第四章 4.4
请同学们认真完成练案[11]
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( D )
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋
B．f(n)中共有(n＋1)项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有(n2－n)项，当n＝2时，f(2)＝＋
D．f(n)中共有(n2－n－1)项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
[解析] 由f(n)可知，f(n)中共有(n2－n＋1)项，且n＝2时，f(2)＝＋＋.故选D．
2．用数学归纳法证明“2n>2n＋1，对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( B )
A．2 B．3
C．5 D．6
[解析] ∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；
n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；
n＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立，∴n的第一个取值n0＝3．
3．我们运用数学归纳法证明某一个关于自然数n的命题时，在由“n＝k时论断成立 n＝k＋1时论断也成立”的过程中( A )
A．必须运用假设
B．可以部分地运用假设
C．可不用假设
D．应视情况灵活处理，A，B，C均可
[解析] 由“n＝k时论断成立 n＝k＋1时论断也成立”的过程中必须运用假设．
4．(2021·上海高二检测)如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2也成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是( B )
A．P(n)对所有自然数n成立
B．P(n)对所有正偶数n成立
C．P(n)对所有正奇数n成立
D．P(n)对所有大于1的自然数n成立
[解析] 因为命题P(n)对n＝k成立，且它对n＝k＋2也成立，所以若P(n)对n＝2成立，则P(n)对所有正偶数n成立．故选B．
5．(2020·北师大附中高二期末)用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n3＝，n∈N*”，则当n＝k＋1时，应当在n＝k时对应的等式左边加上( B )
A．k3＋1
B．(k3＋1)＋(k3＋2)＋…＋(k＋1)3
C．(k＋1)3
D．
[解析] 当n＝k时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k3；
当n＝k＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k3＋(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3，
所以增加的项为(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3．
故选B．
6．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1＝( C )
A．Sk＋
B．Sk＋＋
C．Sk＋－
D．Sk＋－
[解析] 由题意将k替换为k＋1，据此可得
Sk＋1＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋＋＋
＝＋＋＋＋…＋＋＋－
＝＋＋＋＋…＋＋－
＝Sk＋－.
故选C．
二、填空题
7．(2020·无锡期末)一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是：__③____(填上所有正确命题的序号)
①n＝11时，该命题一定不成立；
②n＝11时，该命题一定成立；
③n＝1时，该命题一定不成立；
④至少存在一个自然数，使n＝n0时，该命题成立．
[解析] 由题意可知，原命题成立则逆否命题成立，P(n)对n＝10时该命题不成立，
可得P(n)对n＝9不成立，
同理可推得P(n)对n＝2，n＝1也不成立．由题意，n＝11时命题成立与否不确定．所以③正确．
故答案为③.
8．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n＝k时成立推导n＝k＋1时成立时，f(n)＝1＋＋＋…＋增加的项数是__2k__.
[解析] 当n＝k时成立，
即f(k)＝1＋＋…＋，
则n＝k＋1成立时，有f(k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋…＋，
所以增加的项数是(2k＋2k－1)－(2k－1)＝2k.
三、解答题
9．求证：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．
[解析] (1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，
即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，
那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)
＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2
＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)
＝2k＋1·1·3·5·…·[2(k＋1)－1]．
这就是说当n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)可知，对所有n∈N*等式成立．
10．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．
求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
[解析] 由已知得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1，a1＝2，b1＝4，
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，
b4＝25．
猜想an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2．
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，可得结论成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，结论成立，
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)·(k＋2)，
bk＋1＝＝＝(k＋2)2．
∴当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②可知，an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数n都成立．
B 组·素养提升
一、选择题
1．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n至少应取为( B )
A．7 B．8
C．9 D．10
[解析] ∵1＋＋＋…＋＝＝2－＝＝
而1＋＋＋…＋>，故应选B．
2．(多选题)用数学归纳法证明命题1＋2＋3＋…＋n2＝时，下列说法错误的是( ABC )
A．当n＝1时，命题的左边为1＋1
B．当n＝k＋1时，命题的左边为1＋2＋3＋…＋k2＋(k＋1)2
C．当n＝k＋1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分有(k＋1)2－(k2＋1)项
D．当n＝k＋1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
[解析] 用数学归纳法证明命题1＋2＋3＋…＋n2＝时，
当n＝1时，命题的左边为1，所以A不正确；
n＝k时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分是(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2．所以选项D正确，C不正确，选项B不正确；
故选ABC．
3．用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)，则从k到k＋1时左边添加的项是( D )
A． B．－
C．－ D．－
[解析] 当n＝k时，等式的左边为1－＋－＋…＋－，
当n＝k＋1时，等式的左边为1－＋－＋…＋－＋－，
故从“n＝k到n＝k＋1”，左边所要添加的项是－.
