安徽省合肥市蜀山区行知学校2021-2022学年九年级上册第一次月考数学试题（word解析版）

2022届九年级第一次质量调研检测
数学试题卷
（时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列点中，在反比例函数y＝的图象上的是（　　）
A．.（1，1） B．（﹣3，5） C．.（3，﹣5） D．.（﹣3，﹣5）
2．抛物线y＝3x2，y＝﹣3x2，y＝x2+1共有的性质是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．顶点坐标都是（0，0）
D．在对称轴的右侧y随x的增大而增大
3．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
4．如果x：y＝2：3，则下列各式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．若M（﹣3，y1）、N（1，y2）、P（2，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
6．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
7．矩形的长为x，宽为y，面积为12，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为（　　）
8．下列图形中阴影部分面积相等的是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
9．一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第3.3s B．第4.3s C．第4.6s D．第5.2s
10．如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝x2﹣1上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．二次函数y＝2x2+4x+5的对称轴为 　 　．
12．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为　 　．
13．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上，则点E的坐标是　 　．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x ....... ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 ......
y ....... 24 15 8 3 0 ﹣1 0 3 8 15 ......
观察表中数据，代数式++（a+b+c）（a﹣b+c）的值是　 　；若s、t是两个不相等的实数，当s≤x≤t时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最小值0和最大值24，那么的值是　 　．
解答题（本大题共9小题，15—18题每题8分，19—20题每题10分，21—22题每题10分，23题14分，共90分）
15．已知，求．
16．已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），求该函数表达式。
17．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S．
（1）求S与x之间的函数表达式；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
18．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．求AB的长．
19．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的B处．小丁此次投掷的成绩是多少米？
20．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是（3，6），且AB＝BC．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）直接写出当x取何值时，k1x+b．
21．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（2）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
22．随着国内疫情基本得到控制，旅游业也慢慢复苏，经市场调研发现，某旅游景点未来15天内，旅游人数y与时间x的关系如下表；每张门票z与时间x之间存在如图所示的一次函数关系．（1≤x≤15，且x为整数）
时间x（天） 1 4 7 10 …
人数y（人） 320 350 380 410 …
请结合上述信息解决下列问题：
（1）直接写出y关于x的函数关系式．
（2）求z与时间x函数关系式．
（3）求未来15天中哪一天的门票收入最多，最多是多少？（尽量增加景点的客流量）
23．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝﹣（x﹣2m）2+1﹣m（m是实数）．
（1）当m＝2时，若点A（6，n）在该函数图象上，求n的值．
（2）若二次函数图象的顶点在某条 （A.直线 B.双曲线 C.抛物线）上，且表达式为 .
（3）已知点P（a+1，c），Q（4m﹣7+a，c）都在该二次函数图象上，求证：c≤﹣．
2022届九年级第一次质量调研检测数学试题卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列点中，在反比例函数y＝的图象上的是（　　）
A．.（1，1） B．（﹣3，5） C．.（3，﹣5） D．.（﹣3，﹣5）
【分析】根据反比例函数y＝中，xy＝15对各项逐一判定即可．
【解答】解：∵反比例函数解析式为y＝，
∴xy＝15，
∴点D在反比例函数y＝的图象上，
故选：D．
【点评】本题主要考查的是反比例函数图象上的点的坐标的特征，熟知反比例函数中k＝xy的特定是解题的关键．
2．抛物线y＝3x2，y＝﹣3x2，y＝x2+1共有的性质是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．顶点坐标都是（0，0）
D．在对称轴的右侧y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数的性质解题．
【解答】解：①y＝3x2，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标都是（0，0），对称轴的右侧y随x的增大而增大；
②y＝﹣3x2，开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标都是（0，0），对称轴的右侧y随x的增大而减小；
③y＝x2+1开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标都是（0，1），对称轴的右侧y随x的增大而增大．
故选：B．
【点评】主要考查了二次函数的性质．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），a决定函数的开口方向，a＞0时，开口方向向上，a＜0时，开口方向向下．|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小；|a|越小开口就越大．
3．把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2+3 B．y＝﹣（x+1）2+3
