第四章 4.3 4.3.2 第1课时
请同学们认真完成练案[9]
A 组·素养自测
一、选择题
1．(2021·北京市第十三中学高二检测)设Sn为等比数列{an}的前n项和，S3＝3a3，则公比q＝( C )
A．－ B．
C．1或－ D．－1或
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，由S3＝3a3，得a1＋a2＋a3＝3a3 a1＋a2＝2a3，所以a1＋a1q＝2a1q2 2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－.故选C．
2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5等于( C )
A．33 B．72
C．84 D．189
[解析] 设等比数列公比为q.
∵a1＋a2＋a3＝21且a1＝3，
∴a1(1＋q＋q2)＝21，
∴1＋q＋q2＝7，∴q2＋q－6＝0，
∴q＝2或q＝－3(舍)，
又∵a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)，
∴a3＋a4＋a5＝3×4×7＝84．
3．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项和．若a1＝3，a2a4＝144，则S10的值是( D )
A．511 B．1 023
C．1 533 D．3 069
[解析] 由题意知a2a4＝144，即a1q·a1q3＝144，
所以aq4＝144，
∴q4＝16，∴q＝2，∴S10＝＝3(210－1)＝3 069．
4．等比数列{an}的公比q<0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，则{an}的前2 020项和等于( D )
A．2 020 B．－1
C．1 D．0
[解析] 由an＋2＝an＋1＋2an，得qn＋1＝qn＋2qn－1，即q2－q－2＝0．又q<0，解得q＝－1．又a2＝1，∴a1＝－1．
∴S2 020＝＝0．
5．某人计划2022年出国旅游，从2015年起每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期，到2022年5月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱数(元)为( D )
A．a(1＋p)7
B．a(1＋p)8
C．[(1＋p)7－(1＋p)]
D．[(1＋p)8－(1＋p)]
[解析] 设所有存款和利息的总和为S元，由题意知第一年存入的a元到2022年本息和为a(1＋p)7元，以此类推，2021年存入的a元到2022年本息和为a(1＋p)元，所以S＝a(1＋p)7＋a(1＋p)6＋a(1＋p)5＋…＋a(1＋p)
＝a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋(1＋p)5＋…＋(1＋p)]
＝a·＝[(1＋p)8－(1＋p)]．
故选D．
6．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝( C )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C．(1－4－n) D．(1－2－n)
[解析] ∵＝q3＝，∴q＝.
∴an·an＋1＝4·()n－1·4·()n
＝25－2n，
故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1
＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n
＝＝(1－4－n)．
二、填空题
7．(2020·河南省实验中学高二联考)设Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn＝3n＋1－A，则A＝__3__.
[解析] ∵Sn为等比数列{an}的前n项和，且Sn＝3n＋1－A，∴a1＝S1＝32－A＝9－A，a2＝S2－S1＝(33－A)－(9－A)＝18，a3＝S3－S2＝(34－A)－(33－A)＝54．
∵a1，a2，a3成等比数列，∴a＝a1a3，
∴182＝(9－A)×54，解得A＝3．
故答案为3．
8．(2021·山东青岛高三模拟)设Sn为公比q≠1的等比数列{an}的前n项和，且3a1,2a2，a3成等差数列，则q＝__3__，＝__10__.
[解析] 设等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1．因为3a1,2a2，a3成等差数列，所以2×2a2＝3a1＋a3，即4a1q＝3a1＋a1q2．又因为等比数列中a1≠0，则4q＝3＋q2，解得q＝1或q＝3．又因为q≠1，所以q＝3．所以＝＝＝1＋q2＝1＋32＝10．
三、解答题
9．在等比数列{an}中，
(1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5；
(3)若q＝2，S4＝1，求S8．
[解析] (1)解法一：由Sn＝，an＝a1qn－1以及已知条件得，
∴a1·2n＝192，∴2n＝.
∴189＝a1(2n－1)＝a1(－1)，∴a1＝3．
又∵2n－1＝＝32，∴n＝6．
解法二：由公式Sn＝及条件得
189＝，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1，
得96＝3·2n－1，解得n＝6．
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
，
即
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得q3＝.
即q＝，∴a1＝8．∴a4＝a1q3＝8×()3＝1，
S5＝＝＝.
(3)设首项为a1，
∵q＝2，S4＝1，∴＝1，即a1＝.
∴S8＝＝＝17．
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2．
(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
(2)若T3＝21，求S3．
[解析] 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1．
由a2＋b2＝2得d＋q＝3．①
(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6．②
联立①和②解得(舍去)，.
