4.4 一次函数的应用 同步练习 2021--2022学年八年级数学上册（Word版含答案）

4.4一次函数的应用
一、单选题
1．矩形的一条边长为x，另一条边长为y，若它的周长是20，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝10﹣x（0＜x＜10） B．y＝ （0＜x＜10）
C．y＝20﹣x（0＜x＜20） D．y＝ （0＜x＜20）
2．点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．在一条道路上，甲从A地出发到B地，乙从B地出发到A地，乙的速度是80千米/小时，两人同时出发各自到达终点后停止，设行驶过程中甲、乙之间的距离为s千米，甲行驶的时间为t小时，s与t之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）
A．乙出发1小时与甲在途中相遇
B．甲从A地到达B地需行驶3小时
C．甲在1.5小时后放慢速度行驶
D．乙到达A地时甲离B地还有60干米
4．如图所示，一次函数y1=kx+4与y2=x+b的图象交于点A．则下列结论中错误的是（　　）
A．K＜0，b＞0 B．2k+4=2+b
C．y1=kx+4的图象与y轴交于点（0，4） D．当x＜2时，y1＞y2
5．函数y=3x－6和y=－x+4的图象交于一点，这一点的坐标是（ ）
A．（－，－） B．（，） C．（，） D．（－2，3）
6．小红和小玉是同班同学，也是邻居，某天早晨，小红7：10先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小玉骑自行车沿相同路线到学校，如图是她们从家到学校已走的路程S（米）和所用的时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　）
A．小红家到学校的路程是1200米
B．小玉骑自行车的速度是240米/分
C．小玉骑自行车7：20追上小红
D．小红从家到达学校的平均速度为80米/分
7．“五一”期间，一体育用品商店搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在该商店一次性购物超过100元者，超过100元的部分按九折优惠”在此活动中，小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球个（），则小东应付货款（元）与篮球个数（个）的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
8．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城距离y(千米)与行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．其中正确的结论是（ ）
①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后1.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或．
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①④
9．如图所示，容器内的水面高度是，现向该容器内注水，并同时开始计时．在注水过程中，水面高度以每秒的速度匀速增加，则容器被注满之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
10．已知直线y＝x+1与y＝﹣2x+b交于点P（1，m），若y＝﹣2x+b与x轴交于A点，B是x轴上一点，且S△PAB＝4，则点B的横坐标为（　　）
A．6 B．﹣2 C．6或﹣2 D．4或0
11．如图，正方形的边长为2，动点从点出发，在正方形的边上沿的方向运动到点停止，设点的运动路程为，在下列图象中，能表示的面积关于的函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
12．一个蓄水池有水50m3，打开放水闸门放水，水池里的水和放水时间的关系如表，下面说法不正确的是（　　）
放水时间（分） 1 2 3 4 …
水池中水量（m3） 48 46 44 42 …
A．水池里的水量是自变量，放水时间是因变量
B．每分钟放水2m3
C．放水10分钟后，水池里还有水30m3
D．放水25分钟，水池里的水全部放完
二、填空题
13．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过A（1，2），B（0，1）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为____．
14．已知，函数与的图像交于点，则点的坐标为______．
15．如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是__________．
16．已知直线与轴、 轴分别交于、两点，若以为直角顶点在第二象限作等腰直角，则点 的坐标为______．
三、解答题
17．雄安新区某公司为改善办公条件计划购买、两种类型的电脑，已知购买一台型电脑需要万元，购买一台型电脑需要万元，该公司准备投入资金万元，全部用于购进台这两种类型的电脑，设购进型电脑台．
（1）求关于的函数关系式；
（2）若购进型电脑的数量不超过型电脑数量的倍，则该公司至少需要投入资金多少万元？
18．汕头外卖市场竞争激烈，美团、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，具体方案如下:每月不超出单，每单收入元；超出单的部分每单收入元.
