第四章 4.3 4.3.1 第2课时
请同学们认真完成练案[8]
A 组·素养自测
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为( B )
A．35 B．63
C．21 D．±21
[解析] ∵{an}是等比数列，∴a4，a6，a8是等比数列，
∴a＝a4·a8，即a8＝＝63．
2．(2021·山东荣成六中高二月考)已知等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3·a4＝32，若an＝128，q＞1，则n＝( A )
A．8 B．7
C．6 D．5
[解析] ∵a3a4＝a2·a5＝32，
又∵a2＋a5＝18，
∴或.
∵q＞1，∴a2＝2，a5＝16，∴q＝2．
∴an＝a2qn－2＝2·2n－2＝2n－1＝128，
∴n－1＝7，∴n＝8．
3．如果数列{an}是等比数列，那么( A )
A．数列{a}是等比数列
B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lg an}是等比数列
D．数列{nan}是等比数列
[解析] 设bn＝a，则＝＝2＝q2，
∴{bn}成等比数列；＝2an＋1－an≠常数；
当an<0时lg an无意义；设cn＝nan，
则＝＝≠常数．
4．(2021·山东莒县二中高二月考)在等比数列{an}中，a4·a8＝2，a2＋a10＝3，则＝( C )
A．2 B．
C．2或 D．－2或－
[解析] 由等比数列的性质得a4a8＝a2a10＝2，
又∵a2＋a10＝3，∴a2＝1，a10＝2或a2＝2，a10＝1．
当a2＝1，a10＝2时，＝＝2，
当a2＝2，a10＝1时，＝＝.
5．(2021·福建莆田一中高二月考)等比数列{an}的各项都是正数且a1a11＝16，则log2a6＝( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] ∵{an}是各项都是正数的等比数列，
∴a1a11＝a＝16，
∴a6＝4，
∴log2a6＝log24＝2．
6．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30等于( B )
A．210 B．220
C．216 D．215
[解析] 设A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，
C＝a3a6a9…a30，则A，B，C成等比数列，
公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，∴B＝210，
∴C＝B·210＝220．
二、填空题
7．各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7＋log2a11的值为__3__.
[解析] 由题意得a4a14＝(2)2＝8，
由等比数列性质，得a4·a14＝a7·a11＝8，
∴log2a7＋log2a11＝log2(a7·a11)＝log28＝3．
8．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝__1__.
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
则由a4＝a1＋3d，
得d＝＝＝3，
由b4＝b1q3得q3＝＝＝－8，
∴q＝－2．
∴＝＝＝1．
三、解答题
9．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
[解析] (1)由题意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因为{an}的各项都为正数，所以＝.
故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.
10．等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20．
[解析] 设数列{an}的公差为d，则
a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，
a10＝a4＋6d＝10＋6d.
由a3，a6，a10成等比数列得，a3a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，
整理得10d2－10d＝0，
解得d＝0，或d＝1．
当d＝0时，S20＝20a4＝200；
当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，
因此，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330．
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c( A )
A．成等差数列不成等比数列
B．成等比数列不成等差数列
C．成等差数列又成等比数列
D．既不成等差数列又不成等比数列
[解析] 解法一：a＝log23，b＝log26＝1＋log23，
c＝log212＝2＋log23．
∴b－a＝c－b.
解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，
∴a＋c＝2b，∴选A．
2．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( C )
A．1＋ B．1－
C．3＋2 D．3－2
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，
∴a3＝a1＋2a2，∴a1q2＝a1＋2a1q，
∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±.
∵an>0，∴q>0，q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
3．(多选题)(2020·临沂高二检测)已知数列{an}是正项等比数列，且＋＝，则a5的值可能是( ABD )
A．2 B．4
C． D．
[解析] 依题意，数列{an}是正项等比数列，所以a3>0，a7>0，a5>0，
所以＝＋≥2＝，
因为a5>0，所以上式可化为a5≥2，
当且仅当a3＝，a7＝时等号成立．
4．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则的值是( D )
A．4 B．2
C． D．
[解析] 由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1，x3,4，x4，公比为2，x3＝2，x4＝8，n＝16，＝；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，另一根为9，则n＝9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1，x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不合题意．
二、填空题
5．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝__4__.