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1．
(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0．
解得q＝－5或q＝4．
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21．
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6．
B 组·素养提升
一、选择题
1．设Sn是等比数列{an}的前n项和，＝，则等于( B )
A． B．
C． D．
[解析] 设公比为q，∵＝，∴q≠1．
∴＝·
＝＝，
∴q3＝2．
∴＝＝·
＝＝＝.
2．设{an}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，对任意正整数n，有an＋2an＋1＋an＋2＝0，又a1＝2，则S101的值为( A )
A．2 B．200
C．－2 D．0
[解析] 设公比为q，∵an＋2an＋1＋an＋2＝0，∴a1＋2a2＋a3＝0，∴a1＋2a1q＋a1q2＝0，∴q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1，又∵a1＝2，
∴S101＝＝＝2．
3．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于( D )
A．2 B．
C． D．
[解析] 此五个正三角形的边长an形成等比数列：2,1，，，.
∴这五个正三角形的面积之和＝×＋＋＝×＝.故选D．
4．(多选题)(2021·连云港高二检测)已知等比数列{an}中，满足a1＝1，公比q＝－2，则( BC )
A．数列{2an＋an＋1}是等比数列
B．数列{an＋1－an}是等比数列
C．数列{anan＋1}是等比数列
D．数列{log2|an|}是递减数列
[解析] 因为等比数列{an}中，满足a1＝1，
公比q＝－2，
所以an＝1×(－2)n－1＝(－2)n－1．
由此可得2an＋an＋1＝2·(－2)n－1＋(－2)n＝0，A错误；
an＋1－an＝(－2)n－(－2)n－1＝－3·(－2)n－1，故数列{an＋1－an}是等比数列，B正确；
anan＋1＝(－2)n－1(－2)n＝(－2)2n－1，
故数列{anan＋1}是等比数列，C正确；log2|an|＝log22n－1＝n－1，
故数列{log2|an|}是递增数列，D错误．
二、填空题
5．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝____.
[解析] 由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5，
整理得q＝＝3．
∴S5＝＝.
6．将正偶数集合{2,4,6,8，…，2n，…}中的数从小到大按第n组有2n个数进行分组如下：
则2 018位于第__9__组．
[解析] 前n组共有2＋4＋8＋…＋2n＝＝2n＋1－2个数．由an＝2n＝2 018得n＝1 009，
∴2 018为第1 009个偶数．
∵29＝512,210＝1 024，
∴前8组共有510个数，前9组共有1 022个数，因此2 018位于第9组．
三、解答题
7．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
[解析] (1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，
得a1＝2．
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列．
通项公式为an＝3n－1．
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则
Sn＝＝－.
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan.其中λ≠0．
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
[解析] (1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，a1≠0．
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0且λ≠1得an≠0，
所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
于是an＝n－1．
(2)由(1)得Sn＝1－n.
由S5＝得1－5＝，即5＝.
解得λ＝－1．第四章 4.3 4.3.2 第2课时
请同学们认真完成练案[10]
A 组·素养自测
一、选择题
1．数列{(－1)nn}的前n项和为Sn，则S2 020＝( A )
A．1 010 B．－1 010
C．2 020 D．－2 020
[解析] S2 020＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 019＋2 020)＝1 010．
2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( B )
A．192里 B．96里
C．48里 D．24里
[解析] 设第1天走a1里，公比为，
则＝＝378．解得a1＝192．
∴a2＝192×＝96(里)．
3．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋…＋an＝－2n＋1＋2，则a＋a＋…＋a＝( B )
A．－8(2n＋1)3 B．
C．8(－2n－1－1)3 D．
[解析] 因为a1＋a2＋…＋an＝－2n＋1＋2，①
所以a1＋a2＋…＋an－1＝－2n＋2，②
①－②，得an＝－2n，所以a＝－23n＝－8n，
∴{a}的首项为－8，公比为8，所以a＋a＋…＋a＝＝.
