2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质 专项训练A（word版、含答案）

4.7相似三角形的性质 专项训练A
姓名：___________班级：___________
一、选择题
1．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，DB＝4，DE＝3，则BC的长为( )
A．9 B．6 C．3 D．4
2．下列语句正确的是( )
A．一条线段的黄金分割点有且只有一个
B．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到中点距离的两倍
C．两边对应成比例且有一角对应相等的两个三角形相似
D．相似三角形所有对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高）的比等于相似比，面积比是相似比的平方
3．如图，在梯形ABCD中，ADBC，BC＝2AD．如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是( )
A．S1＝S3 B．S2＝2S4 C．S2＝2S1 D．S1 S3＝S2 S4
4．顶角为36°的等腰三角形我们把这种三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为黄金比．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若CD＝1，则AC的长为( )
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，，，平分，与对角线相交于点，是线段的中点，则为( )
B． C． D．
6．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则列结论①②垂直平分线段③④中不正确的有( )
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为( )
A． B． C． D．
8．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm，他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为4cm的像，蜡烛与纸筒的距离应该为( )
A．60cm B．65cm C．70cm D．75cm
9．如图，路灯P点距地面9m，身高1.8m的小明从距路灯底部O点20m的A点沿AO所在的直线行走了14m到达B点时，则小明的身影( )
A．增长了3米 B．缩短了3米
C．缩短了3.5米 D．增长了3.5米
10．如图，△ABC中，D为AB上的点．若∠1＝∠B，AD＝6，DB＝4，则AC边的长度为( )
A．5 B．2 C．2 D．2
11．如图，AB∥DC，AD与BC的交点为M，过点M作MH∥AB交BD于H．已知AB＝3，MH＝2，则△ABM与△MCD的面积之比为( )
A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．4：9
12．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，连接PC、PE，若PAE与PBC是相似三角形，则满足条件的点P的数量为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，平行四边形ABCD中，EF//AB，DE：EA=2：3，EF=6，则CD的长为( )
A．15 B．10 C．8 D．16
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在AD上，若将△ABP沿BP折叠，使点A落在矩形对角线AC上，则AA′的长为( )
A． B． C． D．
15．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交于点G，连结．下列结论：①；②；③ ；④ ．其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
16．若三角形三边之比为3：6：7，与它相似的三角形的最长边为14cm，则此三角形周长为____．
17．如图，DEBC，EFCG，AD：AB＝1：3，AF＝3，则FG的长为____．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，：＝___．
19．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，N是AB的中点，MN⊥BC于点M，则△BMN∽△___，相似比为____．
20．如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足是D，，ABC的周长是25，那么ACD的周长是 ___．
21．如图，ABC中，AB＝6，AC＝4，∠A＝90°，D是AB边的中点，点E在直线AC上，且ADE与ABC相似，则CE＝___．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，联结AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC＝2：3，则＝___．
23．如图，已知AB∥CD∥EF，则下列四个结论①；②；③；④中，正确的有 ___（填正确结论序号）
24．△ABC中，BC＝BA，∠B＝36°，AD平分∠BAC，则BD：BC＝___．
25．如图，与相交于点，点在上，且，若 ，，则的长为________.
三、解答题
26．如图，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm．点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AB方向向点B运动，同时，点Q以1cm/s的速度从点B出发，沿BC方向向点C运动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设运动的时间为t（s）．
（1）求AD的长；
（2）求t为何值时，PQ平行于△ABC的一边；
（3）求t为何值时，△PBQ是等腰三角形．
27．如图，在△ABC中，，是△ABC的高，连接．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若，，求的长．
28．如图，边长为的正方形中，点为的中点，连接，将沿折叠得到，交于点，连接、．
（1）判断与的关系，并给予证明；
（2）求的长．
29．已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AC上，且DEBC．
（1）若AB＝6，BC＝4，BD＝2，求DE的长；
（2）若，求证：EFDC．
30．如图，中，是边上的高，，．作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在，上，与的交点为，且矩形长是宽的倍．
（1）求证：；
（2）试求矩形的周长．
参考答案
1-5：ADBDD 6-10：ACDCD 11-15：BCACD
16．32cm 17．6 18．1 19．BAC 1：4 20．
21．或或 22． 23．②④ 24． 25．
26．解：（1）过C作CE⊥AB于E，
∵DC∥AB， ∴CE⊥CD，∵∠D＝90°，∴AD⊥CD，∴AD∥CE，DC∥AE，∴四边形ADCE为平四边形，
∵∠D＝90°，∴四边形ADCE为矩形，∴AD=EC，∵AC⊥BC，AB＝10cm，BC＝6cm．
∴AC=，∴，∴，
∴AD=；
（2）∵PQ∥AC，∴∠CAB=∠QPB，∠ACB=∠PQB∴△ABC∽△PBQ，∴，
∵点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AB方向向点B运动，同时，点Q以1cm/s的速度从点B出发，沿BC方向向点C运动，运动的时间为t（s）．
∴AP=2t，BQ=t，PB=10-2t，∴∴ 解方程得
经检验符合要求，
∴时，PQ平行于△ABC的一边；
（3）△PBQ是等腰三角形分三种情况，当QP=BQ时，过Q作QF⊥PB于F，
∴PB=2PF，∵CE⊥AB，QF⊥PB，∴CE∥QF，∴
在Rt△CEB中，BE=，
∴，∴，∴10-2t=∴；
当PB=PQ时，即10-2t=t∴；
当PB=BQ，过P作PG⊥BQ于G，
∴QG=BG=
∵∠PGB=∠ACB=90°，∠PBG=∠ABC，
∴△PBG∽△ABC
∴，即
解得，
∵0＜t≤5，，
t为或或时，△PBQ是等腰三角形．
27．（1）证明：∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE． ，，
∵，；
（2）∵
，，则，，又，，
．
28．（1）垂直平分，证明如下：
将沿折叠得到，，，垂直平分；
（2）解：延长交于，连接．
四边形是正方形，，，，
，
由翻折的性质可知，，，，
点是的中点，，，在和中，
，，
，，，，
，，，，
，，，
，，．
29．，，，，即，
解得；
（2），，，，
又，，，．
30．（1）证明：四边形为矩形，，而，，
，；
（2）解：设，，则，解得，这个矩形的周长；