[解析] ∵am－1am＋1－2am＝0，
由等比数列的性质可得，a－2am＝0，
∵am≠0，∴am＝2．
∵T2m－1＝a1a2…a2m－1＝(a1a2m－1)·(a2a2m－2)…am＝aam＝a＝22m－1＝128，
∴2m－1＝7，∴m＝4．
6．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2>的最大正整数n的值为__4__.
[解析] ∵a2·a4＝4＝a，且a3>0，∴a3＝2．又a1＋a2＋a3＝＋＋2＝14，
∴＝－3(舍去)或＝2，即q＝，a1＝8．
又an＝a1qn－1＝8×()n－1＝()n－4，
∴an·an＋1·an＋2＝()3n－9>，即23n－9<9，
∴n的最大值为4．
三、解答题
7．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
[解析] 原式可化为
∴或
∴a3＝8，a5＝2，q＝或a5＝8，a3＝2，q＝2．
∴当q＝时，a1＝32，an＝64×()n＝26－n.
当q＝2时，a1＝，an＝2n－2．
8．(2021·山东青岛模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，____________.
给出下列三个条件：
条件①：数列{an}为等比数列，数列{Sn＋a1}也为等比数列；
条件②：点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上；
条件③：2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1．
试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下面两问的解答．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析] 方案一：选择条件①.
(1)因为数列{Sn＋a1}为等比数列，所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)·(S3＋a1)，即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)．
设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，
所以(2＋q)2＝2(2＋q＋q2)，解得q＝2或q＝0(舍去)，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得an＝2n－1(n∈N*)，
所以bn＝＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋
＝
＝－
＝－.
方案二：选择条件②.
(1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上，
所以an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，所以an＝Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减得an＋1－an＝an，＝2(n≥2)．
因为a1＝1，a2＝S1＋1＝a1＋1＝2，所以＝2适合上式．
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)同方案一的(2)．
方案三：选择条件③.
(1)当n≥2时，因为2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1(n∈N*)(ⅰ)，
所以2n－1a1＋2n－2a2＋…＋2an－1＝(n－1)an，
所以2na1＋2n－1a2＋…＋22an－1＝2(n－1)an(ⅱ)，
(ⅰ)－(ⅱ)得2an＝nan＋1－2(n－1)an，即＝2(n≥2)，
当n＝1时，2a1＝a2，＝2适合上式．
所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
所以an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*)．
(2)同方案一的(2)．(共48张PPT)
第四章
数 列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第2课时 等比数列的性质及应用
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．掌握等比数列的性质． 2．能利用等比数列的性质解决相关问题． 3．体会等比数列与指数函数的关系. 要善于从指数函数的角度看待等比数列的性质和特征.
必备知识·探新知
等比数列与指数函数的关系
知识点1
a1qn－1
等比数列的单调性
知识点2
(3)当q＝1时，等比数列{an}为_________(这个常数列中各项均不等于0)；
(4)当q<0时，等比数列{an}为摆动数列(它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号)．
常数列
(1)两项关系
通项公式的推广：
an＝am·________(m，n∈N*)．
(2)多项关系
项的运算性质
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则am·an＝_________.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，
则am·an＝______.
等比数列的项之间的关系
知识点3
qn－m
ap·aq
an－1
an－k＋1
3．等比数列的运算数列的性质
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则
①{c·an}(c是非零常数)是公比为____的等比数列；
②{|an|}是公比为________的等比数列．
(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为_________的等比数列．
q
|q|
q1·q2
关键能力·攻重难
在等比数列{an}中，已知a1>0，8a2－a5＝0，则数列{an}为
( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
[解析] 由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2．
又a1>0，所以数列{an}为递增数列．
题型探究
题型一 等比数列的单调性
典例 1
A
[规律方法] 由等比数列的通项公式可知，公比影响数列各项的符号：一般地，q>0时，等比数列各项的符号相同；q<0时，等比数列各项的符号正负交替．
【对点训练】 (2020·山东潍坊期中)在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是 ( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．无法确定单调性
D
题型二 等比数列性质的应用
典例 2
A
C
[规律方法] 本题考查等比中项的概念及性质，熟练运用等比中项使得本题得以快速解答，值得注意的是，本题方法三其实提供了这样的信息：若{an}是等比数列，且an>0，则{logban}(b为常数且b>0，b≠1)是等差数列．
【对点训练】 (1)在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝_____；
(2)数列{an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，则a11＝________；
(3)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝_____.
