2021-2022学年度北师大版八年级数学上册课件： 第一章 勾股定理 几何体中最短路径问题（26张）

(共26张PPT)
专 题 复 习
几何体中最短路径问题
学习目标
1.探索、发现立体图形展开成平面图形的各种途径，运用勾股定
理求最短路径问题.（重点）
2.利用数学中的建模思想构造直角三角形，寻找不同路径，运用
勾股定理，解决实际问题.（难点）
知识回顾
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于 ，如果
用a，b，c分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么 .
2.几何体中的最短路径问题是将立体图形展开成一个 面图形，再
利用平面上：两点之间， ，构造 ，解决最
短路径问题.
立体图形 → 平面图形 → 直角三角形问题
斜边的平方
a +b =c
平
线段最短
直角三角形
在圆柱形玻璃杯上一点B处有一滴蜂蜜，此时两只蚂蚁正好在杯外壁A处，两只蚂蚁都想品尝美味的蜂蜜，它们决定比赛，路线自选，看谁先到达B处，假设它们的速度相同，该如何选择路径，赢得比赛的胜利呢？
情境引入
B
A
蚂蚁在圆柱体上的路径
A
B
A
B
D
蚂蚁在圆柱体上的路径
C
B
A
如果蜂蜜滑落至杯外C处，蚂蚁又该如何选择爬行路径，使得距离最短呢？
A
C
A
C
D
类型1　圆柱体中的最短路径问题
母题1.如图，若圆柱的底面周长是40cm，高是30cm，一只蚂蚁从圆柱底部
A处沿侧面爬行一圈到达顶部B处，则这只蚂蚁爬行的距离是( )
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
解析：
A
B
C
∵圆柱的底面周长是40cm，高是30cm，
∴在Rt△ABC中，
AB ＝ AC + BC ＝40 +30 ＝2500．
∴AB＝50cm．
D
典例分析
B
A
圆柱体中的最短路径问题
h
h
2πr
r
归纳
数学思想：
转化思想
变式1．如图，已知圆柱底面的周长为24dm，圆柱高为5dm，在圆柱的
侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最
小为　 ．
解析：
∵圆柱底面的周长为24dm，圆柱高为5dm，
∴AB＝5dm，BC＝12dm．
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得
AC ＝12 +5 ＝169．
∴AC＝13dm．
∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝26dm．
26dm
A
B
C
A '
A
B
C
A
C
如果蜂蜜滑落至杯内C处呢？
E
H
F
G
N
M
C
Q
A
A'
P
变式2．如图，圆柱形玻璃杯高为12cm,底面周长为18cm，在杯内离杯底
4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿
4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm．
解析:
∵AE＝A'E，A'P＝AP，
∴AP+PC＝A'P+PC＝A'C．
∵CQ＝ ×18＝9cm，A'Q＝12-4+4＝12cm，
在Rt△A'QC中，A'C＝ ＝15cm .
15
A
C
类型2 台阶中的最短路径问题
母题2.如图，台阶阶梯每一层高2dm，宽4dm，长5dm．
一只蚂蚁在A点，有个小甜品在B点，蚂蚁想品
尝美味的甜品，它爬行的最短路程是 　 ．
解析：
13dm
A
5
C
B
2
4
2
4
如图所示，
∵它的每一级的长宽高为2dm，宽4dm，长5dm，
∴在Rt△ABC中，AB= =13dm．
a
b
c
a
b
c
b
c
b
c
归纳
台阶中的最短路径问题
变式．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．
中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚁从A点爬到C点，它
必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m的路程．
解析：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN，
原图长度增加4m，则AB＝20+4＝24m，
连接AC，
∵在Rt△ABC中，AB＝24m，AD＝10m
∴
∴蚂蚁从A点爬到C点，至少要走26m的路程．
26
A
D
B
C
N
M
A
B
D
C
M
N
类型3 长方体中的最短路径问题
母题3．如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发
沿长方体表面爬行到C'处，若长方体的长AD＝2cm，
宽AA'＝1cm，高AB＝4cm，则蚂蚁爬行的最短路径长
是多少cm？
长
宽
高
长方体中的最短路径问题
归纳
长
长
高
高
宽
宽
数学思想：
分类讨论思想
找方法、巧归纳
1.展：利用“ 思想”将 图形转化成 图形；
转化
立体
平面
2.找：在 展开图中，找到两点所在的位置，运用两点之
间， ，构建 并应用 定理解决问题；
平面
线段最短
直角三角形
勾股
3.算：利用“ ”进行分类讨论，算出最 路径。
分类讨论思想
短
小结
作业
必做题：课本P15 第4题
选做题：思考题
脚
踏
实
地
不
言
弃
巧施智慧得成功
谢 谢 大 家
再 见 ！
思考题．如图，长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，
点B距离C点5cm，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点A
到点B．蚂蚁爬行的最短距离是多少cm？
∵长方体的宽为10cm，高为20cm，点B离点C为5cm，
∴BD＝CD+BC＝10+5＝15cm，AD＝20cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：
∴
同理可得，
同理可得，
解：
把长方体的右侧表面剪开与前面所在的平面形成一个长方形，如图1：
把长方体的右侧表面剪开与上面所在的平面形成一个长方形，如图2：
把长方体的上表面剪开与后面所在的平面形成一个长方形，如图3：
∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm
∵