2021-2022学年苏教版（2019）高中数学必修第一册第一章第二节第1课时《子集、真子集》讲义（学生版 教师版）

编号：003 课题: §1.2.1 子集、真子集
目标要求
1、理解集合之间包含的含义．
2、能识别给定集合的子集．
3、能使用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．
重点难点
重点：理解集合之间包含的含义；
难点：能使用Venn图表示集合的基本关系．
学科素养目标
集合是语境的要素．集合语言是近现代数学的基础，利用它可以简洁、准确地表述数学．因此，“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容，也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境．学习“集合”这一章，需从观念上把握六个字: 语言，工具，渐进．要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成，并能运用集合语言来简洁地描述问题．当然，熟练地运用集合语言来揭示许多问题有一个理解与掌握的过程.
基础知识积累
1. 子集的概念及记法：
如果集合A的_任意一个元素_都是集合B的元素，则称集合 A为集合B的子集（subset）,记为________或________读作“_________________”或“_________________”.
符号语言可表示为：_________________________________
图形语言可表示为： _____________________或___________________
注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；
（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.
试一试
举个子集例子________________________________________
2.子集的性质：
① AA(自身性) ； ② （空集是任何集合的子集）； ③,则（传递性）
想一想:与能否同时成立？若能A与B的关系是什么？
3.真子集的概念及记法：
如果，并且A≠B，这时集合 A称为集合B的真子集（proper set）,
记为__________或___________读作“__________________”或“__________________”
符号语言可表示为：________________________________________________________
试一试
举个真子集例子_______________________________________________________
4.真子集的性质：
①是任何非空集合的真子集，符号表示为___________________________________.
②真子集具备传递性，符号表示为_______________________________________________.
课前基础演练
题1．下列集合中与{1，9}是相等集合的是 (　　)
A．{{1}，{9}} B．{(1，9)} C．{(9，1)} D．{9，1}
题2．集合{0，1}的真子集有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题3．设A，B是集合I＝{1，2，3，4}的子集，A＝{1，2}，则满足A B的B的个数是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
题4．若集合M＝{x|x≤6}，a＝2，则下面结论中正确的是 (　　)
A．{a}M B．aM C．{a}∈M D．a M
题5．已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的真子集为______________．
题6．设集合A＝{x|x2＋x－1＝0}，B＝{x|x2－x＋1＝0}，则集合A，B之间的关系是________．
题7．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若AB，求a的取值范围．
(2)若B A，求a的取值范围．
当堂巩固训练
一、选择题
题8．以下四个关系： ∈{0}，0∈ ，{ } {0}， {0}，其中正确的个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
题9．已知集合A＝{1＋x2，x}，B＝{1，2，3}，且A B，则实数x的值是 (　　)
A．－1 B．1 C．3 D．4
题10．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是 (　　)
①S∈U；②F T；③S T；④S F；⑤S∈F；⑥F U.
A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥
题11．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}．若B A，则实数a的取值范围为 (　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2]
题12．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是(　　)
A．M＝P B．MP C．PM D．M与P没有公共元素
题13．(多选)已知非空集合M满足：①M {－2，－1，1，2，3，4}；②若x∈M，则x2∈M.则满足上述要求的集合M有 (　　)
A．{－1，1} B．{－1，1，2，4} C．{1} D．{1，－2，2，4}
二、填空题
题14．已知集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}，则集合A＝______．若集合B满足{0}B A，则集合B＝________．
题15．已知集合A＝，B＝{b，ba，－1}，若A＝B，则a＋b＝________．
三、解答题
题16．判断下列每组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|－3≤x<5}，B＝{x|－1(2)A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
(3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，
C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}．
(4)A＝{x|－1≤x＜3，x∈Z}，B＝{x|x＝，y∈A}．
题17．集合A＝{ x |2＜x＜4}，集合M＝{x |3＜x＜2k ＋1}，若集合M是集合A的子集，求实数k的取值范围．
综合突破训练
一、选择题
题18．已知集合M＝{x|－A．P＝{－3，0，1} B．Q＝{－1，0，1，2}
C．R＝{y|－π题19．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则集合A，B间的关系为(　　)
A．AB B．AB C．A＝B D．A B
题20．已知集合A＝{x，1}，B＝{y，1，2，4}，且A是B的真子集．若实数y在集合中，则不同的集合共有 (　　)
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
题21．(多选)设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠ ，B A，则(a，b)可能是 (　　)
A．(－1，1) B．(－1，0) C．(0，－1) D．(1，1)
二、填空题
题22．已知集合A＝{x|ax2－5x＋6＝0}，若2∈A，则集合A的子集的个数为________．
题23．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B A，则a的值为________．
三、解答题
题24．已知集合M {1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6－a∈M，试求M所有可能的结果．
题25．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B A，求实数a的取值集合．
编号：003 课题: §1.2.1 子集、真子集
目标要求
1、理解集合之间包含的含义．
2、能识别给定集合的子集．
3、能使用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用．
重点难点
重点：理解集合之间包含的含义；
难点：能使用Venn图表示集合的基本关系．
学科素养目标
集合是语境的要素．集合语言是近现代数学的基础，利用它可以简洁、准确地表述数学．因此，“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容，也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境．学习“集合”这一章，需从观念上把握六个字: 语言，工具，渐进．要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成，并能运用集合语言来简洁地描述问题．当然，熟练地运用集合语言来揭示许多问题有一个理解与掌握的过程.
