苏科版九年级数学上册 2.2 圆的对称性（教案）

圆的对称性
【教学目标】
1．知识与技能：圆的对称性垂径定理及其逆定理，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明。
2．过程与方法：经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
3．情感态度与价值观：通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动谨慎精神。
【教学重点】
垂径定理及其逆定理。
【教学难点】
垂径定理及其逆定理的证明。
【教学设计】
一、预习检测
1．_____________________________________________________是轴对称图形。
2．圆是_________________图形，其对称轴为_________________。
3．如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
则有AE=_____，_____=，____=。
4．AB是⊙O直径，AB=4，F是OB中点，弦CD⊥AB于F，则CD=_________
5．⊙O直径为8，弦AB＝4，则∠AOB＝＿＿＿＿＿。
6．⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5
二、讲授新课
同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（圆是轴对称图形。过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴。）
你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下。
我们可以利用折叠的方法，解决上述问题。把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线。这样便可知圆有无数条对称轴。
圆是轴对称图形。过圆心的任意一条直线都是对称轴。
做一做
按下面的步骤做一做：
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合。
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图。
教师叙述步骤，师生共同操作，并提出问题：
1．通过第一步，我们可以得到什么？
（可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴。）
2．很好。在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？为什么呢？
（AM＝BM，AC＝BC，AD=BD，因为折痕AM与BM互相重合，A点与B点重合。）
3．还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？
如右图示，连接OA．OB得到等腰△ABC，即OA=OB，因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是Rt△，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM=BM，又⊙O关于直径CD对称，所以点A与点B关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合AD与BD重合。因此AM＝BM，AC＝BC，AD=BD）
4．在上述操作过程中，你会得出什么结论？
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
[这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理。在这里注意：①条件中的“弦”可以是直径。②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦。
下面，我们一起看一下定理的证明：
如上图，连接OA．OB，则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中，
∵OA=OB，OM=OM
∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM
∴点A和点B关于CD对称
∵⊙O关于直径CD对称
∴当圆沿着直径CD对折时，点A和点B重合，AC和BC重合，AD和BD重合
∴AC＝BC，AD=BD
即垂径定理的条件有两项，结论有三项。用符号语言可表述为：
为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧。
例题讲解
通过求解例，来熟悉垂径定理以及常见的辅助线
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C．D两点。求证AC=BD．（证明略）
拓展延伸
1．在半径为5的圆中，弦AB∥CD，AB=6，CD=8，试求AB和CD的距离。
2．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为()
（A）16cm或6cm，（B）3cm或8cm，（C）3cm，（D）8cm
三、课堂小结
1．本节课我们探索了圆的对称性。
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理。
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
【作业布置】
1．AB是⊙O的弦，C为⊙O上的一点，弧AC，CB的长比是1：2，弦BC＝12cm，则⊙O半径为＿＿＿＿＿＿cm
2．圆内一弦与直径相交成30°，且分直径为1cm和5cm，则圆心到这条弦的距离为____。
3．已知⊙O中，半径OD⊥直径AB，F是OD中点，弦BC过F点，若⊙O半径为R，则弦BC长＿＿＿＿＿
4．⊙O的弦 AB为5cm，所对的圆心角为120°，则AB的弦心距为。
5．过⊙O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为。
6．如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
7．一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：
（1）桥拱半径
（2）若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？
AM=BM
EQ \* jc2 \* "Font:Times New Roman" \* hps18 \o\ad(\s\up 9(︵),AD)=EQ \* jc2 \* "Font:Times New Roman" \* hps18 \o\ad(\s\up 9(︵),BD)
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A
B
E
F
M
C
D
O
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