故选B．
4．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 016等于( A )
A．1 008 B．2 016
C．504 D．0
[解析] ∵函数y＝cos的周期T＝＝4，且第一个周期四项依次为0，－1,0,1．
∴可分四组求和：
a1＋a5＋…＋a2 013＝0，
a2＋a6＋…＋a2 014＝－2－6－…－2 014＝＝－504×1 008，
∴a3＋a7＋…＋a2 015＝0，
a4＋a8＋…＋a2 016＝4＋8＋…＋2 016
＝＝504×1 010．
∴S2 016＝0－504×1 008＋0＋504×1 010＝504×(1 010－1 008)＝1 008，故选A．
5．(2021·黑龙江大庆一中高二联考)在等比数列{an}中，a2＋a3＋…＋a8＝8，＋＋…＋＝2，则a5的值是( A )
A．±2 B．2
C．±3 D．3
[解析] 若该等比数列{an}的公比为1，a2＋a3＋…＋a8＝7a5＝8，a5＝，＋＋…＋＝≠2，不合题意，舍去；
所以该等比数列的公比不为1，设为q，则
两式作商得·＝4，
即aq6＝4，a＝4，所以a5＝±2．故选A．
6．(多选题)在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是( BC )
A．q＝1
B．数列{Sn＋2}是等比数列
C．S8＝510
D．数列{lg an}是公差为2的等差数列
[解析] 由题意，可得a2a3＝a1a4＝32>0，
a2＋a3＝12>0，故a2>0，a3>0．
根据根与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x2－12x＋32＝0的两个根．
解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．
故必有公比q>0，所以a1＝>0．
因为等比数列{an}是递增数列，所以q>1．
所以a2＝4，a3＝8满足题意．
所以q＝2，a1＝＝2．
故选项A不正确．an＝a1·qn－1＝2n.
因为Sn＝＝2n＋1－2．
所以Sn＋2＝2n＋1＝4·2n－1．
所以数列{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确．
S8＝28＋1－2＝512－2＝510．故选项C正确．
因为lg an＝lg 2n＝n.
所以数列{lg an}是公差为1的等差数列．
故选项D不正确．
二、填空题
7．数列，，，…，，…前n项的和为__4－__.
[解析] 设Sn＝＋＋＋…＋①
Sn＝＋＋＋…＋②
①－②得
(1－)Sn＝＋＋＋＋…＋－＝2－－.
∴Sn＝4－.
8．已知各项都为正数的等比数列{an}，若a8·a12＋5a10＝14，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a19＝__19__.
[解析] ∵各项都为正数的等比数列{an}，a8·a12＋5a10＝14，
∴，解得a10＝2，
∴log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a19
＝log2(a1·a2·a3·…·a19)
＝log2a＝log2219＝19．
三、解答题
9．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a2a3＝8a1，且a4,36,2a6成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析] (1)因为a2a3＝8a1，
所以a1a4＝8a1，所以a4＝8，
又a4,36,2a6成等差数列，所以a4＋2a6＝72，所以a6＝32，q2＝＝4，q>0，
所以q＝2，所以an＝8·2n－4＝2n－1．
(2)bn＝＝＝n·()n－2，
Tn＝1·()－1＋2·()0＋3·()1＋…＋(n－1)·()n－3＋n·()n－2
·Tn＝1·()0＋2·()1＋3·()2＋…＋(n－1)·()n－2＋n·()n－1
两式相减得：
·Tn＝()－1＋()0＋()1＋…＋()n－2－n·()n－1，
·Tn＝－n·()n－1，
所以Tn＝8－(n＋2)·()n－2．
10．设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn＝3n＋3．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.
[解析] (1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，
当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，
此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，
所以an＝.
(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，
当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.
所以T1＝b1＝；
当n≥2时，
Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，
所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]．
两式相减，得
2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n
＝＋－(n－1)×31－n＝－.
∴Tn＝－.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝( A )
A． B．
C．6 D．7
[解析] ∵
＝＝
＝＝，
又∵＝＝，
∴＝＝.∴＝.
2．已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于( D )
A．13 B．10
C．9 D．6
[解析] ∵an＝＝1－，
∴Sn＝(1－)＋(1－)＋(1－)＋…＋(1－)
＝n－(＋＋＋…＋)
＝n－＝n－1＋，
令n－1＋＝＝5＋，∴n＝6．
3．(2021·山东省实验中学高二检测)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝9，a1a2…a8＝81，则＋＋…＋的值为( A )
A．3 B．6
C．9 D．27
[解析] ＋＋…＋＝＋＋＋.①
∵a8a1＝a7a2＝a6a3＝a5a4，
∴①式＝＝.
又∵a1a2a3…a8＝81，得(a4a5)4＝81，∴a4a5＝3，
∴＝＝3，∴＋＋…＋＝3．故选A．
4．数列{an}的通项公式是an＝sin(＋)，设其前n项和为Sn，则S12的值为( A )
A．0 B．
C．－ D．1
[解析] a1＝sin(＋)＝1，
a2＝sin(π＋)＝－1，a3＝sin(＋)＝－1，
a4＝sin(2π＋)＝1，
同理，a5＝1，a6＝－1，a7＝－1，a8＝1，a9＝1，
a10＝－1，a11＝－1，a12＝1，
∴S12＝0．
二、填空题
5．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1＋a(a为常数)，bn＝，则数列{bn}的前n项和为__×__.