（1）若某“外卖小哥”某月送了单，收入 元；
（2）若“外卖小哥”每月收入为(元)，每月送单量为单，与之间的关系如图所示，求与之间的函数关系式；
19．综合与探究： 如图，直线的表达式为，与轴交于点，直线交轴于点，，与交于点，过点作轴于点，．
（1）求点的坐标；
（2）求直线的表达式；
（3）求的值；
（4）在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．每年“双11”天猫商城都会推出各种优惠活动进行促销，今年，王阿姨在“双11”到来之前准备在两家天猫店铺中选择一家购买原价均为1000元/条的被子2条和原价均为600元/个的颈椎枕若干个，已知两家店铺在活动期间分别给予以下优惠：
店铺：“双11”当天购买所有商品可以享受8折优惠；
店铺：买2条被子，可赠送1个颈椎枕，同时“双11”当天下单，还可立减160元；
设购买颈椎枕（个），若王阿姨在“双11”当天下单，两个店铺优惠后所付金额分别为（元）、（元）．
（1）试分别表示、与的函数关系式；
（2）王阿姨准备在“双11”当天购买4个颈椎枕，通过计算说明在哪家店铺购买更省钱？
21．某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）．
用水量x（立方米） 应交水费y（元）
不超过12立方米 每立方米3.5元
超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元
（1）若某户居民某月用水10立方米，应交水费 　 　元；若用水15立方米，应交水费 　 　元．
（2）求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；
（3）若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？
22．某单位有职工几十人，想在节假日组织到外地旅游，当地有甲，乙两家旅行社，他们服务质量相同，旅游价格都是每人100元，经联系协商，甲旅行社给每位游客八折优惠，乙旅行社表示单位先交1000元后，给每位游客六折优惠.设该单位参加旅游的人数为x人，甲、乙旅行社应付的费用分别是y甲和y乙；
（1）请分别写出y甲和y乙与x之间的函数关系式.
（2）问该单位选择哪家旅行社，使其支付的旅行社的旅游总费用较少？
参考答案
1．A
【分析】
根据矩形周长计算公式求解即可．
【详解】
解：∵矩形的一条边长为x，另一条边长为y，周长是20，
∴
∴，
∵x,y表示的是矩形的边长，
∴
解得：，
∴．
∴y与x的函数关系式为．
故选：A．
【点睛】
此题考查了矩形周长公式和一次函数表达式，解题的关键是熟练掌握矩形周长公式和一次函数表达式．
2．C
【分析】
根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于x的函数关系式，把△OPA的面积=16代入函数关系即可得出x的值，进而得出y的值．
【详解】
解：∵A和P点的坐标分别是、，
∴=×8×y=4y，
∵x+y=10，
∴y=10-x，
∴=4（10-x）=40-4x，
当=16时，40-4x=16，
解得x=6．
∵x+y=10，
∴y=10-6=4，即P的坐标为；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形的面积，一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题的关键．
3．C
【分析】
本题中根据图像可知1小时是两人相遇，1.5小时时其中一人到达终点停止运动，m小时时两者都停止运动，可从图中找到两地相距120千米，又由乙的速度是80千米/小时可计算出甲的速度，再根据甲的速度求出甲到达乙地所用时间．
【详解】
解：由图可知，
乙出发1小时与甲在途中相遇，故选项A正确；
甲的速度为：120÷1﹣80＝40千米/小时，
则甲从A地到达B地需行驶120÷40＝3（小时），故选项B正确；
当乙达到A地时，甲离B地的距离是：120﹣120÷80×40＝60（千米），故选项D正确；
由于m的值不知，故甲在1.5小时后速度是否改变不能确定，故选项C错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
4．A
【解析】
【分析】
利用一次函数的性质结合函数的图象逐项分析后即可确定正确的选项．
【详解】
解：∵y1=kx+4在第一、二、四象限，y2=x+b的图象交于y轴的负半轴，
∴k＜0，b＜0
故A错误；
∵A点为两直线的交点，
∴2k+4=2+b，
故B正确；
当x=0时y1=kx+4=4，
∴y1=kx+4的图象与y轴交于点（0，4），
故C正确；
由函数图象可知当x＜2时，直线y2的图象在y1的下方，
∴y1＞y2，
故D正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查两直线的交点问题，能够从函数图象中得出相应的信息是解题的关键．注意数形结合．
5．B
【解析】
试题分析：把y=3x－6和y=－x+4组成方程组，解出即可.
由题意得，解得，
则交点坐标为（，）
故选B.
考点：本题考查的是函数图象的交点
点评：解答本题的关键是熟练掌握由两个一次函数的关系式组成的方程组的解即可对应的图象的交点坐标.