C．y＝﹣（x+1）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣3
【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
【解答】解：抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+3．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
4．如果x：y＝2：3，则下列各式不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的基本性质，可分别设出x和y，分别代入各选项进行计算即可得出结果．
【解答】解：可设x＝2k，y＝3k．通过代入计算，
进行约分，A，B，C都正确；
D不能实现约分，故错误．
故选：D．
【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分．
5．若M（﹣3，y1）、N（1，y2）、P（2，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的符号及函数图象的增减性进行解答即可．
【解答】解：∵函数y＝中k＞0，
∴此函数图象的两个分支分别在一、三象限，
∵﹣3＜0，
∴y1＜0，
∵1＜2，
∴y2＞y3＞0，
∴y2＞y3＞y1．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及反比例函数的性质，根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限是解答此题的关键．
6．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
7．矩形的长为x，宽为y，面积为12，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为（　　）
【分析】首先由矩形的面积公式，得出它的长x与宽y之间的函数关系式，然后根据函数的图象性质作答．注意本题中自变量x的取值范围．
【解答】解：∵矩形的长为x，宽为y，面积为12，
∴xy＝12，
∴y与x之间的函数关系式为y＝（x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的应用以及反比例函数的图象与性质，反比例函数y＝的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
8．下列图形中阴影部分面积相等的是（　　）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，求出4个阴影部分的面积，然后进行比较即可得出结论．
【解答】解：①中直线y＝x+2与坐标轴的交点为（0，2）、（2，0）．
∴三角形的底边长和高都为2
则三角形的面积为×2×2＝2；
②中三角形的底边长为1，当x＝1时，y＝3
∴三角形的高为3
则面积为×1×3＝；
③中三角形的高为1，底边长正好为抛物线与x轴两交点之间的距离
∴底边长＝|x1﹣x2|＝＝2
则面积为×2×1＝1；
④设A的坐标是（x，y），
代入解析式得：xy＝2，
则面积为×2＝1
∴阴影部分面积相等的是③④．
故选：D．
【点评】本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，是一道难度中等的题目．
9．一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第3.3s B．第4.3s C．第4.6s D．第5.2s
【分析】由炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等可知这两点关于对称轴对称，故此可求得求得抛物线的对称轴．
【解答】解：∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴方程为x＝4.5．
∵4.6s最接近4.5s，
∴当4.6s时，炮弹的高度最高．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，利用抛物线的对称性求得对称轴方程是解题的关键．
10．如图，坐标系的原点为O，点P是第一象限内抛物线y＝x2﹣1上的任意一点，PA⊥x轴于点A．则OP﹣PA值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先设P点坐标为（a，a2﹣1），再根据勾股定理计算出OP，然后计算OP﹣PA．
【解答】解：设P点坐标为（a，a2﹣1），则OA＝a，PA＝a2﹣1，
∴OP＝＝＝a2+1，
∴OP﹣PA＝a2+1﹣（a2﹣1）＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了勾股定理．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．二次函数y＝2x2+4x+5的对称轴为 　 　．
【分析】根据二次函数对称轴计算公式x＝﹣计算即可．
【解答】解：二次函数y＝2x2+4x+5的对称轴为：x＝﹣＝﹣1，
故答案为：直线x＝1．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴计算公式x＝﹣是解题关键．
12．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c＝0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x＝﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为　 　．
【分析】根据一元二次方程的一个近似根，得到抛物线与x轴的一个交点，根据抛物线的对称轴，求出另一个交点坐标，得到方程的另一个近似根．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣3.4，0），又抛物线的对称轴为：x＝﹣1，
∴另一个交点坐标为：（1.4，0），
则方程的另一个近似根为1.4．
【点评】本题考查的是用图象法求一元二次方程的近似根，掌握二次函数的对称性和抛物线与x轴的交点与一元二次方程的解的关系是解题的关键．
13．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上，则点E的坐标是　 　．
【分析】易得点B的坐标，设点E的纵坐标为y，可表示出点E的横纵坐标，代入所给反比例函数即可求得点E的纵坐标，也就求得了点E的横坐标．
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，点B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴点B的坐标为（1，1）．
设点E的纵坐标为y，
∴点E的横坐标为（1+y），
∴y×（1+y）＝1，
即y2+y﹣1＝0，
即y＝＝，
∵y＞0，
∴y＝，
∴点E的横坐标为1+＝．
【点评】此题主要考查了反比例函数的比例系数的意义；突破点是得到点B的坐标；用到的知识点为：在反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积等于反比例函数的比例系数．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x ....... ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 ......
y ....... 24 15 8 3 0 ﹣1 0 3 8 15 ......
