2021-2022学年苏教版（2019）高中数学必修第一册第一章第一节第2课时《集合的表示》（学生版 教师版）

编号：002 课题: §1.1.2 集合的表示
目标要求
1、理解集合的含义，知道常用数集及其记法．
2、了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义．
3、掌握集合的三种表示方法----列举法，描述法及图象法，并能正确地表示一些简单的集合．
重点难点
重点：理解集合的含义；
难点：集合的表示法．
学科素养目标
集合是语境的要素．集合语言是近现代数学的基础，利用它可以简洁、准确地表述数学．因此，“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容，也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境．学习“集合”这一章，需从观念上把握六个字: 语言，工具，渐进．要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成，并能运用集合语言来简洁地描述问题．当然，熟练地运用集合语言来揭示许多问题有一个理解与掌握的过程.
基础知识积累
1.集合的常用表示方法：
（1）列举法
将集合的元素__________出来，并________________________表示集合的方法叫列举法.
元素之间要用________分隔，但列举时与__________________无关.
试一试
举个例子____________________________________________
（2）描述法
将集合的所有元素都具有性质_具体清楚地_表示出来，写成__的形式,称之为描述法.
注：中为集合的代表元素，指元素具有的性质.
如：为中国的直辖市},
问：还有其它表示集合的方法吗？
（3）图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.
试一试
举个例子__________________________________________________________
2.集合相等
如果两个集合A，B所含的元素__完全相同_， 则称这两个集合相等，记为：________
3.集合的分类：
按所含元素的多少来分：
（1）____________________________________叫做有限集；
（2）____________________________________叫做无限集；
（3） ___________________________________叫做空集，记作__________.
试一试
举个空集的例子_________________________________________
议一议
与{}是一样的吗
与{0}是一样的吗
课前基础演练
题1．已知集合A＝{x|－1≤x<4，x∈Z}，则集合A中元素的个数为 (　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
题2．给出下列集合，
(1){0}．(2){x|x>7且x<1}．(3){x|x>4}．(4){x|x2－2＝0，x∈Z}．
其中空集的个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
题3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示 (　　)
A．方程y＝2x－1 B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的点组成的集合 D．函数y＝2x－1图象上的点组成的集合
题4．已知a∈，则实数a的值为________．
题5．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
题6．函数y＝的自变量的值组成的集合为________．
题7．设x，y为实数，已知A＝{x，y}，B＝{0，x2}，且A＝B，求x，y的值．
当堂巩固训练
一、单选题
题8．方程组的解集不可表示为 (　　)
A． 　　 B．
C．{1，2} 　　 D．{(1，2)}
题9．下列集合表示同一集合的是 (　　)
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
C．M＝{4，5}，N＝{5，4} D．M＝{1，2}，N＝{(1，2)}
题10．设集合B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若1∈B，则B＝ (　　)
A． B． C． D．
题11．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
题12．下列选项中是集合A＝{(x，y)|x＝，y＝，k∈Z}中的元素的是(　　)
A． B． C．(3，4) D．(4，3)
题13．设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，则集合B中元素的个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
题14．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是 (　　)
A．{x|x是小于18的正奇数} B．{x|x＝4k＋1，k∈N，且k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5} D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}
题15．已知x，y为非零实数，则是集合M＝中的元素的是 (　　)
A．0 B．－1 C．1 D．3
三、填空题
题16．若集合A＝{－1，1}，B＝{0，2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为________．
巩固训练拔高
题17.用列举法表示集合{(x，y)|(x＋1)2＋|y－1|＝0，x，y∈R}为________．
题18．－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
四、解答题
题19．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合．
(2)24的正因数组成的集合．
(3)自然数的平方组成的集合．
(4)由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
题20．求方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集．
综合突破训练
一、选择题
题21．下面集合与实数集R相等的是 (　　)
A．{x|y＝x2＋1} B．{y|y＝x2＋1} C．{(x，y)|y＝x2＋1} D．{y＝x2＋1}
题22．设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x||x|＝y＋2，y∈A}，则集合B是 (　　)
A．{－4，4} B．{－4，－1，1，4} C．{0，1} D．{－1，1}
题23．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝(　　)
A．120 B．201 C．210 D．12
题24．(多选)下列各组中的M，P是相等集合的是 (　　)
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝－1}，P＝{t|t＝－1}
D．集合M＝{m|m＋1≥5，m∈R}，P＝{y|y＝x2＋2x＋5，x∈R}
二、填空题
题25．若A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，用列举法表示A B＝{2a－b|a∈A，b∈B}＝________．
题26．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}＝{2}，则p＝________，q＝________．
题27．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，a∈R，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．
题28．用适当的方法表示下列集合：
(1)B＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；
(2)不等式3x－7≥8－2x的解集；
(3)坐标平面内抛物线y＝x2上的点的集合；
(4)A＝.
