第4章图形的相似 同步达标测评 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

2021-2022北师大版九年级数学上册《第4章图形的相似》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．若x﹣3y＝0且y≠0，则的值为（　　）
A．11 B．﹣ C． D．﹣11
2．若＝，则的值为（　　）
A．5 B． C．3 D．
3．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（　　）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，点H为AF与DG的交点．若AC＝9，则DH为（　　）
A．1 B．2 C． D．3
7．如图，为估算学校的旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC＝2m，BC＝8m，则旗杆的高度是（　　）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
8．如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（　　）
A．﹣2a+3 B．﹣2a+1 C．﹣2a+2 D．﹣2a﹣2
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（　　）
A．（8，6） B．（9，6） C． D．（10，6）
10．若△ABC的每条边长增加各自的20%得△A'B'C'，则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比（　　）
A．增加了20% B．减少了20%
C．增加了（1+20%） D．没有改变
11．如图，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC∥EF∥DB．若BE＝5，BF＝3，AE＝BC，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB＝3，AD＝2，CE＝1，则点A到直线DE的距离AF的长度为（　　）
A． B． C．2.5 D．
二．填空题（共7小题，满分21分）
13．已知＝，则＝　 　．
14．已知线段a＝4，b＝16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于　 　．
15．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是　 　．
16．复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为　 　．
17．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝7，点D，E分别在AB，BC上，将△BDE沿ED折叠，点B的对应点F刚好落在AC上．当△CEF与△ABC相似时，BE的长为　 　．
18．《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形ABCD，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线BE与边DC相交于点F，如果测得FC＝4米，那么塔与树的距离AE为　 　米．
19．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连接AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…，按此规律继续下去，则矩形AB4C4C3的面积为　 　．
三．解答题（共9小题，满分63分）
20．已知△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D是线段AC的中点，点E在线段AB上，若△ADE与△ABC相似，求AE的长．
21．阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且＝，求证：＝．
证明：∵＝，
∴+1＝+1．
∴＝．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若＝，求的值；
（2）若＝，且a≠b，c≠d，证明＝．
22．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
23．如图，在△ABC中，四边形DBFE是平行四边形．求证：△ADE∽△EFC．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（﹣3，﹣1），顶点B，C都在小正方形的格点上．
（1）点B的坐标为　 　，点C的坐标为　 　．
（2）以原点O为位似中心，在所给的网格中画出一个△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比为2：1．
25．数学小组想利用所学知识测量一棵树的高度EF．在第一次测量中，小莉来回走动，走到点D时，其影子末端与树影子末端重合于点H，测得DH＝1米．随后，组员在直线DF上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线DF上的对应位置为点G．镜子不动，小莉从点D沿着直线FD后退11米到B点时，恰好在镜子中看到顶端E的像与标记G重合，此时BG＝2米．如图，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小莉的身高为1.6米（眼睛到头顶距离忽略不计，平面镜的厚度忽略不计）．根据以上信息，求树的高度EF．
26．如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．
（1）求证：△ADE≌△BFA；
（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．
27．已知：正方形ABCD，GF∥BE，求证：EF AE＝BE EC．
28．如图所示，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：∵x﹣3y＝0且y≠0，
∴x＝3y，
∴＝＝．
故选：C．
2．解：由＝，得
4b＝a﹣b．，解得a＝5b，
＝＝5，
故选：A．
3．解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵DE＝3，DF＝8，
∴，
即＝，
故选：B．
4．解：根据题意得：AC＝＝，AB＝＝，BC＝1，
∴BC：AB：AC＝1：：，
A、三边之比为1：：，选项A符合题意；
B、三边之比：：3，选项B不符合题意；
C、三边之比为2：：，选项C不符合题意；
D、三边之比为：：4，选项D不符合题意．
故选：A．
5．解：由题意得DE为△ABC的中位线，那么DE∥BC，DE：BC＝1：2．
∴△ADE∽△ABC
∴△ADE与△ABC的周长之比为1：2，
∴△ADE与△ABC的面积之比为1：4，即．
故选：B．
6．解：∵D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，
∴BE＝DE＝AD，BF＝GF＝CG，AH＝HF，
∴AB＝3BE，DH是△AEF的中位线，
∴DH＝EF，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴＝，即 ＝，
解得：EF＝3，
∴DH＝EF＝×3＝，
故选：C．
7．解：设旗杆高度为h，
由题意得＝，h＝8米．
故选：C．
8．解：设点B′的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（a﹣1）＝﹣x+1，