[解析] ∵Sn为等比数列{an}的前n项和，
且Sn＝3(3n＋)．
∴＝－1，∴a＝－3，∴Sn＝3n＋1－3，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1－3)－(3n－3)＝2×3n ①，
又∵a1＝S1＝6符合①式，∴an＝2×3n，
∴bn＝＝＝·()n，
∴{bn}的前n项和为Tn＝＝×(1－)．
6．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若{an}的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，若a1＝1，则a2 020＝__2－__.
[解析] 根据题意，an＋1－an＝，
则a2 020＝(a2 020－a2 019)＋(a2 019－a2 018)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋1＝2－.
三、解答题
7．已知数列{an}和{bn}中，数列{an}的前n项和为Sn.若点(n，Sn)在函数y＝－x2＋4x的图象上，点(n，bn)在函数y＝2x的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.
[解析] (1)由已知得Sn＝－n2＋4n，
∵当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋5，
又当n＝1时，a1＝S1＝3，符合上式．
∴an＝－2n＋5．
(2)由已知得bn＝2n，anbn＝(－2n＋5)·2n.
Tn＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n＋5)×2n，
2Tn＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1．
两式相减得
Tn＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)×2n＋1
＝＋(－2n＋5)×2n＋1－6
＝(7－2n)·2n＋1－14．
8．已知数列{an}为等差数列，且a1＝5，a2＝9，数列{bn}的前n项和Sn＝bn＋.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝an|bn|，求数列{cn}的前n项的和Tn.
[解析] (1)公差d＝a2－a1＝9－5＝4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1．
(2)∵Sn＝bn＋，∴Sn－1＝bn－1＋(n≥2)，
两式相减，得bn＝bn－bn－1，
∴bn＝－bn－1，∴＝－2(n≥2)．
又b1＝S1＝b1＋，∴b1＝1，
∴数列{bn}是首项为1，公比为－2的等比数列，
∴bn＝(－2)n－1．
∴cn＝an|bn|＝(4n＋1)|(－2)n－1|＝(4n＋1)·2n－1．
∴Tn＝5×1＋9×2＋13×22＋…＋(4n＋1)·2n－1①
2Tn＝5×2＋9×22＋…＋(4n－3)·2n－1＋(4n＋1)·2n②
①－②得－Tn＝5＋4×(2＋22＋…＋2n－1)－(4n＋1)·2n
＝5＋4×－(4n＋1)·2n
＝5＋8(2n－1－1)－(4n＋1)·2n
＝5＋2n＋2－8－(4n＋1)·2n
＝2n＋2－(4n＋1)·2n－3
＝2n(4－4n－1)－3＝2n(3－4n)－3，
∴Tn＝(4n－3)2n＋3．(共39张PPT)
第四章
数 列
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
第2课时 等比数列习题课
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．进一步理解等比数列中an与Sn的关系． 2．掌握几种与等比数列有关的求和方法. 体会不同的求和方法中所蕴含的求和思想，能针对不同的数列选择恰当的求和方法.
关键能力·攻重难
(1)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且－a3，a2，a4成等差数列，则Sn与an的关系是 ( )
A．Sn＝2an－1 B．Sn＝2an＋1
C．Sn＝4an－3 D．Sn＝4an－1
题型探究
题型一 等比数列an与Sn的关系
典例 1
A
(2)数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，an＋1＝3Sn，则下列关于{an}的论断中正确的是 ( )
A．一定是等差数列
B．可能是等差数列，但不会是等比数列
C．一定是等比数列
D．可能是等比数列，但不会是等差数列
B
【对点训练】 (1)等比数列{an}，若已知an＝3n－1，则Sn与an的关系是什么？
(2)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝_______.
－63
已知数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n，….
(1)求其通项公式an；
(2)求这个数列的前n项和Sn.
[分析] 注意观察数列的每一项可以发现，数列的第1，2，…n项依次为等比数列{an}的前n项和，其中an＝2n－1．求该数列各项的和可先求通项an，再依an的特征选择求和方法．
题型二 分组转化求和
典例 2
[规律方法] 分组转化求和法
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．
(2020·全国卷Ⅰ)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．
(1)求{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和．
题型三 错位相减法求和
典例 3
[解析] (1)设{an}的公比为q，由题设得2a1＝a2＋a3，
即2a1＝a1q＋a1q2．
所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2．
故{an}的公比为－2．
[规律方法] 错位相减法
若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．
求数列1，a，a2，…的前n项和Sn.
