2021-2022学年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理 期中复习训练(word解析版)

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》期中复习训练（附答案）
1．在三边分别为下列长度的三角形中，是直角三角形的是（　　）
A．，， B．1，，2 C．4，5，6 D．，，
2．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，则△ABC是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
3．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（　　）
A．15m B．9m C．7m D．8m
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（　　）
A．5 B．7 C． D．
6．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠C
C．a＝1，b＝2，c＝ D．（b+c）（b﹣c）＝a2
7．如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，则大正方形的面积是（　　）
A．121 B．144 C．169 D．196
8．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　）
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
9．如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．6π C．10π D．12
10．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）
A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm
11．如图所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　）
A．9 B．25 C．36 D．45
12．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　）
A．84 B．24 C．24或84 D．42或84
13．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为　 　cm2．
14．下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13； ③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为　 　．
15．若直角三角形两边分别是3和4，则第三边是　 　．
16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是　 　．
17．没有上盖的圆柱盒高为10cm，底面周长为32cm，点A距离下底面3cm．一只位于圆柱盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处．则蚂蚁需要爬行的最短路程的长为　 　cm．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为　 　．
19．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？
20．为了积极响应国家新农村建设，长沙市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为800米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
21．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
22．已知△ABC中，AB＝AC．
（1）如图1，在△ADE中，若AD＝AE，且∠DAE＝∠BAC，求证：CD＝BE；
（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE＝∠BAC＝60°，且CD垂直平分AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；
（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC＝2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．
参考答案
1．解：（）2+（）2≠（）2，故选项A不符合题意；
12+（）2＝22，故选项B符合题意；
42+52≠62，故选项C不符合题意；
（）2+（）2≠（）2，故选项D不符合题意；
故选：B．
2．解：∵（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a﹣b＝0，或a2+b2﹣c2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
3．解：设网格中每个小正方形的边长是1．
图A中三角形各边长为、、，故该三角形为钝角三角形；
图B中各边长为2、4、2，故该三角形为直角三角形；
图C中各边长、2、，故该三角形为直角三角形；
图D中各边长为、2、5，故该三角形为直角三角形．
即B，C，D是直角三角形，A不是直角三角形．
故选：A．
4．解；梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15（m），
15﹣7＝8（m）．
故选：D．
5．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵×AC×BC＝×CD×AB，
∴×3×4＝×5×CD，
解得CD＝．
故选：C．
6．解：A、由题意：∠C＝×180°＝75°，△ABC是锐角三角形，本选项符合题意．
B、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．
C、∵a＝1，b＝2，c＝，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．
D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，∴b2＝a2+c2，∴△ABC是直角三角形，本选项不符合题意．
故选：A．
7．解：∵直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7，
∴直角三角形的较长直角边＝5+7＝12，
∴直角三角形斜边长＝13，
∴大正方形的边长是13，
∴大正方形的面积是13×13＝169．
故选：C．
8．解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，
故可得地毯长度＝AC+BC＝7米，
故选：D．
9．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×（）2+﹣×π×（）2＝6，
故选：A．
10．解：如图，AC为圆桶底面直径，
∴AC＝24cm，CB＝32cm，
∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
∴AB＝＝40cm．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．
故选：C．
11．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）
＝AC2﹣AB2
＝45．
故选：D．
12．解：（1）
△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．BD＝＝9，CD＝＝5
∴△ABC的面积为×（9+5）×12＝84；
（2）
△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5
∴△ABC的面积为×（9﹣5）×12＝24．
故选：C．
13．解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
14．解：①0.62+0.82＝12，不是整数，不是勾股数；
②52+122＝132，是勾股数；
③82+152＝172，是勾股数；
④42+52≠62，不是勾股数；
其中是勾股数的组为2．
故答案为：2．
15．解：设第三边为x，
（1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
32+42＝x2，
∴x＝5；
（2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2＝42，
∴x＝；
∴第三边的长为5或．
故答案为：5或．
16．解：过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵AC BC＝AC CD+AB DE，即×3×4＝×3CD+×5CD，
解得CD＝1.5，
∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．
故答案为：2.5．
17．解：如图，点B与点B′关于PQ对称，
可得AC＝16cm，B′C＝12cm，
则最短路程为AB′＝＝20cm．
故答案为：20．
18．解：易证△AFD′≌△CFB，
∴D′F＝BF，
设D′F＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝ AF BC＝10．
故答案为：10．
19．解：（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，
∴AC＝＝10m，
∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，
答：空地ABCD的面积是144m2．
（2）144×100＝14400（元），
答：总共需投入14400元．
20．解：（1）村庄能听到宣传，
理由：∵村庄A到公路MN的距离为800米＜1000米，
∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝800米，
∴BP＝BQ＝＝600米，
∴PQ＝1200米，
∴影响村庄的时间为：1200÷300＝4分钟，
∴村庄总共能听到4分钟的宣传．
21．解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．
∴DE＝CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，
设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处．
22．（1）如图1，证明：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAE＝∠BAC+∠CAE，
即∠DAC＝∠BAE．
在△ACD与△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE；
（2）连接BE，
∵CD垂直平分AE
∴AD＝DE，
∵∠DAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，
∵△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，
∴BE⊥DE，DE＝AD＝3，
∴BD＝5；
（3）如图，过B作BF⊥BD，且BF＝AE，连接DF，
则四边形ABFE是平行四边形，
∴AB＝EF，
设∠AEF＝x，∠AED＝y，
则∠FED＝x+y，
∠BAE＝180°﹣x，∠EAD＝∠AED＝y，∠BAC＝2∠ADB＝180°﹣2y，
∠CAD＝360°﹣∠BAC﹣∠BAE﹣∠EAD＝360°﹣（180°﹣2y）﹣（180°﹣x）﹣y＝x+y，
∴∠FED＝∠CAD，
在△ACD和△EFD中，
，
∴△ACD≌△EFD（SAS），
∴CD＝DF，
而BD2+BF2＝DF2，
∴CD2＝BD2+4AH2．