4.1 平方根 培优训练 2021-2022学年苏科版八年级数学上册（Word版含答案）

4.1平方根培优
考点一：算数平方根的非负性
若，则的值是
A. B. C. D.
实数、满足，则的值为
A. B. C. D.
若，则的值为
A. B. C. D.
已知的三边，，满足，则的面积为
A. B. C. D.
已知三边为，满足，则是
A. 以为斜边的直角三角形 B. 以为斜边的直角三角形以
C. 以为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形
已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为
A. 或 B.
C. D. 以上答案都不对
考点二：利用平方根解方程
求下列各式中的．

求出下列的值．
；
求下列各式中的值．
．
解方程：
．
求下列的值
； ．
求下列各式中的值：
； ．
考点三：平方根的应用
若与都是正数的平方根，求的值和这个正数的值．
一个正数的平方根是与，求和的值．
若一个正数的两个平方根分别为和，求的值．
某数的平方根为和．
求的值；
求这个数的平方根．
如果一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数．
如果的平方根是，的平方根是，求的值．
考点四：与平方根有关的找规律
先完成下列表格：
______ ______ ______
由上表你发现什么规律？
根据你发现的规律填空：
已知则____________
已知，则______
喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”例：，，这三个数，，，，其结果分别为，，，都是整数，所以，，三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是，最大算术平方根是．
请证明，，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根．
已知，，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，求的值．
小明是一位善于思考、勇于创新的同学在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根比如：没有一个数的平方等于，没有平方根有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了进一步，小明想：，的平方根就是．，的平方根就是．
请你根据上面的信息解答下列问题：
求，的平方根
求，，，，，的值，你发现了什么规律将你发现的规律用式子表示出来．
阅读材料

解决问题
填空：的小数部分是________；
已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式 的值；
已知：是的整数部分，是其小数部分，请直接写出的相反数．
观察下列各式及其验证过程：
验证：．
验证：
按照上述两个等式，猜想的变形结果，并验证．
针对上述各式反映的规律，写出用表示的等式指出的范围，并证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查乘方和二次根式的非负性，利用乘方的非负性和二次根式的非负性，可得：
，，然后将和代入代数式求解即可．
【解答】
解：，，
解得
．
故选A．

2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查绝对值及算术平方根的非负性，求代数式的值，根据绝对值和算术平方根的非负性可求解，的值，代入即可求解．
【解答】
解：由题意得，，
解得，，
则．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，三角形的面积，关键是根据非负数的性质确定字母的值先根据非负数的性质得出字母的值，然后利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，最后利用三角形的面积计算可得结果．
【解答】
解：根据非负数的性质可得，，，
解得，，，
，
是直角三角形，
的面积是．
故选A．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．
首先根据非负数的性质求出，，的值，再根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．
【解答】
解：，
，
，，，
，
是以为斜边的直角三角形．
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
利用非负数的性质求出、，再根据三角形的三边关系定理确定等腰三角形的三边即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质、三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
【解答】
解：，
又，，
，
，，
，，，不可能构成三角形，
，，，构成三角形，
以，的值为两边长的等腰三角形的周长为，
故选：．
7.【答案】解：，
，
则，
或；
，
，
解得：或．
【解析】本题考查了平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．
先移项，再合并同类项，继而根据平方根的定义计算可得；
先根据平方根的定义开平方，再解方程即可得．
8.【答案】解：


，
，
，
或．
【解析】本题考查了平方根的求法，正数有两个平方根，互为相反数，零的平方根为零，负数没有平方根根据平方根的求法解答即可．
9.【答案】解：因为的平方根为，所以
当时，
当时，，
所以的值为或．
移项，得，即，
因为的平方根为，所以或．
【解析】见答案
10.【答案】解：，
，
；
，
，
或．
【解析】本题主要考查的是平方根，解决此题的关键是要熟练掌握平方根的定义．
先把方程进行变形成，然后根据平方根的定义得到的值即可；
根据平方根的定义得到，解一元一次方程即可得到的值．
11.【答案】解：，
，
；
，
或．
【解析】根据平方根的定义即可求出答案．
本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的定义，本题属于基础题型．
12.【答案】解：或
或
【解析】略
13.【答案】解：与都是正数的平方根，而正数的平方根有两个：一正一负，
，
，
此时，这个正数为：．
【解析】根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，列出等式即可得到结果．
本题考查了平方根的定义，分类讨论是本题的关键．
14.【答案】解：一个正数的平方根是与，
，
解得：，
，
．
【解析】根据平方根的定义得出，进而求出的值，即可得出的值．
此题主要考查了平方根的定义，正确把握定义是解题关键．
15.【答案】解：一个正数的两个平方根分别为和，
，
，
．
【解析】根据正数的平方根互为相反数，可得和的关系，根据互为相反数的和为，可得的值，根据平方运算，可得答案．
本题考查了平方根，先根据平方根的和为，求出，再根据平方运算，求出的值．
16.【答案】解：依题意得，
解得；
，
．
故答案为：，、．
【解析】由于一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，由此即可列出方程求解；
把值代入进行计算即可求解．
本题考查了平方根，解一元一次方程，注意分某数的平方根是同一个平方根与两个平方根两种情况讨论求解．
17.【答案】解：根据题意知，
解得：，
这个正数为．
【解析】根据一个正数的平方根互为相反数，可得和的关系，根据互为相反数的和为，可得的值，根据乘方运算可得答案．
此题考查了平方根的性质，解决本题的关键是理解并掌握平方根的性质，题目整体较为简单，适合随堂训练．
18.【答案】解：根据题意知、，
则、，
所以．
【解析】根据平方根的定义得出关于、的方程，求得、的值，代入计算可得．
本题考查了平方根，利用平方根的平方等于被开方数得出方程是解题关键．
19.【答案】，，；
规律是：被开方数的小数点向左或向右每移动两位开方后所得的结果相应的也向左或向右移动位；
，；
；
【解析】
解：
见答案；
，；
；
，．
故答案为：；；．
【分析】
直接利用已知数据开平方得出答案；
利用原数据与开平方后的数据变化得出一般性规律；
利用中发现的规律进而分别得出各数据答案．
此题主要考查了算术平方根，正确发现数据开平方后的变化规律是解题关键．
20.【答案】解：，，，
，，这三个数是“和谐组合”，
最小算术平方根是，最大算术平方根是．
分三种情况讨论：
当时，，
解得不合题意；
当时，，
解得不合题意；
当时，，
解得，
综上所述，的值为．
【解析】本题主要考查了新定义问题及算术平方根，一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．解题中注意使用分类讨论的思想．
对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”；
分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别依据“和谐组合”的定义进行计算即可．
21.【答案】解：，
的平方根是．
，
的平方根是．
，
，
，
，
，
，
规律：，，，是正整数
【解析】见答案
22.【答案】解：；
是的整数部分，是的小数部分，
，
则
，，
．
【解析】
【分析】
本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
由于，可求的整数部分，进一步得出的小数部分；
先求出的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可；
先求出在哪两个整数之间，再求出在哪两个整数之间，即可得出的整数部分和小数部分，求出、的值，再求出的值，取其相反数即可．
解：，
的整数部分是，
的小数部分是．
故答案为；
见答案；
，
，
是的整数部分，是其小数部分，
，，
．
则的相反数为．
故答案为．
23.【答案】解：猜想：．
验证：．
．
证明：．
【解析】根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得到答案．
本题考查算术平方根、规律型问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
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