6．D
【分析】
根据已知信息和函数图象的数据，可求出小红和小玉的速度以及小红家到学校的路程，小红和小玉相遇的时间，依次解答每个选项．
【详解】
解：由图象可知，小红和小玉的家离学校1200米，故A正确，不符合题意；
根据图象，小玉骑自行车的速度是1200÷（13﹣8）＝240（米/分），故B正确，不符合题意；
小红7：10先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小红吃早餐的过程中，小玉出发并与小红相遇然后超过小红，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240＝10（分钟），即7：20相遇，故C正确，不符合题意；
小红从家到学校的时间为20分钟，所以小红的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象的综合应用，利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答．
7．C
【分析】
根据已知表示出买x个篮球的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可．
【详解】
解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按九折优惠，
∴小东到该商店为学校一次性购买单价为70元的篮球x个（x＞2），
则小东应付货款y（元）与篮球个数x（个）的函数关系式是：
y=（70x-100）×0.9+100=63x+10（x＞2），
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据已知得出货款与篮球个数的等式是解题关键．
8．C
【分析】
观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
【详解】
解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300千米，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得
，解得，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③正确；
令|y甲﹣y乙|＝50，可得|60t﹣100t+100|＝50，即|100﹣40t|＝50，
当100﹣40t＝50时，可解得t＝，
当100﹣40t＝﹣50时，可解得t＝，
又当t＝时，y甲＝50，此时乙还没出发，
当t＝时，乙到达B城，y甲＝250；
综上可知当t的值为或或或t＝时，两车相距50千米，故④不正确；
综上可知正确的有①②③共三个，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标．
9．C
【分析】
根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型．
【详解】
解答：解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：
h＝0.4t＋20，
∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．
故选：C．
【点睛】
点评：此题主要考查了一次函数的应用，熟记一次函数的定义是解题关键．
10．C
【分析】
由题意可得点，进而可得，然后画出图象，则根据函数图象及三角形的面积公式可进行求解．
【详解】
解：由题意可把点P（1，m）代入直线y＝x+1得：，
∴，
把点代入y＝﹣2x+b得：，
∴，
图象如图所示：
∴，
设点，
∴，点P到x轴的距离为2，
∵，
∴，
解得：或，
故选C．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
11．D
【分析】
分、两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【详解】
解：当时，如图，
则，为常数；
当时，如下图，
则，为一次函数；
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点函数图象问题，在图象中应注意自变量的取值范围，注意分类讨论．
12．A
【分析】
根据题意可得蓄水量y＝50﹣2t，从而进行各选项的判断即可．
【详解】
解：设蓄水量为y，时间为t，y=kt+b
∴
解得：
则可得y＝﹣2t+50，
A、放水时间是自变量，水池里面的水量是因变量，故本选项符合题意；
B、蓄水池每分钟放水2m3，故本选项不合题意；
C、放水10分钟后水池还剩50-20=30m3，故本选项不合题意；
D、蓄水池一共可以放水50÷2=25分钟，故本选项不合题意；
故选A．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质，自变量和因变量，解题的关键在于能够准确求出一次函数解析式.
13．1
【分析】
根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，代入y＝0求出与之对应的x值，进而可得出点C的坐标及OC的长，再利用三角形的面积公式即可求出△AOC的面积．
【详解】
解：将A（1，2），B（0，1）代入y＝kx＋b，得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x＋1．
当y＝0时，x＋1＝0，解得：x＝ 1，
∴点C的坐标为（ 1，0），OC＝1，
∴S△AOC＝OC yA＝×1×2＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式是解题的关键．
14．（2，2）.
【分析】
联立y=-2x+6与y=3x-4即可求解．
【详解】
解：联立y=-2x+6与y=3x-4得：
-2x+6=3x-4，解得：x=2，
y=-2x+6=-2×2+6=2，
故两图象的交点A坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）
【点睛】
本题考查的是两条直线相交或平行问题，主要考查函数交点坐标的求解．
15．
【解析】
【分析】
不等式的解集为直线在直线上方部分所对的x的范围.
【详解】
解：由图象可得，当时，直线在直线上方，所以不等式的解集是.
故答案为：
【点睛】
本题考查了一次函数与不等式的关系，合理利用图象信息是解题的关键.