25
1或64
50
题型三 等比数列的实际应用
典例 3
A
[分析] 建立等比数列模型 运用等比数列的性质求解．
[规律方法] 关于等比数列在应用问题中的应用
首先根据题意判断是否是等比数列模型，其次分析等比数列的首项、公比、项数，最后利用等比数列的通项公式计算解题．
C
(2)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 ( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
C
已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．
[分析] 求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．
题型四 等比数列与等差数列的综合应用
典例 4
【对点训练】 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13，则成等差数列，则这四个数为_______________.
(2)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为____________.
[分析] (1)四个数成等比数列，可用第一个数与公比q表示各数，然后按所给条件列方程组求解．
(2)三个数适当排列，不同的排列方法有6种，但这里不必分成6种，因为若以三个数中哪一个数为等比中项分类，则只有三种情况，因此对于分类讨论问题，恰当的分类是解决问题的关键．
3，6，12，24
－4，2，8
(2)由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，
这三个数可表示为2－d，2，2＋d，
①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8．
②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8，2，－4．
③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)．
综上可知此三数为－4，2，8．
在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则a1a9的值为 ( )
A．9 B．－9
C．±9 D．18
[错解] ∵a3a7＝a4a6＝a1a9，∴(a1a9)2＝81，∴a1a9＝±9，故选C．
[误区警示] 本题易忽略在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件，而得到a1a9＝±9．
易错警示
典例 5
忽略等比数列中的项的符号致错
A
[正解] 因为{an}为等比数列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9．
所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9．
因为在等比数列{an}中，奇数项(或偶数项)的符号相同，
所以a1，a9同号，所以a1a9＝9．
课堂检测·固双基
1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么 ( )
A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列
[解析] 当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．
C
B
3．已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝ ( )
A．5 B．10
C．15 D．20
A
4．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a12＝______.
567
5．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数．
素养作业·提技能(共47张PPT)
第四章
数 列
4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念． 2．借助教材掌握等比数列的通项公式． 3．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题. 1．要从现实生活的大量实例中体会等比关系，感受等比数列在生活实践中和数学文化中的广泛性．
2．类比等差数列，感受“差”与“比(商)”的联系，进而认识到“等差”与“等比”的结构和概念的一致性．
3．进一步体会基本量思想与方程思想在等比数列中的应用.
必备知识·探新知
一般地，如果一个数列从________起，每一项与它的前一项的比都等于_____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_______，公比通常用字母____表示(显然q≠0)．
等比数列的定义
知识点1
第2项
同一个常数
公比
q
知识解读：对等比数列定义的理解
(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能为分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中含有“0”，则该数列不可能是等比数列．
(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．同时注意公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒．
等比中项
知识点2
等比数列
a，G，b
等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则这个等比数列的通项公式是an＝__________(a1，q≠0)．
等比数列的通项公式
知识点3
a1qn－1
知识解读：关于等比数列通项公式的推导，除了教材第28页的方法(归纳法)外，我们还有如下两种方法．
方法一(迭代法) 根据等比数列的定义，得an＝an－1q＝(an－2q)q＝an－2q2＝(an－3q)q2＝an－3q3＝…＝a2qn－2＝(a1q)qn－2＝a1qn－1(n≥2)；当n＝1时，上面等式也成立．故当n∈N*时，an＝a1qn－1．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 等比数列的概念运用
典例 1
0
【对点训练】 (2020·北京东城区高二期末)定义函数f(x)＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，比如[π]＝3．根据以上定义，当x＝＋1时，数列x－f(x)，f(x)，x ( )
A．是等差数列，也是等比数列
B．是等差数列，不是等比数列
C．是等比数列，不是等差数列
D．不是等差数列，也不是等比数列
D
在等比数列{an}中，
(1)a1＝3，a3＝27，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[分析] (1)已知等比数列的通项公式an＝a1qn－1代入a1，a3，求出q，最后求出an.
