2021-2022学年度人教版九年级数学上册课件 第二十二章二次函数复习课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
RJ九(上)
教学课件
第二十二章 二次函数
复习课
二次函数
二次函数的概念
定义
一般形式
y=ax2+bx+c
(a,b,c是常数，a≠0)
自变量的取值范围
全体实数
图 象
一条抛物线
解析式形式
一般式
y=ax2+bx+c(a≠0)
顶点式
y=a(x-h)2+k
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
y=ax2+bx+c
(a≠0)性质
六点、一轴、一方及增减性与最值
二次函数与一元二次方程的关系
抛物线与x轴交点的横坐标就是其对应一元二次方程的根
二次函数的应用
解析: （1）根据定义可知m2+5m+8=2且m+2≠0;
(2)在（1）的基础上根据a的符号再作确定；
（3）判断抛物线的增减性要结合开口方向及对称轴.
已知函数 是关于x的二次数.
(1) 求满足条件的m的值，并写出解析式；
（2）抛物线有最高点和最低点吗？二次函数有最大值还是最小值？最值是多少？
（3）当x为何值时y随x的增大而减小？
二次函数的定义及基本性质
1
例1
解：（1）由题意得 解得
∴满足条件的m=-3,这时二次函数的解析式为y=-x2+3.
(2)抛物线y=-x2+3有最高点，该二次函数有最大值，最大值是3.
(3)当x>0时，y随x的增大而减小.
x
y
O
y=-x2+3
练习1： 1.抛物线y=(x-2)2+2的顶点坐标是（ ）
A.(-2,2) B. (2,-2) C. (2,2) D. (-2,-2)
2.已知二次函数y=x2-x+c的顶点在x轴上，则c= .
3.二次函数y=x2+bx+3 的对称轴是直线x=2 ，则 b=_______.
C
-4
函 数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)
图 象 a>0 a<0
性
质 开 口 向上，并向上无限延伸 向下，并向下无限延伸
对称轴 直线
顶 点
增减性 当 时y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大. 当 时y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小.
最 值
y
x
O
x
O
y
抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与x轴的公共点是（-1，0），
（3，0），则这条抛物线的对称轴为_________.
解析 抛物线与x轴的两个交点是一对对称点.其实只要抛物线上两点（x1，y0）、(x2，y0)的纵坐标相等，这两点就是一对d对关于抛物线对称轴对称的对称点.对称轴计算公式是直线 ,因此这条抛物线的对称轴是直线 .
直线x=1
二次函数图象的对称性
2
例2
练习2：已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 3 …
y …
10 5 2 1 2 …
则①抛物线的对称轴是 ；
②当y<5时，x的取值范围是 .
③在此抛物线上有两点A(3，y1)，B(4.5，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”).
直线x=2
0＜
练习3 ：抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是 .
y
x
1
-1
3
-1O
二次函数图象图象的变换
如图，二次函数y1=－x2+2图象向右平移1个单位得到的y2 ．回答下列问题：
（1） y2图象的顶点坐标 ．
（2）图中阴影部分的面积 ．
（3）若再将y2绕原点O旋转180°得
到y3，则y3的开口方向 ，
顶点坐标 ．
y
x
-2
2
3
2
1
O
-1
-2
-1
1
解析 根据抛物线平移规律可得出y2=-(x-1)2+2,因此可以很快确定其顶点坐标；阴影部分的面积利用割补方法，进而转化为求平行四边形的面积；再根据抛物线关于原点对称规律可得出y3=(x+1)2-2.
(1,2)
2
向上
（-1，-2）
3
例3
知识点复习 抛物线y=a(x-h)2+k的平移规律：左右平移，括号内左加右减；上下平移，括号外上加下减.
练习4： 要得到抛物线y=2(x-4)2-1,可以将抛物线y=2x2 ( )
A.向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
C.向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度
B
二次函数图象与系数的关系
如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为
（-1，0）．则下面的四个结论 ：①2a＋b＝0；②4a－2b＋c>0；③abc＞0；④当y＜0时，x＜-1或x＞3．其中正确的是（ ）
A.①② B. ①③
C.①④ D. ②③
x
1
B
C
A
-1
O
y
x=1
C
例4
4
解析 ①2a＋b＝0, 想到对称轴 ,得b=-2a,故2a＋b＝0正确； ② 4a－2b＋c>0，想到当x=-2时结合图象可知y<0,故4a－2b＋c>0不正确； ③abc＞0，由图象可知a<0,对称轴在y轴的右侧，根据“左同右异”，则b>0,又易知c>0,故abc＞0不正确； ④当y＜0时，x＜-1或x＞3，根据对称性可知A点的坐标是（2，0），结合图象可知当y＜0时，x＜-1或x＞3，故正确，所以选C.
知识点复习 抛物线y=ax2+bx+c中的符号问题:
① a的符号决定开口方向；
② a、b的符号共同决定对称轴的位置，“左同右异”；
③ c的符号决定抛物线与y轴的交点位置.
