专题11.9 三角形有关的角-燕尾图形 同步训练（含解析）

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专题11.9 三角形有关的角-燕尾模型（专项练习）
如图：这样的图形称之为“燕尾模型”
结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C
一、单选题
1．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（　　）21·cn·jy·com
A．50° B．118° C．100° D．90°
2．如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（　　）
A．24° B．25° C．30° D．36°
二、填空题
3．如右图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
4．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝__．
5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于__．
6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
8．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是__．
9．如图，在中，，，平分，平分，则______.
三、解答题
10．如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；www.21-cn-jy.com
②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）
③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．21·世纪*教育网
11．如图，中，（1）若、的三等分线交于点、，请用表示、；（2）若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，.21教育网
12．如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，，求的度数.
13．如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.
14．如图，、分别平分和，若，，求的度数.
15．如图，在中，与的平分线相交于点，试说明、之间的数量关系.
16．如图，已知分别交的边、于、，交的延长线于，，，，求的度数.
参考答案
1．B
【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论．【出处：21教育名师】
解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
∴∠CED＝＝99°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，
∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键．21*cnjy*com
2．B
【详解】
∵∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，
∴∠D1BC+∠D1CB=(∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A)，
∴∠=180°- (180°-∠A)= ∠A+90°=100°，
同理：∠=60°，∠=40°，∠=30°，∠=25°.
故选B
3．360°
【分析】根据三角形的外角性质可得∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，再根据多边形的外角和定理即可求解．21教育名师原创作品
解：由图形可知：∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，
∵∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°．
故答案为：360°．
【点拨】本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于360度，将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的和转化为∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN的和是解题的关键．www-2-1-cnjy-com
4．180°
【分析】先根据三角形外角的性质得出∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，再由三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵∠CFB是△ACF的外角，∠BGF是△DEG的外角，
∴∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，
∵∠B＋∠CFB＋∠BGF＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．
故答案为：180°．
【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
5．180°
【分析】根据三角形外角的性质可知∠B＋∠A＝∠1，∠D＋∠E＝∠2，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：如图，
∵∠B＋∠A＝∠1，∠D＋∠E＝∠2，
∵∠1＋∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．
故答案为：180°．
【点拨】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．
6．360°
【分析】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．
解：如图，连接FC，
由三角形外角的性质可得：
∠2＝∠G＋∠H，
∠3＝∠A＋∠B，
∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，
根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°
即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，
故答案为360°．
【点拨】本题考查了三角形的内角与外角，解决本题的关键是熟记三角形的外角的性质．
7．720°
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠2与∠H、∠G的关系，∠1与∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．21世纪教育网版权所有
解：如图：
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠2＝∠H＋∠G，∠1＝∠2＋∠D，
∠1＝∠H＋∠G＋∠D，
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H
＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E＋∠F＋∠H＋∠G＋∠D
＝180°×（6－2）
＝270°．
故答案为：720°．
【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，先求出∠1＝∠H＋∠G＋∠D，再求出多边形的内角和．
8．180°
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4＝∠A＋∠2，∠2＝∠D＋∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．【来源：21·世纪·教育·网】
解：如图可知：
∵∠4是三角形的外角，
∴∠4＝∠A＋∠2，
同理∠2也是三角形的外角，
∴∠2＝∠D＋∠C，
在△BEG中，∵∠B＋∠E＋∠4＝180°，
∴∠B＋∠E＋∠A＋∠D＋∠C＝180°．
故答案为：180°．
【点拨】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
9．
【分析】先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.
解：∵平分，平分，
∴，
∴.
【点拨】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.
10．（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70
【分析】
（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；2·1·c·n·j·y
（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；
②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．
③由②方法，进而可得答案．
解：（1）连接AD并延长至点F，
由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；
∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，
∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；
∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；
（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．
故答案是：40；
②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A
∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，
∴∠ADB+∠AEB＝80°；
∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,
∴∠ADC=∠ADB,∠AEC=∠AEB
∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；
③由②知，∠BG1C＝(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，
∵∠BG1C＝77°，
∴设∠A为x°，
∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°，
∴(140﹣x)＋x＝77，
∴14﹣x+x＝77，
∴x＝70，
∴∠A为70°．
故答案是：70．
【点拨】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
11．（1），；（2），.
【分析】
（1）根据三角形内角和可得，再根据、的三等分线交于点、，可得然后根据三角形内角和定理即可用含表示、；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）根据（1）中所体现的规律解答即可.
解：（1）∵，
∴，
∵、的三等分线交于点、，
∴
∴，
；
（2）由（1）可知，
.
【点拨】本题考查了三角形内角和定理及角的n等分线的性质.熟练应用三角形内角和定理求角的度数是解题的关键.【版权所有：21教育】
12．.
【分析】根据三角形的外角性质先求出的度数，再利用三角形内角和定理即可注出的度数.
解：在△ADC中，
，
在在△BDF中，
.
【点拨】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质.熟练找出三角形内角与外角的关系是解题的关键.
13．.
【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出2-1-c-n-j-y
解：由燕尾角的基本图形与结论可得，
①
②
是的平分线，是的平分线
，．
①-②得，．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．21*cnjy*com
14．.
【分析】根据三角形内角和定理用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，再用∠B、∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；
解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM，
∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，
同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，
∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，
∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，
∴∠M-∠B=∠D-∠M，
∴∠M=（∠B+∠D）=（42°+54°）=48°；
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．
15．，见解析.
【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理得出∠BIC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，21cnjy.com
解：在中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∵与的平分线相交于点，
∴，,
在中
．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，以及角平分线的性质定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键
16．.
【分析】
根据三角形的内角和定理即可求解
解：在中，=--，
∴∠DEC=
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为180°及三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．
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