(2)已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出a1，q，由an＝1求n.
题型二 等比数列通项公式及应用
典例 2
[规律方法] 等比数列通项公式的求法
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
C
题型三 等比中项的应用
典例 3
C
B
【对点训练】 (1)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是 ( )
A．90 B．100
C．145 D．190
(2)互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝______.
B
－4
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
题型四 等比数列的判定与证明
典例 4
等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
易错警示
典例 5
忽视等比中项的符号致错
[误区警示] 错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数．
课堂检测·固双基
1．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于 ( )
A．64 B．81
C．128 D．243
[解析] 设等比数列的公比为q，
∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2．
又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，∴3a1＝3．∴a1＝1，
∴a7＝26＝64．
A
2．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于 ( )
A．－2 B．1或－2
C．1 D．1或2
[解析] ∵在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，∴a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，即q2＋q－2＝0．解得q＝1或q＝－2．故选B．
B
3．(2021·浙江省余姚中学高一检测)设{an}为等比数列，给出下列四个数列：
①{2an}，②{a}，③{2an}，④{log2|an|}．
其中一定为等比数列的是 ( )
A．①③ B．②④
C．②③ D．①②
D
4
5．数列{an}满足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n∈N*，且n≥2)．
(1)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
素养作业·提技能第四章 4.3 4.3.1 第1课时
请同学们认真完成练案[7]
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知{an}是等比数列，a3＝2，a6＝，则公比q＝( D )
A．－ B．－2
C．2 D．
[解析] 由条件得，
∵a1≠0，q≠0，∴q3＝，∴q＝.故选D．
2．数列m，m，m，…一定( C )
A．是等差数列，但不是等比数列
B．是等比数列，但不是等差数列
C．是等差数列，但不一定是等比数列
D．既是等差数列，又是等比数列
[解析] 当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列．当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C．
3．(2021·湖南武冈二中高二月考)在等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是( B )
A．±4 B．4
C．± D．
[解析] 由题意，得a4＝a1q3＝×23＝1，a8＝a1q7＝×27＝16，∴a4与a8的等比中项为a6＝4．
4．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( C )
A．na(1－b%) B．a(1－nb%)
C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n]
[解析] 依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b%)n.故选C．
5．已知等比数列{an}的公比为q，若a2，a5的等差中项为4，a5，a8的等差中项为8，则q的值为( A )
A．－ B．
C．－2 D．2
[解析] 由已知得，
∴，
解得q＝，∴q＝l＝log2－12＝－.
6．(2021·北京市东城区月考)若数列{an}是公比为的正项等比数列，则{·a2n}是( A )
A．公比为2的等比数列
B．公比为的等比数列
C．公差为2的等差数列
D．公差为的等差数列
[解析] 数列{an}是公比为的正项等比数列，则＝(n≥2)，设bn＝·a2n，则＝＝·()2＝2(n≥2)，即{·a2n}是公比为2的等比数列．
二、填空题
7．已知等比数列前3项为，－，，则其第8项是__－__.
[解析] ∵a1＝，a2＝a1q＝q＝－，
∴q＝－，∴a8＝a1q7＝×(－)7＝－.
8．正项等比数列{an}，若3a1，a3,2a2成等差数列，则{an}的公比q＝__3__.