解得：x＝﹣2a+3，
故选：A．
9．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴＝＝，
∵BC＝2，
∴EF＝BE＝6，
∵BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝，
解得：OB＝3，
∴EO＝9，
∴F点坐标为：（9，6），
故选：B．
10．解：∵△ABC的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B．
故选：D．
11．解：设CF＝x，
∵EF∥AC，
∴＝，
∴＝，
解得x＝，
∴CF＝，
∵EF∥DB，
∴＝＝＝．
故选：A．
12．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，
∴DE＝＝＝，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°，
∴∠DAF+∠ADF＝∠ADF+∠CDE＝90°，
∴∠DAF＝∠CDE，
∴△ADF∽△DCE，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝．
故选：A．
二．填空题（共7小题，满分21分）
13．解：∵＝，
∴＝，
∴﹣＝，
∴＝．
故答案为：．
14．解：∵线段c是a、b的比例中项，
∴c2＝ab＝64，
解得：c＝±8，
又∵线段是正数，
∴c＝8．
故答案为：8．
15．解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，
所以放大前后的两个三角形的周长比为5：20＝1：4，故答案为：1：4．
16．解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴＝，则b2＝2a2，
∴＝，
故答案为：．
17．解：∵将△BDE沿DE翻折得到△FDE，
∴BE＝EF，
∵BC＝8，
∴CE＝8﹣BE，
当△CEF与△ABC相似时，＝或＝，即＝或＝，
解得：BE＝或，
故答案是：或．
18．解：∵四边形ABCD是正方形，边长为10米，
∴AD＝CD＝BC＝10米，FD＝CD﹣CF＝6米，BC∥AD，
∴△FDE∽△FCB，
∴，即，
∴DE＝15，
∴AE＝DE+AD＝25米，
故答案为：25．
19．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥DC，
∴AC＝＝＝，
∵按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，
∴矩形AB1C1C的边长和矩形ABCD的边长的比为：2
∴矩形AB1C1C的面积和矩形ABCD的面积的比5：4，
∵矩形ABCD的面积＝2×1＝2，
∴矩形AB1C1C的面积＝，
依此类推，矩形AB2C2C1的面积和矩形AB1C1C的面积的比5：4
∴矩形AB2C2C1的面积＝
∴矩形AB3C3C2的面积＝，
按此规律第4个矩形的面积为，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分63分）
20．解：∵点D是线段AC的中点，
∴AD＝AC＝3．
∵△ADE与△ABC相似，
当时，
即，
解得AE＝．
当时，
即，
解得：AE＝4，
综上所述，AE的值为4或．
21．解：（1）∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
（2）∵＝，
∴﹣1＝﹣1，
∴＝，
∵＝，
∴÷＝÷，
∴＝．
22．（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2，
∴AE＝，BP＝AB＝1，
∴AP＝，
∴EP＝，
∴EB＝，
∴GD＝．
23．证明：∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△EFC．
24．解：（1）由题意B（1，2），C（﹣2，3），
故答案为：（1，2），（﹣2，3）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求作．
25．解：设广告牌的高度EF为xm，
依题意知：DB＝11m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.6m．
∴GD＝DB﹣BG＝9m，
∵CD⊥BF，EF⊥BF，
∴CD∥EF．
∴△EFH∽△CDH．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴DF＝x﹣1．
由平面镜反射规律可得：∠EGF＝∠AGB．
∵AB⊥BF，
∴∠ABG＝90°＝∠EFG．
∴△EFG∽△ABG．
∴＝，即＝．
∴＝．
∴x＝12.8．
故树的高度EF为12.8m．
26．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠DAE+∠FAB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠FAB＝90°，
∴∠DAE＝∠FBA，
在△ADE和△BFA中
，
∴△ADE≌△BFA（AAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠CEB＝∠ABE，
设∠CEB＝∠ABE＝x°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠EBA＝x°，
当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：
①∠DEA＝∠CEB＝x°，
∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，
∴x+x+x＝180，
解得：x＝60，
即∠DEA＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，
∵AE＝AB，
∴＝＝＝；
②∠DEA＝∠EBC，
设∠DEA＝∠EBC＝y°，
∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，
则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，
在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，
即，
解得：x＝90°，
即∠CEB＝90°，
此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；
所以＝．
27．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵GF∥BE，
∴GF∥CD，
∴，
同理：，
∴，
∴EF AE＝BE EC．
28．解：∵∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，
∴设AC＝3xcm，AB＝5xcm，
则BC＝＝4x（cm），
即4x＝8，
解得：x＝2，
∴AC＝6cm，AB＝10cm，
∴BC＝8cm，
设过t秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似，
则BP＝2tcm，CP＝BC﹣BP＝8﹣2t（cm），CQ＝tcm，
∵∠C是公共角，
∴①当，即时，△CPQ∽△CBA，
解得：t＝2.4，
②当，即时，△CPQ∽△CAB，
解得：t＝，
∴过2.4或秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似．