[误区警示] 错误的原因在于忽略了对a的取值进行分类讨论．
易错警示
典例 4
对于通项中含字母的数列求和，忽略对字母进行分类讨论而致误
课堂检测·固双基
C
2．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则 ( )
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B
[解析] 由题，当数列为－2，－4，－8，…时，满足q>0，但是{Sn}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若{Sn}是递增数列，则必有an>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．故选B．
3．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若2S1，S3，S2成等差数列，则数列{an}的公比为_____.
4．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为______.
510
素养作业·提技能(共52张PPT)
第四章
数 列
4.3 等比数列
4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
1．借助教材实例了解等比数列前n项和公式的推导过程． 2．借助教材掌握a1，an，q，n，Sn的关系． 3．掌握等比数列的前n项和公式、性质及其应用. 1．充分类比等差数列求和的方法，结合等比数列的性质，体会错位求和的含义与操作过程中蕴含的求和思想．
2．充分挖掘等比数列前n项和公式的特征，构建等比数列通项与前n项和的一次线性表示．
3．类比指数函数的性质，感受等比数列前n项和公式与指数函数的联系.
必备知识·探新知
等比数列的前n项和公式
知识点1
na1
等比数列前n项和公式与其公比q的关系
知识点2
则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是函数y＝－Aqx＋A图象上的一群孤立的点．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指函数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．
知识解读：对于等比数列{an}来说，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n等均有为0的可能性，此时Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不能构成等比数列，所以在使用此性质时，一定要注意性质中公比不为－1的前提．
等比数列前n项和的性质
知识点3
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 与等比数列前n项和有关的基本运算
典例 1
[分析] 在等比数列中，对于a1，an，n，q，Sn五个量，若已知其中三个量就可求出其余两个量，常列方程(组)来解答问题．当涉及高次方程或指数方程时，要注意表达式的特点，采取相应的方法处理．
[规律方法] 等比数列前n项和运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换．
提醒：两式相除是解决等比数列基本量运算常用的运算技巧．
B
C
某企业年初有资金1 000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后)，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)
[分析] 依次写出每年年底扣除消费资金后的资金，寻找规律写出第五项求解．
题型二 等比数列前n项和公式的实际应用
典例 2
C
(2021·上海高二检测)已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn＝3n－1＋k(n∈N*)，则常数k＝_______.
题型三 等比数列前n项和公式的函数特征
典例 3
【对点训练】 (2020·贵州贵阳高三期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝k·2n－3，则ak＝ ( )
A．4 B．8
C．12 D．16
[解析] 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k·2n－1；
当n＝1时，a1＝S1＝2k－3＝k·21－1，
解得k＝3，∴ak＝a3＝3·23－1＝12．故选C．
C
(1)(2021·云南昆明高三模拟)已知等比数列{an}的各项都是正数，Sn为其前n项和，若S4＝8，S8＝24，则S16＝ ( )
A．40 B．56
C．72 D．120
题型四 等比数列的前n项和的性质的应用
典例 4
D
(2)(2020·江西南昌高三模拟)下列说法正确的是 ( )
①若数列{an}是等差数列，且am＋an＝as＋at(m，n，s，t∈N*)，则m＋n＝s＋t；
②若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列；
③若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列；
④若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn＋B(其中A，B是非零常数，n∈N*)，则A＋B为零．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
C
[解析] (1)因为S4＝8，S8－S4＝16，S12－S8，S16－S12成等比数列，
所以S12－S8＝32，S16－S12＝64，S16＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＋(S16－S12)＝8＋16＋32＋64＝120．
(2)①若数列{an}是常数列，对任意的正整数m，n，s，t都有am＋an＝as＋at，①错误；
②设等差数列{an}的公差为d，首项是a1，Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝Sn＋n2d，同理S3n－S2n＝(S2n－Sn)＋n2d，因此2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，②正确；
【对点训练】 (1)(2021·山西太原高三模拟)已知一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1＝ ( )
A．11 B．12
C．13 D．14
(2)(2021·江西师大附中高一月考)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S9－S6＝12，则S6＝____.
B
9
已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
易错警示
典例 5
忽略对公比q的讨论致误
课堂检测·固双基
1．已知在等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，则n的值为
( )
A．4 B．5
C．6 D．7
C
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于 ( )
A．7 B．8
C．15 D．16
C
3．若等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1＋a，则a3a5＝ ( )
A．4 B．8
C．16 D．32
C
素养作业·提技能