基础知识积累
1. 子集的概念及记法：
如果集合A的_任意一个元素_都是集合B的元素，则称集合 A为集合B的子集（subset）,记为___或__读作“_A包含于B__”或“_B包含A__”.
符号语言可表示为：__若，则____
图形语言可表示为： _____或___
注意：（1）A是B的子集的含义：任意x∈A，能推出x∈B；
（2）不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.
试一试
举个子集例子_____
2.子集的性质：
① AA(自身性) ； ② （空集是任何集合的子集）； ③,则（传递性）
想一想:与能否同时成立？若能A与B的关系是什么？
能同时成立.此时（两边夹法则）__
3.真子集的概念及记法：
如果，并且A≠B，这时集合 A称为集合B的真子集（proper set）,
记为___或___读作“_A真包含于B_”或“_B真包含A__”
符号语言可表示为：_若，则_，且存在，有__
试一试
举个真子集例子____
4.真子集的性质：
①是任何非空集合的真子集，符号表示为__（不为）__.
②真子集具备传递性，符号表示为__若,，则__.
课前基础演练
题1．下列集合中与{1，9}是相等集合的是 (　　)
A．{{1}，{9}} B．{(1，9)} C．{(9，1)} D．{9，1}
【解析】选D.与{1，9}是相等集合的是{9，1}．
题2．集合{0，1}的真子集有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选C.集合{0，1}的子集为 ，{0}，{1}，{0，1}，故真子集有3个．
题3．设A，B是集合I＝{1，2，3，4}的子集，A＝{1，2}，则满足A B的B的个数是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【解析】选B.满足条件的集合B可以是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，所以满足A B的B的个数是4.
题4．若集合M＝{x|x≤6}，a＝2，则下面结论中正确的是 (　　)
A．{a}M B．aM C．{a}∈M D．a M
【解析】选A.由集合M＝{x|x≤6}，a＝2，
知：在A中，{a}M，故A正确；
在B中，a∈M，故B错误；
在C中，{a}M，故C错误；
在D中，a∈M，故D错误．
题5．已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的真子集为______________．
【解析】根据题意，含有元素0的A的真子集为{0}，{0，1}，{0，－1}．
答案：{0}，{0，1}，{0，－1}
题6．设集合A＝{x|x2＋x－1＝0}，B＝{x|x2－x＋1＝0}，则集合A，B之间的关系是________．
【解析】由已知A＝，B＝ ，故BA.
答案：BA
题7．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．
(1)若AB，求a的取值范围．
(2)若B A，求a的取值范围．
【解析】(1)若AB，由图可知，a>2.
(2)若B A，由图可知，1≤a≤2.
当堂巩固训练
一、选择题
题8．以下四个关系： ∈{0}，0∈ ，{ } {0}， {0}，其中正确的个数是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选A.集合与集合间的关系是 ，因此 ∈{0}错误；{ }表示只含有一个元素(此元素是 )的集合，所以{ } {0}错误；空集不含有任何元素，因此0∈ 错误； {0}正确．因此正确的只有1个．
题9．已知集合A＝{1＋x2，x}，B＝{1，2，3}，且A B，则实数x的值是 (　　)
A．－1 B．1 C．3 D．4
【解析】选B.集合A＝{1＋x2，x}，B＝{1，2，3}，且A B，则集合B包含集合A的所有元素，
x＝1时，代入A检验，A＝{2，1}，符合题意，
x＝2时，代入A检验，A＝{5，2}，不符合题意，
x＝3时，代入A检验，A＝{10，3}不符合题意，
综上，实数x的值是1.
题10．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，则下列关系正确的是 (　　)
①S∈U；②F T；③S T；④S F；⑤S∈F；⑥F U.
A．①③ B．②③ C．③④ D．③⑥
【解析】选D.元素与集合之间的关系才用∈，故①⑤错；子集的区域要被全部包含，故②④错．
题11．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}．若B A，则实数a的取值范围为 (　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2]
【解析】选A.因为集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x＜2}．因为B A，所以a≥2.
题12．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是(　　)
A．M＝P B．MP C．PM D．M与P没有公共元素
【解析】选B.M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}＝{2，5，10…}，
P＝{y|y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1，b∈N*}＝{1，2，5，10…}，所以MP.
题13．(多选)已知非空集合M满足：①M {－2，－1，1，2，3，4}；②若x∈M，则x2∈M.则满足上述要求的集合M有 (　　)
A．{－1，1} B．{－1，1，2，4} C．{1} D．{1，－2，2，4}
【解析】选AC.因为非空集合M同时满足下列条件：①M {－2，－1，1，2，3，4}；②若x∈M，则x2∈M，则符合条件的集合M中可能存在的元素有：－1，1.
