专题11.7 三角形角平分线几何模型 同步导学（含解析）

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专题11.7 三角形角平分线几何模型（知识讲解）
模型1：内分分模型
如图一
模型2：内外分模型
如图二
模型三：外外分模型
如图三
模型四：飞镖+角平分线模型
飞镖模型内角关系模型：
图四
飞镖模型内角平分线模型：
图五
【典型例题】
类型一、内分分模型
1． 如图，的角平分线相交于点．
（1）若，则________；
（2）试探究与之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）60；（2），见解析．
【分析】
（1）直接利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）先根据角平分线的定义得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2=180°-（∠ABC+∠ACB），加上∠ABC+∠ACB=180°-∠A，易得∠BPC=90°+∠A，再根据平角的定义解答即可．21世纪教育网版权所有
解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，
∴∠A=180°-50°-70°=60°．
故答案为60．21教育网
（２）∠DPC=90°-∠A ，
理由：的平分线相交于点，，
，
∴∠DPC=180°-（90°+∠A）=90°-∠A．
故答案为：90°-∠A．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，本题探讨了三角形两角的平分线的夹角与第三个角之间的关系．www.21-cn-jy.com
类型二、内外分模型
2．（2019·全国九年级专题练习）如图，在中，与的平分线相交于，与的平分线相交于，以此类推，与的平分线相交于，求与数量关系.2·1·c·n·j·y
【答案】
【分析】先根据三角形三角形外角的性质及角平分线得出∠A1与∠A的关系，同理得出∠A2与∠A1的关系，从而推导出∠A2与∠A的关系，……，进而归纳出∠An与∠A的关系，即可得出答案.
解：在中，有∠ACD=∠A+∠ABC，
在中，有∠A1CD=∠A1+∠A1BC，
∵与的平分线相交于，
∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC，
∴∠A1=∠A，
同理，∠A2=∠A1，即∠A2=∠A，
由此可得，∠A3=∠A，
……
∴.
【点拨】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的性质等知识.根据三角形外角等于不相邻的两个内角的和找出∠A1、∠A2……∠An与A的关系是解题的关键.【来源：21·世纪·教育·网】
类型三、 外分分模型
3．（2020·江苏苏州市·七年级期末）如图1，△ABC的外角平分线交于点F．
（1）若∠A＝40°，则∠F的度数为　 　；
（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M，N，若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与α+β的数量关系是　 　；21·世纪*教育网
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．www-2-1-cnjy-com
【答案】（1）70°（2） （3）①见解析 ②不成立；或
【分析】
（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；
（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；21cnjy.com
（3）①根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系；
②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系．2-1-c-n-j-y
解：（1）如图1，∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，
∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°；
（2）如图2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A ，
∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A ）＝90°﹣∠A，
又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，
∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，
∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
故答案为：α+β﹣∠A＝90°；
（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：
如图3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立．
分两种情况：
如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，
∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，
即β﹣α﹣∠A＝90°；
如图5，当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，
∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，
即α﹣β﹣∠A＝90°；
综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．
【点拨】此题主要考查三角形的角度求解与证明，解题的关键是根据题意分情况作图．
类型四、 飞镖模型
4．（2019·全国九年级单元测试）如图，已知在中，，、分别平分、，相交于点，、分别平分、，相交于点，求、的度数.
【答案】；.
【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论即可得出答案
解：由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，；
；
、分别平分、，相交于点，
是的平分线，
．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，以及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．21·cn·jy·com
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