三、解答题
题29．设A表示集合{2，3，a2＋2a－3}，B表示集合{|a＋3|，2}，若5∈A且5 B，求实数a的值．
素养培优训练
一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
题30．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为 (　　)
A．{x|x＝2} B．{x|x＝1或x＝－2} C．{x|x＝1} D．{1，2}
题31．下列四个集合中，不同于另外三个的是 (　　)
A．{y|y＝2} B．{x＝2} C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
题32．设集合A＝{－1，1，2}，集合B＝{x|x∈A且2－x A}，则B＝ (　　)
A．{1} B．{2} C．{－1，2} D．{1，2}
题33．由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则 (　　)
A．a∈A B．a2∈A C． A D．a＋1 A
题34．已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为 (　　)
A．147 B．140 C．130 D．117
题35．定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B中的所有元素之和为 (　　)
A．21 B．18 C．14 D．9
题36．(多选)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，下列结论中正确的是 (　　)
A．2 020∈[1] B．－3∈[3]
C．若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]
D．若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”
题37．(多选)设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题正确的是 (　　)
A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集
C．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集 D．若S为封闭集，则一定有0∈S
题38．(多选)若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.则称集合A是“好集”．下列说法正确的是 (　　)
A．集合B＝{－1，0，1}是好集 B．有理数集Q是“好集”
C．设集合A是“好集”，若x，y∈A，则x＋y∈A
D．设集合A是“好集”，若x，y∈A，且xy≠0，则必有∈A
二、填空题(每小题5分，共15分)
题39．用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点构成的集合为________，其中整点(横坐标、纵坐标都是整数的点)个数为________．
题40．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
题41．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}中至多有一个元素，则a的取值范围为________；若至少有一个元素，则a的取值范围为________．
三、解答题(每小题10分，共30分)
题42．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B.
题43．对于a，b∈N*，现规定：
a*b＝
集合M＝{(a，b)|a*b＝36，a，b∈N*}．
(1)用列举法表示a，b奇偶性不同时的集合M；
(2)当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少元素？
题44．设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.
(1)请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；
(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；
(3)满足条件的集合S总共有多少个？
编号：002 课题: §1.1.2 集合的表示
目标要求
1、理解集合的含义，知道常用数集及其记法．
2、了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义．
3、掌握集合的三种表示方法----列举法，描述法及图象法，并能正确地表示一些简单的集合．
重点难点
重点：理解集合的含义；
难点：集合的表示法．
学科素养目标
集合是语境的要素．集合语言是近现代数学的基础，利用它可以简洁、准确地表述数学．因此，“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容，也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境．学习“集合”这一章，需从观念上把握六个字: 语言，工具，渐进．要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成，并能运用集合语言来简洁地描述问题．当然，熟练地运用集合语言来揭示许多问题有一个理解与掌握的过程.
基础知识积累
1.集合的常用表示方法：
（1）列举法
将集合的元素_一一列举_出来，并_置于花括号“{ }”内__表示集合的方法叫列举法.
元素之间要用__逗号_分隔，但列举时与_元素的次序无关__无关。
试一试
举个例子____{北京、上海、天津、重庆}____
（2）描述法
将集合的所有元素都具有性质_具体清楚地_表示出来，写成__的形式,称之为描述法.
注：中为集合的代表元素，指元素具有的性质.
如：为中国的直辖市},
问：还有其它表示集合的方法吗？
（3）图示法（Venn图）：用平面上封闭曲线的内部代集合.
试一试
举个例子__，或，或__
2.集合相等
如果两个集合A，B所含的元素__完全相同_， 则称这两个集合相等，记为：___
3.集合的分类：
按所含元素的多少来分：
（1） 含有有限个元素的集合__叫做有限集；
（2）_含有无限个元素的集合__叫做无限集；
（3） 不含任何元素的集合__叫做空集，记作____.
