提技能第四章 4.2 4.2.2 第2课时
请同学们认真完成练案[6]
A 组·素养自测
一、选择题
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为( A )
A．15 B．16
C．49 D．64
[解析] a8＝S8－S7＝82－72＝15．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则a2等于( A )
A．4 B．2
C．1 D．－2
[解析] S1＝2(a1－1)，
即a1＝2a1－2，解得a1＝2．
a1＋a2＝2(a2－1)解得a2＝4．
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝( D )
A．8 B．7
C．6 D．5
[解析] Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝2ak＋1＋2＝24．
故ak＋1＝2k＋1＝11．
∴k＝5．
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为( A )
A． B．
C． D．
[解析] ∵a5＝5，S5＝15，
∴＝15，∴a1＝1．
∴d＝＝1，∴an＝n.
∴＝＝－.
则数列的前100项的和为：T100＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
故选A．
5．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数为( C )
A．11 B．99
C．120 D．121
[解析] 因为an＝＝－，所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1，令－1＝10，解得n＝120．
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|的值为( D )
A．61 B．62
C．65 D．67
[解析] 对n分情况讨论当n＝1时，S1＝a1＝－2．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－4n＋1)－[(n－1)2－4(n－1)＋1]＝2n－5，
所以an＝
由通项公式得a1所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2)＋…＋(a3＋a4＋…＋a10)＝S10－2S2＝102－4×10＋1－2×(－3)＝67．
二、填空题
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝2·3n－3，则数列{an}的通项公式为__an＝__.
[解析] 当n＝1时，a1＝S1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4·3n－1．
当n＝1时不满足上式，故an＝
8．(2021·复旦附中高一检测)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝__10__.
[解析] 根据等差数列的性质，可得am－1＋am＋1＝2am.
又am－1＋am＋1－a＝0，则2am＝a，
解得am＝0(舍去)或am＝2．
则S2m－1＝＝(2m－1)am 4m－2＝38，
所以m＝10．
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n＋1．
(1)写出数列的前5项；
(2)数列{an}是等差数列吗？说明理由；
(3)写出{an}的通项公式．
[解析] (1)∵Sn＝n2＋n＋1，∴a1＝S1＝3，a2＝S2－S1＝7－3＝4，a3＝S3－S2＝13－7＝6，a4＝S4－S3＝21－13＝8，a5＝S5－S4＝31－21＝10．
(2)由(1)可知，a2－a1＝4－3＝1，a3－a2＝6－4＝2，
∴a3－a2≠a2－a1，∴数列{an}不是等差数列．
(3)∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴an＝n2＋n＋1－[(n－1)2＋(n－1)＋1]
＝2n(n≥2)，a1＝S1＝3，
∴数列{an}的通项公式为an＝
10．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[解析] (1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得解得a1＝1，d＝－1．
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知＝＝，
从而数列的前n项和为－＋－＋…＋－＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．在各项均不为零的等差数列{an}中，若an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，则S2n－1－4n等于( A )
A．－2 B．0
C．1 D．2
[解析] ∵an＋1－a＋an－1＝0(n≥2)，
∴an＋1＋an－1＝a，
∵{an}为等差数列．
∴an＋1＋an－1＝2an＝a.
∴an＝2或an＝0(舍)
∴S2n－1－4n＝2×(2n－1)－4n＝－2．
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝16，Sm＝25，a1＝1(m≥2，且m∈N)，则m的值是( B )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，因为Sm－1＝16，Sm＝25，a1＝1(m≥2，且m∈N)，
所以am＝Sm－Sm－1＝25－16＝9＝1＋(m－1)d，m＋d＝25，联立解得m＝5，d＝2．
3．已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若－＝100，则d的值为( B )
A． B．
C．10 D．20
[解析] 由等差数列{an}可得＝a1＋d＝n＋(a1－d)为等差数列，∵－＝100，×2 017＋a1－d－(×17＋a1－d)＝100，∴10d＝1，解得d＝.
4．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2(n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( C )
A．Sn>na1>nan B．Sn>nan>na1
C．na1>Sn>nan D．nan>Sn>na1
[解析] 解法一：由an＝
解得an＝5－4n.
∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n.
∴nan＝5n－4n2．
∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0，
Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0．
∴na1>Sn>nan.
解法二：∵an＝5－4n，∴当n＝2时，Sn＝－2，
na1＝2，nan＝－6，∴na1>Sn>nan.
二、填空题
5．(2021·宁大附中高三模拟)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则数列的前n项和为____.
[解析] ∵an＋1＝an＋n＋1，∴an－an－1＝n，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝，
∴＝.
∵－＝－＝，
则数列为等差数列．
因此，数列的前n项和为＝.
6．已知数列{an}中a1＝1，a2＝2，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S15＝__211__.
[解析] ∵数列{an}中，当整数n>1时，
Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，
Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2 an＋1－an＝2(n>1)．
∴当n≥2时，{an}是以2为首项，2为公差的等差数列．
∴S15＝14a2＋×2＋a1＝14×2＋×2＋1＝211．
三、解答题
7．设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
[解析] (1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，
故当n≥2时，
a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，
两式相减得(2n－1)an＝2，
所以an＝(n≥2)．
又由题设可得a1＝2，满足上式，
所以{an}的通项公式为an＝.
(2)记的前n项和为Sn.
由(1)知＝
＝－，
则Sn＝－＋－＋…＋－＝.
8．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Hn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Hn.
[解析] (1)因为an＋2－2an＋1＋an＝0．
所以an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1．
所以{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，所以d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.
故an＝10－2n.
(2)因为an＝10－2n，令an＝0，得n＝5．
当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；
当n<5时，an>0．
设Sn＝a1＋a2＋…＋an.
所以当n>5时，Hn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝n2－9n＋40，
当n≤5时，Hn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2．
所以Hn＝