二、填空题
题14．已知集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}，则集合A＝______．若集合B满足{0}B A，则集合B＝________．
【解析】因为解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0，
所以集合A＝{x|x2＋x＝0，x∈R}＝{－1，0}，
因为集合B满足{0}B A，所以集合B＝{－1，0}．
答案：{－1，0}　{－1，0}
题15．已知集合A＝，B＝{b，ba，－1}，若A＝B，则a＋b＝________．
【解析】若＝－1，即a＝－1时，b＝2，经验证符合题意；若－＝－1，即a＝b，则无解．所以a＋b＝1.
答案：1
三、解答题
题16．判断下列每组中集合之间的关系：
(1)A＝{x|－3≤x<5}，B＝{x|－1(2)A＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，B＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
(3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，
C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}．
(4)A＝{x|－1≤x＜3，x∈Z}，B＝{x|x＝，y∈A}．
【解析】(1)将两个集合在数轴上表示出来，如图所示，显然有BA.
(2)当n∈N*时，由x＝2n－1知x＝1，3，5，7，9，….
由x＝2n＋1知x＝3，5，7，9，….
故A＝{1，3，5，7，9，…}，B＝{3，5，7，9，…}，
因此BA.
(3)由图形的特点可画出Venn图，
如图所示，从而可得DBAC.
(4)依题意可得：A＝{－1，0，1，2}，B＝{0，1，2}，
所以BA.
题17．集合A＝{ x |2＜x＜4}，集合M＝{x |3＜x＜2k ＋1}，若集合M是集合A的子集，求实数k的取值范围．
【解析】根据题意，集合M是集合A的子集，则分2种情况讨论：
①M＝ ，则2k＋1≤3，解得k≤1，
②M≠ ，则有
解得1＜k≤，综上可得k≤，
故实数k的取值范围为.
综合突破训练
一、选择题
题18．已知集合M＝{x|－A．P＝{－3，0，1} B．Q＝{－1，0，1，2}
C．R＝{y|－π【解析】选D.因为集合M＝{x|－所以在A中，P＝{－3，0，1}不是集合M的子集，故A错误；在B中，Q＝{－1，0，1，2}不是集合M的子集，故B错误；在C中，R＝{y|－π题19．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则集合A，B间的关系为(　　)
A．AB B．AB C．A＝B D．A B
【解析】选B.B＝＝{(x，y)|y＝x且x≠0}，所以BA.
题20．已知集合A＝{x，1}，B＝{y，1，2，4}，且A是B的真子集．若实数y在集合中，则不同的集合共有 (　　)
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解析】选A.因为A是B的真子集，y在集合{0，1，2，3，4}中，由集合元素的互异性知y＝0或y＝3，当y＝3时，B＝{1，2，3，4}，x可能的取值为2，3，4；当y＝0时，B＝{0，1，2，4}，x可能的取值为0，2，4；由互异性可知集合{x，y}共有2＋2＝4(个).
题21．(多选)设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠ ，B A，则(a，b)可能是 (　　)
A．(－1，1) B．(－1，0) C．(0，－1) D．(1，1)
【解析】选ACD.当a＝－1，b＝1时，B＝{x|x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；当a＝－1，b＝0时，B＝{x|x2＋2x＝0}＝{0，－2}，不符合；
当a＝0，b＝－1时，B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，符合；当a＝b＝1时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合．
二、填空题
题22．已知集合A＝{x|ax2－5x＋6＝0}，若2∈A，则集合A的子集的个数为________．
【解析】依题意得：4a－10＋6＝0，解得a＝1.则x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3，所以A＝{2，3}，所以集合A的子集个数为4.
答案：4
题23．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B A，则a的值为________．
【解析】因为A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}且B A，所以a2－a＋1∈A，所以a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.由a2－a＋1＝3，得a＝2或a＝－1；
由a2－a＋1＝a，得a＝1. 经检验，a＝1时集合A，B不满足集合中元素的互异性，舍去．
故a＝－1或a＝2.
答案：－1或2
三、解答题
题24．已知集合M {1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6－a∈M，试求M所有可能的结果．
【解析】若M只含1个元素，则M＝{3}；
若M只含2个元素，则M＝{1，5}，{2，4}；
若M只含3个元素，则M＝{1，3，5}，{2，3，4}；
若M只含4个元素，则M＝{1，2，4，5}；
若M含5个元素，则M＝{1，2，3，4，5}．
所以M可能的结果为：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
题25．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝，试判定集合A与B的关系；
(2)若B A，求实数a的取值集合．
【解析】(1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3，5}，当a＝时，由x－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.
(2)当B＝ 时，满足B A，此时a＝0；
当B≠ ，a≠0时，集合B＝，
由B A得＝3或＝5，所以a＝或a＝.综上所述，实数a的取值集合为.
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