观察表中数据，代数式++（a+b+c）（a﹣b+c）的值是　 　；若s、t是两个不相等的实数，当s≤x≤t时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最小值0和最大值24，那么的值是　 　．
【分析】（1）将原式变形后得：﹣+（a+b+c）（a﹣b+c），由根与系数的关系而y＝0时，原方程得两根之和﹣＝0+2＝2由上表可知，当x＝1时a+b+c＝﹣1，当x＝﹣1时a﹣b+c＝3，∴很容易计算出其值．
（2）由题意可知s＜t，当y＝0时x＝0或2，当y＝24时，x＝﹣4（不符合题意）或6，就可以求得s、t的对应值，从而求出的值．
【解答】解：（1）原式＝﹣+（a+b+c）（a﹣b+c），当y＝0时，由根与系数的关系及表中的数据得：＝0+2＝2，
a+b+c是x＝1时y的值由表中数据得y＝﹣1，∴a+b+c＝﹣1，
a﹣b+c是x＝﹣1时y的值由表中的数据得y＝3，∴a﹣b+c＝3，
∴原式＝2+（﹣1）×3＝2﹣3＝﹣1；
（2）∵s、t是两个不相等的实数，s≤x≤t，
∴s＜t．
∵当s≤x≤t时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）有最小值0和最大值24，
∴由表中的数据可知y＝0时，x＝0或2，当y＝24时，x＝﹣4或6，
∴s＝﹣4，t＝0；s＝2，t＝6
∵s＝﹣4，t＝2时y的最小值为﹣1．抛物线经过（﹣3，1），抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），
∴最小值为﹣1，（舍去）
∴＝1或2．
故答案为：1或2．
【点评】本题是一道关于二次函数的综合试题，考查了抛物线图象的对称性，二次函数的极值，二次函数与一元二次方程的关系及待定系数法求反比例函数的解析式．
三．解答题（本大题共9小题，15—18题每题8分，19—20题每题10分，21—22题每题10分，23题14分，共90分）
15．已知，求．
【分析】设＝k，得出a＝2k，b＝3k，c＝4k，再代入计算即可；
【解答】解：设＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
所以＝＝＝3；
已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），求该函数表达式。
【分析】根据二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），可以求得该函数的解析式．
【解答】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），
把B（0，3）代入得
3＝a（0﹣1）2+4
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣1（x﹣1）2+4．
【点评】本题考查抛物线与y轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征求函数表达式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的图像特征解答．
17．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为S．
（1）求S与x之间的函数表达式；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
【分析】（1）根据长方形的面积公式可得S关于x的函数解析式；
（2）由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出x的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）∵AB＝xm，
∴BC＝（28﹣x）m．
则S＝AB BC＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x．
即S＝﹣x2+28x（0＜x＜28）．
（2）由题意可知，，
解得6≤x≤13．
由（1）知，S＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196．
∵当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，
∴当x＝13时，S最大值＝195，
即花园面积的最大值为195m2．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
18．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．求AB的长．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵FE∥CD，
∴＝，即＝，
解得，AC＝，
则CE＝AC﹣AE＝﹣4＝；
∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
19．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处A距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的B处．小丁此次投掷的成绩是多少米？
【分析】由点A、B的坐标求出函数表达式y＝﹣（x﹣3）2+，令y＝0，即可求解．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示．
则点A的坐标为（0，），顶点为B（3，）．
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+，
∵点A（0，）在抛物线上，
∴a（0﹣3）2+＝，
解得a＝﹣．
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+
令y＝0，则﹣（x﹣3）2+＝0，