练习5： 已知二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：
①b2-4ac>0; ②abc<0; ③m>2.其中正确结论的个数是（ ）
A.0 B.1 C. 2 D. 3
x
2
O
y
D
练习6： 如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax+a（a是常数，且a ≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
x
O
y
A
O
x
y
B
x
O
y
C
x
O
y
D
A
二次函数与一元二次方程的关系
结合二次函数y=ax2+bx+c图象，解答下列问题：
①写出方程ax2+bx+c=0的根；
②写出不等式ax2+bx+c>0的解集；
③写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
④若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，
求k的取值范围.
x
4
O
y
-1
3
解析 本题结合图象从中发现信息进行解题.
5
例5
解：（1）由图象可知，函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-1,0），（3,0）两点.∴方程的根为x1=-1，x2=3；
（2）由图象可知当-1（3）由图象可知，在x轴的右侧，y随着x的增大而减小，∴y随着x的增大而减小的x的取值范围为x>1;
(4)要使得有ax2+bx+c=k两个不相等的实数根，即直线x=k与二次函数图象有两个交点，∴k的取值范围为k<5.
练习7：已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程 ax2+bx+c-8=0的根的情况是（ ）
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
x
8
O
y
C
待定系数法求二次函数的解析式
x
4
O
y
-1
3
你能求出图中抛物线的解析式吗？
解析 图象中提供了我们解题的很多信息，如可知道抛物线与x轴的两个交点坐标是（-1，0）和（3，0），还可以知道对称轴是直线x=2及顶点坐标是(1,4).
你有几种方法可以求这条抛物线的解析式，你最喜欢哪一种？
例6
6
解：设抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k.
由图象可知抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴相交于点（-1,0），（3,0），顶点坐标为（1,4），
∴有y=a（x-1）2+4，
代入（-1,0）.∴a（-1-1）2+4=0，∴a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+4.
方法提示 知道顶点坐标，通常设顶点式y=a(x-h)2+k;知道抛物线与x轴的两个交点坐标，通常设交点式y=a(x-x1)(x-x2);知道抛物线上的三点坐标，可选用一般式y=ax2+bx+c,三种情况都可以时选用最熟悉的方法.
练习8： 已知二次函数当x=1时，有最大值－6，且其图象过点(2，－8)，则二次函数的解析式是 .
y=-2(x-1)2-6
综合应用—呈抛物线形状实物的几何探究
跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看为抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，丙、丁同学分别站在距甲拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最高处，刚好通过他们的头顶，已知丙同学的身高是1.5米.
（1）请你算一算丁同学的身高.
1m
甲
乙
丁
丙
2.5m
4m
1m
(0,1)
(4,1)
(1,1.5)
7
例7
解得： ，所以抛物线解析式为
当x=2.5时，y=1.625.所以丁同学的身高为1.625米.
1m
甲
乙
丁
丙
2.5m
4m
1m
解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+1
点（1,1.5）、（4,1）在抛物线上，得
x
O
y
(0,1)
(4,1)
(1,1.5)
（2）如果身高为1.5米的丙同学站在甲、乙同学之间,且离甲同学的距离为s米, 要使绳子甩到最高处时超过他的头顶,请结合图像,直接写出s的取值范围.
1m
甲
乙
丁
丙
2.5m
4m
1m
1二次函数
二次函数的定义
二次函数的概念及图象特征
二次函数的图象及性质
用数形结合的方法去研究和运用
二次函数的应用
建立二次函数模型，将实际问题数学化，运用二次函数知识解决实际问题
1.对于抛物线y=-2(x-5)2+3 ，下列说法正确的是（ ）
A.开口向下，顶点坐标(5,3) B.开口向上，顶点坐标(5,3)
C.开口向下，顶点坐标(-5,3) D.开口向上，顶点坐标(-5,3)
A
2.当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是
（ ）
x
O
y
A
x
O
y
B
x
O
y
C
x
O
y
D
A
3.将二次函数y=2x2-1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得到的图象的函数解析式是 .
y=2x2+1
4.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(3,6)和(-1,6),则对称轴为 .
直线x=1
5.如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0,3）.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
y=-x2-2x+3
Q（-1，2）
x
O
y
A
C
B
图1
x
O
y
A
C
B
图2
Q
解：（1）由题设，将A（1，0）、B（-3，0）、C（0,3）代入y=ax2+bx+c，
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；
x
O
y
A
C
B
图1
（2）存在，理由如下：
作点C关于抛物线对称轴直线x=-1的对称点C’，由抛物线的性质可知点C‘在抛物线上，点C’的坐标是（-2,3），连接点C’A交抛物线的对称轴直线x=-1与点Q，点Q即为所求.设直线C‘A的解析式为y=kx+m，代入（-2,3）和（0，1）可得k=-1，m=1.所以Q的坐标为（-1,2）；
x
O
y
A
C
B
图2
Q
C’