4．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )
A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立
C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)>k2成立
D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
[解析] 对于A，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A错误．
对于B，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B错误．
对于C，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C错误．
对于D，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D．
二、填空题
5．平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域，则k＋1条直线把平面分成的区域数f(k＋1)＝f(k)＋__k＋1__.
[解析] 当n＝k＋1时，第k＋1条直线被前k条直线分成(k＋1)段，而每一段将它们所在区域一分为二，故增加了k＋1个区域．
6．用数学归纳法证明·…>(k>1)，则当n＝k＋1时，在n＝k时的左端应乘上__…__，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__2k－1__.
[解析] 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列通项公式可求得共有 ＋1＝2k－2k－1＝2k－1项．
三、解答题
7．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
(1)分别求出a2，a3，a4，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；
(2)请用数学归纳法证明(1)中的猜想．
[解析] (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．
当n＝1时，a2＝＝＝；
当n＝2时，a3＝＝＝；
当n＝3时，a4＝＝＝；
所以a2＝，a3＝＝，a4＝，
猜测 an＝.
(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，＝1，
所以a1＝1，所以n＝1时，等式成立；
②假设当n＝k时，等式成立，即ak＝，
则ak＋1＝＝＝＝＝，
所以n＝k＋1时，等式成立．
综合①和②可知，对于任意的n∈N*，an＝均成立．
8．用数学归纳法证明对一切n∈N*,1＋＋＋…＋≥.
[解析] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1，不等式成立．
(2)假设当n＝k时，不等式成立，
即1＋＋＋…＋≥，
则当n＝k＋1时，
要证1＋＋＋…＋＋≥，
只需证＋≥.
因为－
＝－
＝
＝≤0，
所以＋≥，
即1＋＋＋…＋＋≥，
所以当n＝k＋1时不等式成立．
由(1)(2)知，不等式对一切n∈N*都成立．(共46张PPT)
第四章
数 列
4.4* 数学归纳法
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
课程目标 学法指导
★水平一 1．借助教材实例了解数学归纳法的原理(数学抽象)． 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(逻辑推理)． ★水平二 能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题(数学运算、逻辑推理). 1．充分运用多米诺骨牌的影象或者实验体会数学归纳法的含义．
2．通过一些实际案例，认真体会归纳奠基和归纳递推的内涵以及归纳法推理的结构化特征.
必备知识·探新知
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n＝_____(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝_______时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
数学归纳法
知识点
n0
k＋1
知识解读：1．步骤(2)是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n＝k＋1时命题也成立．而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．
2．一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数列的通项及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明．但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决．
3．第一个值n0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n0都是1．
关键能力·攻重难
(1)用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
题型探究
题型一 对数学归纳法的理解
典例 1
C
(2)一个关于自然数n的命题，如果证得当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于 ( )
A一切正整数命题成立 B．一切正奇数命题成立
C．一切正偶数命题成立 D．以上都不对
[解析] (1)根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的值应为3．
(2)本题证明了当n＝1，3，5，7，…时，命题成立，即命题对一切正奇数成立．
B
C
(2020·深圳市耀华实验学校高二联考)已知数列{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，对于一切n∈N*均有an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
(1)计算a1，a2，a3，并由此猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明(1)中你的猜想．
题型二 数学归纳法在数列中的应用
典例 2
[规律方法] 用数学归纳法求数列通项公式的一般步骤
1．由已知条件求出数列的前几项．
2．依据求出的前几项猜想数列的通项．
3．用数学归纳法证明上面的猜想是正确的．
【对点训练】 (2021·甘肃武威高二检测)已知数列{an}的前n项和Sn＝1－nan(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的解析式，并用数学归纳法证明你的结论．
用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)．
[分析] 按照数学归纳法证题的步骤进行证明．
题型三 用数学归纳法证明等式
典例 3
[解析] (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＝2k(2k－3)＋3．
则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k－1＋(2k＋1)×2k＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k＝2k(4k－2)＋3＝2k＋1[2(k＋1)－3]＋3，
即当n＝k＋1时，等式成立．
由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立．
[规律方法] 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n＝k＋1时证明目标的表达式进行变形．
[分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．
题型四 用数学归纳法证明不等式
典例 4
[规律方法] 用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：
(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明．
(2)在推证“n＝k＋1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论．
用数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N*)．
易错警示
典例 5
未用归纳假设而致误
[误区警示] 错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误．
[正解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立；
(2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，
那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)＝2[2(k＋1)－1－1]．
所以当n＝k＋1时，等式也成立．
由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N*都成立．
[点评] 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．
其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2，3等；第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．
课堂检测·固双基
1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是 ( )
A．1 B．1＋3
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
[解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3．故应选C．
C
B
[解析] 由数学归纳法的证明步骤可知，假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝k＋2，不是n＝k＋1，因为n是偶数，k＋1是奇数，故选B．
3．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得
( )
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
[解析] 若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．
它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．
C
5．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1．
(1)写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
素养作业·提技能