16．（-6，2）
【分析】
作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ（AAS），根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标．
【详解】
解：如图，作CQ⊥x轴，垂足为Q，
在直线y=2x+4中，令x=0，则y=4，令y=0，则x=-2，
∴A（0，4），B（-2，0），
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，
∴∠OAB=∠QBC，
又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，
∴△ABO≌△BCQ（AAS），
∴BQ=AO=4，OQ=BQ+BO=6，CQ=OB=2，
∴C（-6，2），
故答案为：（-6，2）．
【点睛】
本题考查了一次函数表达式，全等三角形的判定和性质，关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
17．（1）
（2）万元
【分析】
（1）由A型电脑费用+B型电脑费用=投入资金，可得y关于x的函数表达式；
（2）由题意列出不等式，可得x≥5，由一次函数的性质可求解．
【详解】
解：（1）（）；
（2）由题意可得：，
，
中，，
随的增大而增大，
当时，最小值（万元）
答：该公司至少需要投入资金万元
【点睛】
本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出正确的函数关系式是本题的关键．
18．（1）2000；（2）．
【分析】
（1）利用收入等于每单收入乘以数量即可得到答案；
（2）先求解的值，当时，设再利用待定系数法求解函数解析式即可．
【详解】
解:；（1） 每月不超出单，每单收入元；
所以某“外卖小哥”某月送了单，收入元．
故答案为：
（2）当时，；
当时，设
当时，
所以把代入解析式得：
根据题意得
解得
；
【点睛】
本题考查的是一次函数的实际应用，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键．
19．（1）；（2）；（3）；（4）存在，点或
【分析】
（1）因为与轴交于点，所以令中，求出x，即知点C坐标；
（2）求出点A、B坐标，设直线的表达式为，利用待定系数法求解即可；
（3）根据求解即可；
（4）由的面积可得AP长，结合A点坐标，易知P点坐标.
【详解】
解：令中
得：，
解得 ，
直线交轴于点
轴，
点的纵坐标为
在中，
当时，，解得，
设直线的表达式为，
将代入得，解得
直线的表达式为
轴，
，
，点P在x轴上
或
所以存在点或使得
【点睛】
本题考查了一次函数与三角形的综合题，涉及了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求解析式、与坐标轴围成的三角形的面积，熟练的掌握一次函数的图象是解题的关键.
20．(1) yA=1600+480x; yB=1240+600x;(2)A店铺更省钱
【分析】
(1)根据题意列出关系式即可．
(2)将x=4分别代入关系式比较大小即可判断．
【详解】
(1)yA=0．8×(2×1000+600x)=1600+480x．
yB=2×1000+600×(x－1)－160=1240+600x．
(2)当x=4时, yA=1600+480×4=3520,yB=1240+600×4=3640．
∵yA＜yB,
∴A店铺购买更省钱．
【点睛】
本题考查一次函数的应用,关键在于理解题意列出函数关系式．
21．（1）35；55.5；（2）当0≤x≤12时，y＝3.5x，当x＞12时，y＝4.5x 12；（3）20．
【分析】
（1）根据题意第一个空把代入即可求解，第二个空根据题意列出即可求解；
（2）根据不超过12立方米时应缴水费＝3.5×用水量，超过12立方米时应缴水费＝3.5×12＋4.5×超出12立方米的用水量，即可得出y关于x的函数关系式；
（3）根据3.5×12＝42（元），78＞42，即可得出该户居民月用水量超出12立方米，将y＝78代入y＝中，求出x值即可．
【详解】
解：（1）某户居民某月用水10立方米小于12立方米，则应交水费为（元）；
某户居民某月用水15立方米大于12立方米，则应交水费为（元）；
（2）当0≤x≤12时，y＝3.5x，
当x＞12时，y＝3.5×12＋4.5（x 12）＝4.5x 12；
（3）3.5×12＝42（元），78＞42，即可得出该户居民月用水量超出12立方米，
将y＝78代入y＝中，，
解得： ；
答：该户居民用水20立方米
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出y关于x的函数关系式，再根据函数关系式求值．
22．（1）y甲=80x；y乙=60x+1000；（2）当单位50人数时，选取甲、乙一样；人数小于50人，选取甲费用少；人数大于50人，选取乙费用较少
【分析】
（1）根据题意，设该单位参加旅游的人数为x人，分别列出甲、乙旅行社应付的费用与的函数关系式；
（2）根据函数关系式进行比较即可求得使其支付的旅行社的旅游总费用较少
【详解】
（1）根据题意，得甲=80x；乙=60x+1000；
（2）当甲=乙时，即80x =60x+1000
，即当单位50人数时，选取甲、乙一样；
当甲乙时，即80x 60x+1000
，即当人数小于50人选取甲费用少；
当甲乙时，即80x 60x+1000
，即当人数大于50人，选取乙费用较少
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．