试一试
举个空集的例子_______
议一议
与{}是一样的吗
答：不一样. 是不含任何元素的集合，而含有元素的集合.
与{0}是一样的吗
答：不一样. 是不含任何元素的集合，而含有元素的集合.
课前基础演练
题1．已知集合A＝{x|－1≤x<4，x∈Z}，则集合A中元素的个数为 (　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】选C.因为－1≤x<4，x∈Z，所以x＝－1，0，1，2，3，所以集合A＝{－1，0，1，2，3}共有5个元素．
题2．给出下列集合，
(1){0}．(2){x|x>7且x<1}．(3){x|x>4}．(4){x|x2－2＝0，x∈Z}．
其中空集的个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选B.满足x>7且x<1的实数不存在，
故{x|x>7且x<1}＝ .
因为x2－2＝0的解为±，不是整数，
所以{x|x2－2＝0，x∈Z}＝ .
另外两个集合显然不是空集．故空集的个数为2.
题3．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示 (　　)
A．方程y＝2x－1 B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的点组成的集合 D．函数y＝2x－1图象上的点组成的集合
【解析】选D.集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，满足的关系式为y＝2x－1，因此集合表示的是函数y＝2x－1图象上的点组成的集合．
题4．已知a∈，则实数a的值为________．
【解析】由题意得，a＝1或a＝，
当a＝1时，＝1不满足集合中元素的互异性；
当a＝时，a＝0或a＝1，
经检验，a＝0符合题意，综上可知，a＝0.
答案：0
题5．由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
【解析】大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，
用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是－1答案：{0，1，2，3，4}　{x|－1题6．函数y＝的自变量的值组成的集合为________．
【解析】函数y＝的自变量应满足x≠1，组成的集合用描述法可表示为{x∈R|x≠1}．
答案：{x∈R|x≠1}
题7．设x，y为实数，已知A＝{x，y}，B＝{0，x2}，且A＝B，求x，y的值．
【解析】因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
(1)当x＝0时，x2＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.
由(1)知x＝0应舍去．
综上知：x＝1，y＝0.
当堂巩固训练
一、单选题
题8．方程组的解集不可表示为 (　　)
A． 　　 B．
C．{1，2} 　　 D．{(1，2)}
【解析】选C.方程组的解应是有序数对，C是数集，不能作为方程组的解．
题9．下列集合表示同一集合的是 (　　)
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
C．M＝{4，5}，N＝{5，4} D．M＝{1，2}，N＝{(1，2)}
【解析】选C.对于A，两个集合中的元素不同；对于B，一个集合中元素是点，一个集合中元素是实数，故不同；对于C，列举法表示集合时，与元素顺序无关，故是相同的集合；对于D，两个集合中，一个元素是数，一个元素是点，故不同．
题10．设集合B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若1∈B，则B＝ (　　)
A． B． C． D．
【解析】选A.因为集合B＝{x|x2－4x＋m＝0}，
1∈B，所以1－4＋m＝0，解得m＝3.
所以B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．
题11．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选D.由题意得，－1≤x≤1，－1≤y≤1，x∈Z，y∈Z，A＝{(0，1)，(1，0)，(－1，0)，(0，－1)}，所以A中元素的个数为4.
题12．下列选项中是集合A＝{(x，y)|x＝，y＝，k∈Z}中的元素的是(　　)
A． B． C．(3，4) D．(4，3)
【解析】选D.易验证A，B，C不符合题意，当k＝12时，x＝＝4，y＝＝3，所以(4，3)是集合A中的元素．
题13．设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，则集合B中元素的个数为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选C.由于集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，因为0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，所以B＝{0，1，2}．故集合B中元素的个数为3.
二、多选题
题14．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是 (　　)
A．{x|x是小于18的正奇数} B．{x|x＝4k＋1，k∈N，且k<5}
C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5} D．{x|x＝4s－3，s∈N*，且s≤5}
【解析】选BD.A中小于18的正奇数除给定集合中的元素外，还有3，7，11，15；C中集合当t＝0时多了－3这个元素，BD正确．
题15．已知x，y为非零实数，则是集合M＝中的元素的是 (　　)
A．0 B．－1 C．1 D．3
【解析】选BD.当x>0，y>0时，m＝3；当x<0，y<0时，m＝－1；当x>0，y<0时，m＝－1；当x<0，y>0时，m＝－1.故M中元素有－1，3.
