2021-2022学年苏教版（2019）高中数学必修第一册第一章第一节第1课时《集合的概念》讲义（学生版 教师版）

编号：001 课题: 集合的含义及其表示
目标要求
1、理解集合的含义，知道常用数集及其记法．
2、了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义．
3、掌握集合的三种表示方法----列举法，描述法及图象法，并能正确地表示一些简单的集合．
重点难点
重点：理解集合的含义；
难点：集合的表示法．
学科素养目标
集合是语境的要素．集合语言是近现代数学的基础，利用它可以简洁、准确地表述数学．因此，“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容，也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境．学习“集合”这一章，需从观念上把握六个字: 语言，工具，渐进．要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成，并能运用集合语言来简洁地描述问题．当然，熟练地运用集合语言来揭示许多问题有一个理解与掌握的过程.
基础知识积累
1.集合的含义： ____________________________________________构成一个集合(set).
集合中的___________________称为该集合的元素（element）.简称元.
想一想：找出集合含义中的关键词____________________
思考:1.构成集合的元素是不是只能是数或点？
思考：2.所有的好人能否构成一个集合？
2.集合中元素的特性：
（1）________性.设A 是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）________性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
（3）________性.集合与其中元素的排列次序无关.
你懂吗？想一想为什么？
3.常用数集及其记法：
一般地，
自然数集记作_________
正整数集记作_______或_________
整数集记作_______有理数记作_________
实数集记作_________
一定要牢记呦！
4.元素与集合的关系：
如果a是集合A的元素，就记作_________；读作“_____________”；
如果a不是集合A的元素，就记作___________读作“______________”.
课前基础演练
题1．下列说法正确的是 (　 　)
A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B．由1，2，3和，1，组成的集合不一样
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
题2．设M是所有偶数组成的集合，则 (　　)
A．3∈M B．1∈M C．2∈M D．0 M
题3．英文短语“open the door to”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是 (　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
题4．(多选)下列表述正确的是 (　 　)
A．0∈N B．∈Z C．∈Z D．π Q
题5．用“∈”或“ ”填空．
4．9________N；－1________Z；0.5________R；________N*；________Q.
题6．已知集合A含有三个元素0，1，x－2，则实数x不能取的值是________．
题7．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件．
(2)若－2∈A，求实数x.
当堂巩固训练
一、单选题
题8．下列各组对象能组成集合的个数是 (　　)
(1)到2021年底中国发射的所有卫星；
(2)无限接近零的数；
(3)方程x2－2x－3＝0的所有解；
(4)平面直角坐标系中，第一象限内的所有点．
A．1 B．2 C．3 D．4
题9．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是下面给出的(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
题10．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为 (　　)
A．2 B．2或4 C．4 D．0
题11．已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是 (　　)
A．a可取全体实数
B．a可取除去0以外的所有实数
C．a可取除去3以外的所有实数
D．a可取除去0和3以外的所有实数
二、多选题
题12．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值可以是 (　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
题13．已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是 (　　)
A．－2∈A B．－11 A C．3k2－1∈A D．－34 A
三、填空题
题14．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b____A，ab____A．(填“∈”或“ ”)
题15．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
四、解答题
题16．已知集合A含有3个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值．
课堂巩固拔高
题17.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
题18．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1).
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素．
(2)集合A不可能是单元素集．
综合突破训练
一、选择题
题19．下列三个命题：①集合N中最小的数是1；②－a N，则a∈N；③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中正确命题的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
题20．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为(　　)
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
题21．(多选)下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是 (　　)
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D．P是由满足不等式－1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x(x＋1)(x－1)＝0的解构成的集合
二、填空题
题22．若x∈N，则满足2x－5<0的元素组成的集合中所有元素之和为________．
题23．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含________个元素．
三、解答题
题24．已知集合M中元素z满足：z＝x2－y2，x，y∈N，
验证5和6是否属于集合M.
题25．由实数组成的集合A具有如下性质：若a∈A，b∈A且a(1)若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A；
(2)是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在，请求出集合；若不存在，请说明理由．
编号：001 课题: §1.1.1 集合的概念
目标要求
1、理解集合的含义，知道常用数集及其记法．
2、了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义．
3、掌握集合的三种表示方法----列举法，描述法及图象法，并能正确地表示一些简单的集合．
重点难点
重点：理解集合的含义；
难点：集合的表示法．
学科素养目标
集合是语境的要素．集合语言是近现代数学的基础，利用它可以简洁、准确地表述数学．因此，“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容，也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境．学习“集合”这一章，需从观念上把握六个字: 语言，工具，渐进．要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成，并能运用集合语言来简洁地描述问题．当然，熟练地运用集合语言来揭示许多问题有一个理解与掌握的过程.