[解析] 因为正项等比数列{an},3a1，a3,2a2成等差数列，
所以，
解得q＝3．所以{an}的公比q＝3．
三、解答题
9．已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1＝2,2a2＋a3＝30．
(1)求an；
(2)若数列{bn}满足bn＋1＝bn＋an，b1＝a2，求b5．
[解析] (1)设公比为q，由题意得2a1q＋a1q2＝30，
∴4q＋2q2＝30，
∴q2＋2q－15＝0，
∴q＝3或－5．
∵an＞0，∴q＝3．
∴an＝a1qn－1＝2·3n－1．
(2)∵b1＝a2，∴b1＝6．
又bn＋1＝bn＋an，∴bn＋1＝bn＋2·3n－1．
∴b2＝b1＋2×30＝6＋2＝8，
b3＝b2＋2×31＝8＋6＝14，
b4＝b3＋2×32＝14＋18＝32，
b5＝b4＋2×33＝32＋54＝86．
10．(2018·全国卷Ⅰ文，17)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解析] (1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4．
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12．
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4．
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，
所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1．
B 组·素养提升
一、选择题
1．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为( D )
1 2
0.5 1
a
b
c
A．1 B．2
C．3 D．
[解析] 按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，
1 2 3 4
0.5 1 1.5 2
0.25 0.5 0.75 1
0.125 0.25 0.375 0.5
0.062 5 0.125 0.187 5 0.25
故a＝，b＝，c＝，则a＋b＋c＝.故选D．
2．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为( C )
A． B．4
C．2 D．
[解析] ∵a1，a3，a7为等比数列{bn}中的连续三项，
∴a＝a1·a7，设{an}的公差为d，则d≠0，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，∴a1＝2d，
∴公比q＝＝＝2，故选C．
3．已知{an}是公比为q(q≠1)的等比数列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，则m与k的大小关系是( C )
A．m>k
B．m＝k
C．mD．m与k的大小随q的值而变化
[解析] m－k＝(a5＋a6)－(a4＋a7)
＝(a5－a4)－(a7－a6)
＝a4(q－1)－a6(q－1)
＝(q－1)(a4－a6)
＝(q－1)·a4·(1－q2)
＝－a4(1＋q)(1－q)2<0(∵an>0，q≠1)．
4．(多选题)(2020·山东枣庄期中)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( BC )
A．b＝3 B．b＝－3
C．ac＝9 D．ac＝－9
[解析] ∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3．
由等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，
而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9．
二、填空题
5．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是____.
[解析] 由已知得an＝an＋1＋an＋2，
即a1qn－1＝a1qn＋a1qn＋1，
∴q2＋q＝1，解得q＝.
又q>0，∴q＝.
6．(2021·吉林高二检测)长久以来，人们一直认为黄金分割比例是最美的，人们都不约而同地使用黄金分割，如果一个矩形的宽与长的比例是黄金比例(≈0.618称为黄金分割比例)，这样的矩形称为黄金矩形，黄金矩形有一个特点：如果在黄金矩形中不停地分割出正方形，那么余下的部分也依然是黄金矩形，已知图中最小正方形的边长为1，则矩形ABCD的长为__5__.(指数幂形式)
[解析] 根据题意，如图：若图中最小正方形的边长为1，即HP＝1，则矩形HPLJ中，LP＝HJ＝＝，则在矩形HJIF中，HF＝＝2，
同理：FC＝3，DC＝4，则BC＝5．
三、解答题
7．(2020·全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8．
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.
[解析] (1)设{an}的公比为q，则an＝a1qn－1．
由已知得解得
所以{an}的通项公式为an＝3n－1．
(2)由(1)知log3an＝n－1．故Sn＝.
由Sm＋Sm＋1＝Sm＋3得，m(m－1)＋(m＋1)m
＝(m＋3)(m＋2)，
即m2－5m－6＝0．
解得m＝－1(舍去)或m＝6．
8．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2．
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解析] (1)证明：由已知，有a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3．
又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－(4an＋2)
＝4an＋1－4an，
于是an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，
即bn＋1＝2bn.
因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知等比数列{bn}中，b1＝3，公比q＝2，
所以an＋1－2an＝3×2n－1．
于是－＝，
因此数列是首项为，公差为的等差数列，＝＋(n－1)×＝n－.
所以an＝(3n－1)·2n－2．