三、填空题
题16．若集合A＝{－1，1}，B＝{0，2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为________．
【解析】当x，y从A，B中取值时，z可以为－1，1，3，共3个．
答案：3
巩固训练拔高
题17.用列举法表示集合{(x，y)|(x＋1)2＋|y－1|＝0，x，y∈R}为________．
【解析】因为(x＋1)2≥0，|y－1|≥0，
所以(x＋1)2＝0且|y－1|＝0，故有x＝－1且y＝1，因此答案为{(－1，1)}．
答案：{(－1，1)}
题18．－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
【解析】把－5代入方程x2－ax－5＝0得a＝－4，将a＝－4代入方程x2－4x－a＝0得x2－4x＋4＝0，
故集合为{2}，所有元素之和为2.
答案：2
四、解答题
题19．用适当的方法表示下列集合：
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合．
(2)24的正因数组成的集合．
(3)自然数的平方组成的集合．
(4)由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
【解析】(1)用描述法表示为{x|2(2)用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．
(3)用描述法表示为{x|x＝n2，n∈N}．
(4)用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．
题20．求方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集．
【解析】x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，
所以方程的解为x＝1或x＝a.
若a＝1，则方程的解集为{1}；
若a≠1，则方程的解集为{1，a}．
综合突破训练
一、选择题
题21．下面集合与实数集R相等的是 (　　)
A．{x|y＝x2＋1} B．{y|y＝x2＋1} C．{(x，y)|y＝x2＋1} D．{y＝x2＋1}
【解析】选A.集合{x|y＝x2＋1}表示的是二次函数y＝x2＋1中自变量x的取值范围，故{x|y＝x2＋1}＝R.
题22．设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x||x|＝y＋2，y∈A}，则集合B是 (　　)
A．{－4，4} B．{－4，－1，1，4} C．{0，1} D．{－1，1}
【解析】选B.解集合A中方程x2－x－2＝0，得到x＝2或x＝－1，因为y∈A，即y＝2或y＝－1，得|x|＝y＋2＝4或|x|＝y＋2＝1，
故x＝±4或x＝±1，所以集合B＝{－4，－1，1，4}．
题23．已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c＝(　　)
A．120 B．201 C．210 D．12
【解析】选B.若只有①正确，则c＝0，a＝1，b＝2与②矛盾；若只有②正确，则b＝2，a＝2，c＝0与a≠b矛盾；若只有③正确，则a＝2，c＝1，b＝0符合题意．所以100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
题24．(多选)下列各组中的M，P是相等集合的是 (　　)
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)} B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝－1}，P＝{t|t＝－1}
D．集合M＝{m|m＋1≥5，m∈R}，P＝{y|y＝x2＋2x＋5，x∈R}
【解析】选CD.在A中，M＝{3，－1}是数集，P＝{(3，－1)}是点集，二者不是相等集合；在B中，M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}表示的不是相等点的集合，二者不是相等集合；在C中，M＝{y|y＝－1}＝{y|y≥－1}，
P＝{t|t＝－1}＝{t|t≥－1}，二者表示相等集合；在D中，M＝{m|m≥4，m∈R}，即M中元素为大于或等于4的所有实数，P＝{y|y＝(x＋1)2＋4，x∈R}，y＝(x＋1)2＋4≥4，所以P中元素也为大于或等于4的所有实数，故M，P表示相等集合．
二、填空题
题25．若A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，用列举法表示A B＝{2a－b|a∈A，b∈B}＝________．
【解析】因为A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，
又A B＝{2a－b|a∈A，b∈B}，
所以A B＝{－3，－1，1，3}．
答案：{－3，－1，1，3}
题26．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝0}＝{2}，则p＝________，q＝________．
【解析】由得
答案：－4　4
题27．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，a∈R，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．
【解析】因为4∈A，所以16－12＋a＝0，
所以a＝－4，所以A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1，4}．
答案：{－1，4}
题28．用适当的方法表示下列集合：
(1)B＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N*，y∈N*}；
(2)不等式3x－7≥8－2x的解集；
(3)坐标平面内抛物线y＝x2上的点的集合；
(4)A＝.