解得x＝8或x＝﹣2（不合实际，舍去）．
即OC＝8．
答：小丁此次投掷的成绩是8米．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，通过建立坐标系，确定相应点的坐标即可求解．
20．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝的图象分别交于C，D两点，若点C坐标是（3，6），且AB＝BC．
（1）求一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的解析式；
（2）直接写出当x取何值时，k1x+b．
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作CE⊥x轴于E，根据题意求得B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得D的坐标，然后根据S△COD＝S△BOC+S△BOD即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得k1x+b时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点C（3，6）在反比例函数y＝的图象上，
∴k2＝3×6＝18，
∴反比例函数的解析式为y＝；
如图，作CE⊥x轴于E，
∵C（3，6），AB＝BC，
∴B（0，3），
∵B、C在y＝k1x+b的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+3；
（2）由，
解得或，
∴D（﹣6，﹣3），
∴S△COD＝S△BOC+S△BOD＝×3×3+×3×6＝；
（3）由图可得，当0＜x＜3或x＜﹣6时，k1x+b．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得B点的坐标是解题的关键．
21．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（2）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴2a2﹣a﹣3＝0，
解得a＝或a＝﹣1，
∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1；
（2）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），
∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．随着国内疫情基本得到控制，旅游业也慢慢复苏，经市场调研发现，某旅游景点未来15天内，旅游人数y与时间x的关系如下表；每张门票z与时间x之间存在如图所示的一次函数关系．（1≤x≤15，且x为整数）
时间x（天） 1 4 7 10 …
人数y（人） 320 350 380 410 …
请结合上述信息解决下列问题：
（1）直接写出y关于x的函数关系式．
（2）求z与时间x函数关系式．
（3）求未来15天中哪一天的门票收入最多，最多是多少？（尽量增加景点的客流量）
【分析】（1）在表格或图象中取2个点的坐标，代入一次函数表达式即可求解；
（2）设第x天的门票收入为w，则w＝﹣10（x+30）（x﹣50），即可求解；
（3）由（2）知第x天的门票收入w＝﹣10（x+30）（x﹣50），则w﹣3000≥12960，即可求解．
【解答】解：（1）设x、y对应函数表达式为：y＝kx+b，
将（1，310）、（4，340）代入上式，得，解得，
故x、y对应的函数表达式为：y＝10x+300（1≤x≤15，且x为整数），
故答案为：y＝10x+300（1≤x≤15，且x为整数），
（2）设z、x对应的函数表达式为：y＝mx+n，将点（1，49）、（15，35）代入上式并解得：z、x对应的函数表达式为：z＝﹣x+50（1≤x≤15，且x为整数）；
故答案为：z＝﹣x+50（1≤x≤15，且x为整数）；
（3）设第x天的门票收入为w，则w＝yz＝（10x+300）（﹣x+50）＝﹣10（x+30）（x﹣50），
∵﹣10＜0，故w有最大值，当x＝（50﹣30）＝10时，w的最大值为16000，
故未来15天中第10天的门票收入最多，最多是16000元；
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得．
23．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝﹣（x﹣2m）2+1﹣m（m是实数）．
（1）当m＝2时，若点A（6，n）在该函数图象上，求n的值．
（2）若二次函数图象的顶点在某条 （A.直线 B.双曲线 C.抛物线）上，且表达式为 .
（3）已知点P（a+1，c），Q（4m﹣7+a，c）都在该二次函数图象上，求证：c≤﹣．
【分析】（1）把点A（6，n）代入解析式即可求得；
（2）根据题意得出顶点（2m，1﹣m），，即可判断顶点特征；
（3）由点P（a+1，c），Q（4m﹣7+a，c）的纵坐标相同，即可求得对称轴为直线x＝＝a+2m﹣3，即可得出a+2m﹣3＝2m，求得a＝3，得到P（4，c），代入解析式即可得到 c＝﹣（4﹣2m）2+1﹣m＝﹣2（m﹣）2﹣，根据二次函数的性质即可证得结论．
【解答】解：（1）当m＝2时，则y＝﹣（x﹣4）2﹣1，
∵点A（6，n）在该函数图象上，
∴n＝﹣（6﹣4）2﹣1＝﹣3；
（2）若顶点是（2m，1﹣m），则2m＝x①，1﹣m＝y②，
由①得m＝，由②得m＝1﹣y，
∴y＝﹣+1，
∴顶点在一条直线上，选A.
（3）∵点P（a+1，c），Q（4m﹣7+a，c）都在该二次函数图象上，
∴对称轴为直线x＝＝a+2m﹣3，
∴a+2m﹣3＝2m，
∴a＝3，
∴P（4，c），
∴c＝﹣（4﹣2m）2+1﹣m＝﹣2（m﹣）2﹣，
∴c≤﹣．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．