基础知识积累
1.集合的含义： 一定范围内某些确定的、不同的对象的全体__构成一个集合(set).
集合中的_每一个对象__称为该集合的元素（element）.简称元.
想一想：找出集合含义中的关键词__确定的、不同的___
思考:1.构成集合的元素是不是只能是数或点？
【答】 不是.集合中的研究对象所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等
思考：2.所有的好人能否构成一个集合？
【答】 不能构成集合.因为“所有的好人”是不确定的对象
2.集合中元素的特性：
（1）__确定__性.设A 是一个给定的集合，x是某一元素，则x是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）__互异__性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
（3）__无序__性.集合与其中元素的排列次序无关.
你懂吗？想一想为什么？
3.常用数集及其记法：
一般地，
自然数集记作____
正整数集记作____或___
整数集记作___有理数记作___
实数集记作__
一定要牢记呦！
4.元素与集合的关系：
如果a是集合A的元素，就记作__；读作“_属于集合A_”；
如果a不是集合A的元素，就记作___读作“_不属于集合A _”.
课前基础演练
题1．下列说法正确的是 (　 　)
A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合
B．由1，2，3和，1，组成的集合不一样
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
【解析】选C.A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．由集合的定义知，选项C正确．
题2．设M是所有偶数组成的集合，则 (　　)
A．3∈M B．1∈M C．2∈M D．0 M
【解析】选C.因为2是偶数，所以2是集合M中的元素，即2∈M.
题3．英文短语“open the door to”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是 (　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
【解析】选B.根据集合中元素的互异性可知，“open the door to”中的不同字母共有“o，p，e，n，t，h，d，r”8个，故该集合的元素个数为8.
题4．(多选)下列表述正确的是 (　 　)
A．0∈N B．∈Z C．∈Z D．π Q
【解析】选AD.因为N，Z，Q分别表示自然数集、整数集、有理数集.0是自然数，不是整数，不是整数，π不是有理数，所以0∈N和π Q正确．
题5．用“∈”或“ ”填空．
4．9________N；－1________Z；0.5________R；________N*；________Q.
【解析】因为4.9不是自然数，故4.9 N；因为－1是整数，故－1∈Z；
因为0.5是实数，故0.5∈R；因为不是正整数，
故 N*；因为是有理数，故∈Q.
答案： 　∈　∈　 　∈
题6．已知集合A含有三个元素0，1，x－2，则实数x不能取的值是________．
【解析】根据集合中元素的互异性可知：
x－2≠0且x－2≠1，所以实数x不能取的值是2，3.
答案：2，3
题7．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件．
(2)若－2∈A，求实数x.
【解析】(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解得x≠－1且x≠0且x≠3.
(2)因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2.
当堂巩固训练
一、单选题
题8．下列各组对象能组成集合的个数是 (　　)
(1)到2021年底中国发射的所有卫星；
(2)无限接近零的数；
(3)方程x2－2x－3＝0的所有解；
(4)平面直角坐标系中，第一象限内的所有点．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.(1)能．因为到2021年底中国发射的所有卫星是确定的．
(2)不能．因为“无限接近”标准不明确，不具有确定性，不能构成集合．
(3)能．因为方程x2－2x－3＝0的解为x1＝3，x2＝－1确定，所以可以组成集合，集合中有两个元素3和－1.
(4)能．因为第一象限内的点是确定的点．
题9．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是下面给出的(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】选D.由元素的互异性知a，b，c均不相等．故D符合题意．
题10．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为 (　　)
A．2 B．2或4 C．4 D．0
【解析】选B.集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，有6－a∈A，a＝2∈A，6－a＝4∈A，
所以a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，所以a＝4.
综上所述，a＝2或4.
题11．已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是 (　　)
A．a可取全体实数
B．a可取除去0以外的所有实数
C．a可取除去3以外的所有实数
D．a可取除去0和3以外的所有实数
【解析】选D.因为2a∈A，a2－a∈A，所以2a≠a2－a.
所以a(a－3)≠0.所以a≠0且a≠3.
二、多选题
题12．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值可以是 (　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
【解析】选BC.由题意，知t∈N且t＝－x2＋1≤1，故t＝0或1.