【解析】(1)因为x＋y＝4，x∈N*，y∈N*，
所以或或
所以B＝{(1，3)，(2，2)，(3，1)}．
(2)由3x－7≥8－2x，可得x≥3，
所以不等式3x－7≥8－2x的解集为{x|x≥3}．
(3){(x，y)|y＝x2}．
(4)因为∈N，x∈N，
所以当x＝0，6，8这三个自然数时，＝1，3，9也是自然数，所以A＝{0，6，8}．
三、解答题
题29．设A表示集合{2，3，a2＋2a－3}，B表示集合{|a＋3|，2}，若5∈A且5 B，求实数a的值．
【解析】因为5∈A，且5 B，
所以解得故a＝－4.
素养培优训练
一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
题30．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为 (　　)
A．{x|x＝2} B．{x|x＝1或x＝－2} C．{x|x＝1} D．{1，2}
【解析】选C.方程x2＋x－2＝0的解为x＝1或x＝－2.由于x∈N，所以x＝－2舍去．
题31．下列四个集合中，不同于另外三个的是 (　　)
A．{y|y＝2} B．{x＝2} C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0}
【解析】选B.{x＝2}表示的是一个等式组成的集合．
题32．设集合A＝{－1，1，2}，集合B＝{x|x∈A且2－x A}，则B＝ (　　)
A．{1} B．{2} C．{－1，2} D．{1，2}
【解析】选C.集合B＝{x|x∈A且2－x A}，集合A＝{－1，1，2}，当x＝－1时，可得2－(－1)＝3 A；当x＝1时，可得2－1＝1∈A；当x＝2时，可得2－2＝0 A.综上B＝{－1，2}．
题33．由不超过5的实数组成集合A，a＝＋，则 (　　)
A．a∈A B．a2∈A C． A D．a＋1 A
【解析】选A.a＝＋<＋＝4<5，
所以a∈A.a＋1<＋＋1＝5，所以a＋1∈A，
a2＝()2＋2×＋()2＝5＋2>5，所以a2 A，
＝＝＝－<5，所以∈A.
题34．已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2，3，5}，则集合T＝{xy|x∈P，y∈Q}中元素的个数为 (　　)
A．147 B．140 C．130 D．117
【解析】选B.由题意得，y的取值一共有3种情况，当y＝2时，xy是偶数，不与y＝3，y＝5时有相同的元素；当y＝3，x＝5，15，25，…，95时，与y＝5，x＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140.
题35．定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B中的所有元素之和为 (　　)
A．21 B．18 C．14 D．9
【解析】选C.因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，
所以A*B＝{2，3，4，5}，所以A*B中的所有元素之和为：2＋3＋4＋5＝14.
题36．(多选)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，下列结论中正确的是 (　　)
A．2 020∈[1] B．－3∈[3]
C．若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]
D．若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”
【解析】选CD.对于A，因为2 020÷5＝404，所以2 020 [1]，A不正确；
对于B，因为－3＝－5＋2，即－3被5除余2，所以－3 [3]，B不正确；
对于C，设a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)，能被5整除，所以a－b∈[0]，C正确；
对于D，设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0，1，2，3，4，
则a＝5n＋5m＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，k＝0，1，2，3，4，所以a，b属于同一“类”， D正确．
题37．(多选)设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题正确的是 (　　)
A．自然数集N为封闭集 B．整数集Z为封闭集
C．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集 D．若S为封闭集，则一定有0∈S
【解析】选BCD.A：对于自然数集N，如：3－5＝－2 N，故不是封闭集．
B：整数集Z，任何x，y∈Z，都有x＋y，x－y，xy∈Z成立，是封闭集．
C：S＝a＋b且a，b∈Z，即令a1＋b1∈S，a2＋b2∈S且a1，b1，a2，b2∈Z，有(a1＋a2)＋(b1＋b2)∈S，(a1－a2)＋(b1－b2)∈S，(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈S，是封闭集．
D：S为封闭集，若x∈S，则x－x＝0∈S，正确．
题38．(多选)若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.则称集合A是“好集”．下列说法正确的是 (　　)
A．集合B＝{－1，0，1}是好集 B．有理数集Q是“好集”
C．设集合A是“好集”，若x，y∈A，则x＋y∈A
D．设集合A是“好集”，若x，y∈A，且xy≠0，则必有∈A
【解析】选BCD.A中，因为集合B＝{－1，0，1}，
当x＝－1，y＝1时，x－y A，故B不是“好集”，故错误；
B中，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，∈Q.所以有理数集Q是“好集”，故正确；
C中，因为集合A是“好集”，所以0∈A.若x，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A.所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A，故正确；
D中，因为集合A是“好集”，若x，y∈A，且xy≠0，则∈A，∈A，故－＝∈A，故正确．
二、填空题(每小题5分，共15分)
题39．用描述法表示图中阴影部分(含边界)的点构成的集合为________，其中整点(横坐标、纵坐标都是整数的点)个数为________．
【解析】阴影部分的点P(x，y)的横坐标x的取值范围为－1≤x≤3，纵坐标y的取值范围为0≤y≤3.故所求集合可以表示为{(x，y)| －1≤x≤3，且0≤y≤3}，其中整点为(3，3)，(3，2)，(3，1)，(3，0)，(2，3)，(2，2)，(2，1)，(2，0)，(1，3)，(1，2)，(1，1)，(1，0)，(0，3)，(0，2)，(0，1)，(0，0) ，(－1，3)，(－1，2)，(－1，1)，(－1，0)，共20个．
答案：{(x，y)| －1≤x≤3，且0≤y≤3}　20
题40．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．
【解析】因为A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，所以B＝{(1，1)}，所以集合B中只有一个元素．
答案：1
题41．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}中至多有一个元素，则a的取值范围为________；若至少有一个元素，则a的取值范围为________．
【解析】由题意可知：当A中仅有一个元素时， a＝0或a≠0且Δ＝9－8a＝0，解得： a＝0，a＝；
当A中有0个元素时，a≠0且Δ＝9－8a<0，解得： a>；当A中有两个元素时， a≠0且Δ＝9－8a>0，解得：a<且a≠0；
所以，集合A中至多有一个元素时a的取值范围为；集合A中至少有一个元素时a的取值范围为.
答案：　
三、解答题(每小题10分，共30分)
题42．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B.
【思路导引】集合A，B都表示关于x的一元二次方程的解组成的集合，而A已知，可根据根与系数的关系确定a和b的值，再解集合B中的方程，从而求出B中的元素．
【解析】集合A中的方程为x2－ax＋b－x＝0，
整理得x2－(a＋1)x＋b＝0.因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1.
由根与系数的关系，得
解得所以集合B中的方程为x2＋6x－3＝0，
解得x＝－3±2，
所以B＝{－3－2，－3＋2}．
题43．对于a，b∈N*，现规定：
a*b＝
集合M＝{(a，b)|a*b＝36，a，b∈N*}．
(1)用列举法表示a，b奇偶性不同时的集合M；
(2)当a与b的奇偶性相同时集合M中共有多少元素？
【解析】(1)a*b＝36，a，b∈N*，
a和b一奇一偶，则ab＝36，
故M＝{(1，36)，(36，1)，(3，12)，(12，3)，(4，9)，(9，4)}．
(2)a*b＝36，a，b∈N*，
a和b同奇偶，则a＋b＝36，满足此条件的有1＋35＝2＋34＝3＋33＝4＋32＝…＝18＋18，
故点(a，b)有35个，所以集合M中元素的个数为35.
题44．设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10－x∈S.
(1)请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；
(2)是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；
(3)满足条件的集合S总共有多少个？
【解析】(1)若集合S中只有一个元素，则只需满足x＝10－x，故x＝5，则S＝；
若集合S中有两个元素，则S＝符合条件；
若集合S中有三个元素，则S＝符合条件．(答案不唯一)
(2)存在，一共有四个：S＝或S＝或S＝或
S＝.
(3)由题意可知，集合S中元素的个数可以为1，2，3，4，5，6，7，8，9个，
当集合S中元素的个数为偶数时：
S含有2个元素时，只需在1，9；2，8；3，7；4，6这四对中任选一对，则S共有4个；
S含有4个元素时，只需在1，9；2，8；3，7；4，6这四对中任选两对，则S共有6个；
S含有6个元素时，只需在1，9；2，8；3，7；4，6这四对中任选三对，则S共有4个；
S含有8个元素时，则S共有1个，
所以当集合S中元素的个数为偶数时，满足条件的集合S共有15个，
同理可知，当S中元素个数分别为3，5，7，9时，符合条件的集合S也为15个；
由(1)可知，当S中只有一个元素时，S只有一个，
综上所述，符合条件的S共有31个．
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