题13．已知集合A中元素满足x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是 (　　)
A．－2∈A B．－11 A C．3k2－1∈A D．－34 A
【解析】选BC.令3k－1＝－2，解得k＝－，－ Z，所以－2 A；
令3k－1＝－11，解得k＝－，－ Z，所以－11 A；
因为k2∈Z，所以3k2－1∈A；
令3k－1＝－34，解得k＝－11，－11∈Z，所以－34∈A.
三、填空题
题14．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b____A，ab____A．(填“∈”或“ ”)
【解析】因为a∈A，b∈B，所以a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b A，ab∈A.
答案： 　∈
题15．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
【解析】当x＝0时，＝2；当x＝1时，＝3；
当x＝2时，＝6；当x≥3时不符合题意，故集合A中的元素为0，1，2.
答案：0，1，2
四、解答题
题16．已知集合A含有3个元素a－2，2a2＋5a，12，且－3∈A，求a的值．
【解题指南】由－3∈A，分两种情况进行讨论，注意根据集合中元素的互异性进行检验．
【解析】因为－3∈A，
所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，
解得a＝－1或a＝－.
当a＝－1时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，
集合A不满足元素的互异性，所以舍去a＝－1.
当a＝－时，经检验，符合题意．故a＝－.
课堂巩固拔高
题17.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．
【解析】因为a∈A且3a∈A，
所以解得a<2.
又a∈N，所以a＝0或1.
题18．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1).
求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素．
(2)集合A不可能是单元素集．
【证明】(1)若a∈A，则∈A.
又因为2∈A，所以＝－1∈A.
因为－1∈A，所以＝∈A.
因为∈A，所以＝2∈A.
根据集合中元素的互异性可知，A中另外两个元素为－1，，结论得证．
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无实数解．
所以a≠ ，所以集合A不可能是单元素集．
综合突破训练
一、选择题
题19．下列三个命题：①集合N中最小的数是1；②－a N，则a∈N；③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中正确命题的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】选A.根据自然数的特点，显然①③不正确．②中若a＝，则－a N且a N，显然②不正确．
题20．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为(　　)
A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可
【解析】选B.由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0，3，2，符合题意．
题21．(多选)下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是 (　　)
A．P是由元素1，，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合
D．P是由满足不等式－1≤x≤1的整数构成的集合，Q是由方程x(x＋1)(x－1)＝0的解构成的集合
【解析】选AD.由于A，D中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B，C中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．
二、填空题
题22．若x∈N，则满足2x－5<0的元素组成的集合中所有元素之和为________．
【解析】由2x－5<0，得x<，又x∈N，所以x＝0，1，2，故所有元素之和为3.
答案：3
题23．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含________个元素．
【解析】当x>0时，x＝|x|＝，－＝－x<0，
此时集合共有2个元素，当x＝0时，x＝|x|＝＝－＝－x＝0，此时集合共有1个元素，
当x<0时，＝|x|＝－＝－x，此时集合共有2个元素，综上，此集合最多有2个元素．
答案：2
三、解答题
题24．已知集合M中元素z满足：z＝x2－y2，x，y∈N，
验证5和6是否属于集合M.
【解析】因为5＝32－22，所以5∈M.
设6∈M，则6＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)，而6＝2×3＝1×6，
则说明和中一个为偶数，另一个为奇数．另外，又有＋＝2x是偶数，这说明和必同为偶数或同为奇数，矛盾．故6 M.
题25．由实数组成的集合A具有如下性质：若a∈A，b∈A且a(1)若集合A恰有两个元素，且有一个元素为，求集合A；
(2)是否存在一个含有元素0的三元素集合A；若存在，请求出集合；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)集合A恰有两个元素且∈A.不妨设集合A＝，
当x<时，由集合A的性质可知，1＋∈A，则1＋＝x或1＋＝，
解得x＝4(舍)或x＝，所以集合A＝；
当x>时，由集合A的性质可知，1＋∈A，
则1＋＝x或1＋＝，
解得x＝或x＝(舍)或x＝4，
所以集合A＝或A＝.
综上所述：A＝，A＝或A＝.
(2)假设存在一个含有元素0的三元素集合A＝{0，a，b}，即0∈A，当0>a时，则1＋无意义，当0>b时，则1＋无意义，
所以00且x≠1)，
当x>1时，由题意可知，1＋∈A.
若1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝或x＝(舍)，此时集合A＝；
若1＋＝1，则＝0不成立；
若1＋＝0，即x＝－1(舍).
当0若1＋x＝0，则x＝－1(舍)，若1＋x＝1，
则x＝0(舍)，若1＋x＝x，则1＝0不成立．
综上所述，集合A是存在的，A＝.
PAGE